МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2014
УДК 539.3
© 2014 г. С. А. ЛУКАНКИН, В. Н. ПАЙМУШИН
СТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ДЕЙСТВИИ ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ
Рассматриваются задачи о статических и динамических формах потери устойчивости (ФПУ) тонких оболочек при действии внешнего гидростатического давления. Если для постановки задач используются линеаризованные уравнения движения, полученные исходя из теории среднего изгиба оболочек по классической или уточненной моделям, то в них одну часть слагаемых, связанных с внешней нагрузкой, следует считать консервативной, а другую часть неконсервативной. В связи с этим для цилиндрической оболочки с шарнирно опертыми торцевыми сечениями исследуются четыре постановки задачи об упругой устойчивости. Первая из них является постановкой статической краевой задачи по Эйлеру, в которой действие внешнего давления считается консервативным. С помощью второй постановки при такой же консервативной нагрузке динамическим методом исследуются малые колебания около статического положения равновесия. Третья и четвертая постановки соответствуют действию неконсервативной нагрузки и аналогичны первой и второй постановкам, соответственно. Использованы линеаризованные уравнения равновесия и движения, построенные ранее в непротиворечивом варианте на основе модели типа Тимошенко и позволяющие выявить все классические и неклассические формы потери устойчивости (ФПУ) оболочки.
Ключевые слова: внешнее гидростатическое давление, следящая нагрузка, цилиндрическая оболочка, линеаризованные уравнения движения, шарнирное опирание, формы потери устойчивости, критерий Эйлера, динамический критерий.
1. Введение. Становление нелинейной теории тонких оболочек с приложениями к задачам устойчивости имеет почти вековую историю. Наиболее исследованной из таких тонкостенных элементов конструкций, по-видимому, является цилиндрическая оболочка. Обобщающие результаты по исследованию их устойчивости, проводившиеся многими авторами, приведены, в частности, Э.И. Григолюком и В.В. Кабановым в монографии [1]. Эти результаты касаются в основном классических изгибных форм потери устойчивости (ФПУ). Наряду с такими ФПУ, как было установлено [2—4], у цилиндрических оболочек существует и ряд других неклассических ФПУ, которые могут реализоваться раньше классических изгибных при тех или иных видах нагружения и определенных сочетаниях физико-механических и геометрических параметров оболочки.
Главной целью проводимых ниже исследований является более глубокий и содержательный анализ полученных ранее результатов работы [5], а также уточнение сформулированных в ней выводов и их сопоставление с выводами работы [6]. В первой из них рассматривается цилиндрическая оболочка с закрытыми и шарнирно опертыми согласно понятиям теории стержней торцевыми сечениями под действием всесторон-
него гидростатического внешнего давления (следящего [7] давления). В [5] показано, что для таких оболочек построенные ранее непротиворечивые уравнения безмомент-ной теории [2], редуцированные путем использования сдвиговой модели Тимошенко к одномерным уравнениям теории стержней, описывают три формы потери устойчивости: 1) статическую, реализуемую по изгибной форме от действия торцевой суммарной сжимающей осевой силы (при рассматриваемых условиях закрепления ее неконсервативная часть не может совершать работу на прогибах осевой линии); 2) также статическую, но реализуемую по чисто сдвиговой форме с превращением цилиндра с нормальными срезами в цилиндр с параллельными косыми срезами (соответствующая критическая нагрузка не зависит от длины оболочки); 3) динамическую, которая реализуется по изгибно-сдвиговой форме и может быть выявлена только динамическим методом при использовании уточненной сдвиговой модели.
Во второй из указанных работ так же, как и в настоящей работе, рассматривается цилиндрическая оболочка с шарнирно опертыми краями. Предполагается, что она находится в условиях осевого сжатия. Известно [1], что при таком нагружении наблюдается наиболее значительное несоответствие результатов теоретических исследований с данными экспериментов. По мнению автора указанной работы [6], на основе динамического критерия [7] удалось получить аналитическое решение, результаты которого как качественно, так и количественно хорошо согласуются с экспериментальными данными.
2. Действие на оболочку внешнего гидростатического давления. Отнесем пространство V недеформированной оболочки к системе криволинейных координат x1, x2, z, нормально связанной со срединной поверхностью ст, в которой радиус-вектор произвольной точки M е V определяется равенством
R(x, z) = Г(x ) + zm, -t/2 < z < t/2 (2.1)
где r(x') — радиус-вектор точки на ст; t — толщина оболочки; m — вектор единичной нормали к ст.
После деформации оболочки радиус-вектор указанной точки M е V, переходящей в точку M*(x', z) е V*, по классической модели Кирхгофа—Лява определяется равенством (здесь и в дальнейшем все величины, относящиеся к деформированному состоянию, отмечены звездочкой):
R*( x , z) = r* + zm* = r + u (x) + zm *(x), -t / 2 < z < t/2 (2.2)
где r* = r + u — уравнение деформированной срединной поверхности ст*; m* — вектор единичной нормали к ней; u — вектор перемещений точек поверхности ст.
Разностью выражений (2.1) и (2.2) определяется вектор перемещений произвольной точки оболочки по классической модели Кирхгофа—Лява [8]:
Uz = R* - R = u + z(m* - m) = u + zß (2.3)
где fi = m* — m — вектор поворотов волокна, нормального к поверхности ст.
Если для вектора перемещений u принять представление u = ы ¡Т + wm = u'r t + wm, где r = dr/dx и r' — основные и взаимные векторы на ст, то после деформации оболочки для базисных векторов Г* = 3r*/dx', m* при малых деформациях имеют место зависимости [8]:
г* = (5* + ек1) г к + и, т = (а1к + е1к) гк + ш, т
(2.4)
т * = Е,г' + Е3 т = Ег, + Е3 т е ,к = У,ик - bikW, = У^ + Ь ши
(2.5)
Е , = шкек - ш,(1 + е), Ез = (1 + е1)(1 + е2) - e?el, ек = а%
Здесь = г;гк, а'к = гiгk, Ькк — ко- и контравариантные компоненты первого и ковари-антные компоненты второго метрических тензоров на ст; V, — символы ковариантного дифференцирования по метрике ак.
По модели Тимошенко вектор перемещений оболочки определяется выражением
[9, 10]:
иг = и + и, -г / 2 < г < г/2 (2.6)
где для вектора поворотов у возможно использование представлений различных видов, в частности [9—12]:
у = у,г' + ут = у*г* + у*т*, у = П + ф = ф*г* + (1 + ф*)т* - т (2.7)
При этом компоненты вектора поперечных сдвигов 2ей и деформация в поперечном направлении е33 определяются выражениями [11, 12]:
2е,з = 26з(* ) = ш, + у* = ф^^ 633 = ф* + 1/2(ф* + ф*ф*) (2.8)
Предположим, что на внешнюю лицевую поверхность оболочки z = ¿/2 действует внешнее давление р. Если считать, что оно задано представлением X = рт, то совершаемая этой нагрузкой виртуальная работа в зависимости от используемой модели будет вычисляться по формулам
5 А = Цр ^5 п + - 5 Е3) с1<з (2.9)
а
5 А = Цр (5 п + - 5у) й<5 (2.10)
а
и может быть выражена через потенциалы
г
п = Цр + 2Е3) (2.11)
а
п = \\р (* + 2 у) ^ (2.12)
Нагрузка такого вида по определению [7] является консервативной. Если же давление р задано представлением (следящее давление):
X = р т* = р( Е ¡г' + Е3 т) (2.13)
а
то по модели Кирхгофа—Лява (2.3) в силу m*m* = 1, m*8m* = 0 виртуальная работа будет определяться выражением
5 А = Цр (Е,5 и + Е35 ъ) йа (2.14)
ст
в котором, в отличие от (2.9), (2.10), отсутствует момент внешних поверхностных сил, приведенный к срединной поверхности. При среднем изгибе оболочки, как известно
[8], имеют место оценки е\ ~ б, ю; ~ л/б , е ^ 1, в силу которых с точностью 1 + е « 1 справедливы упрощенные соотношения вида [8]:
Е, ~ —юг, Е3 ~ 1, г* = г, + югт, т* = т - ю,т' (2.15)
Тогда выражение (2.14) представимо в виде
5А = Ц"р (- ю, 5 и + 5 ъ) йа (2.16)
ст
Отсюда следует, что при существовании зависимости (с — некоторая функция или константа, не зависящая от искомых функций):
и, = сю, (2.17)
которая, вообще говоря, не имеет никакого геометрического или механического смысла, то действие внешней нагрузки р следует считать консервативным, допускающим преобразование выражения (2.16) к виду
5 А = 5 Цр (с ^ + ^ йа (2.18)
ст
Следуя результатам работ [7, 13], вместо Е3 « 1 введем более слабое упрощение Е ~ —ю,, Е3 ~ 1 + е1 + е- = 1 + У ¡и — (2.19)
сохраняя в выражении для Е3 линейные слагаемые. Подставляя (2.19) в выражение (2.14), получим
5А = Ц"р [(1 + У ¡и — Ъъ )5 ъ — юг 5 и ] йа = ^ри п^ъйз +
ст с
Цр [5 ъ — и У 5 ъ — Ъ\ъ5ъ — (У^ + ъкик )5 и] йа = (2.20)
ст
\ри п5+ Цр 5ъ — 5(и У¡ъ) — Ъ,5— 5(Ъки--)
+
йа
Отсюда следует доказанное в работе [7] и используемое в [13] утверждение о том, что действующее на оболочку гидростатическое следящее давление относится к классу консервативных нагрузок, если для оболочки принимается модель Кирхгофа—Лява, а на контуре с равны нулю либо прогиб т (нормальное перемещение), либо тангенци-
с
ст
альное перемещение u'ni в направлении нормали к линии c в плоскости базисных векторов г: и r2. В то же время принимаемое в теории среднего изгиба оболочек упрощение 1 + e i « 1 (E3 « 1), которому соответствует выражение (2.16), приводит к разрешающим уравнениям, содержащим как консервативные, так и неконсервативные слагаемые. Тем самым в используемые уравнения вносятся некоторые малые возмущения, влияние которых на решения тех или иных задач требует изучения.
При использовании для оболочки модели Тимошенко для виртуальной работы можно составить выражение в двух вариантах:
= ЦР (E-S u + E3S w + - m* Sy) da (2.21)
а
= Цр [е^ы + Е35 ъ + - т* 5 ф) (2.22)
ст
так как [11, 12] 8(П + ф) = 8т* + 8ф, т*8т* = 0. В составленных выражениях (2.21), (2.22) неконсервативной составляющей рассматриваемой нагрузки в приближении (2.15) является слагаемое Е'8и' (т.е. при среднем изгибе), а сумма первых двух слагаемых является консервативной составляющей нагрузки в приближении (2.19). В случае использования для вектора ф представления
Ф = Ф*г* + ф*т * = Ф* г* + Ф* т* (2.23)
и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.