ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СННХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, < 1, с. 22-24
УДК 548.732
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ НА КРИСТАЛЛЕ, МОДУЛИРОВАННОМ ПОВЕРХНОСТНОЙ
АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНОЙ
© 2004 г. Я. И. Нестерец, В. И. Пунегов
Сыктывкарский государственный университет, Физический факультет, Сыктывкар, Россия Поступила в редакцию 06.02.2003 г.
Разработаны основы статистической динамической теории дифракции рентгеновских лучей на кристалле, модулированном поверхностной акустической волной. Показано, что коэффициенты отражения рентгеновских лучей в угловых областях основного максимума и сателлитов, рассчитанные на основе динамической и кинематической теории, существенно отличаются.
Электронные приборы на основе поверхностных акустических волн (ПАВ) находят широкое применение в сфере радио- и телекоммуникации. Создание подобных устройств требует знания распределения акустических полей в приповерхностном слое кристалла, используемого для возбуждения и распространения ПАВ. Высокоразрешающая рентгеновская дифрактометрия (ВрРД) служит эффективным методом исследования кристаллических структур с произвольным законом модуляции межплоскостного расстояния и рассеивающей способности. Распределение интенсивности в спектрах ВРРД может быть также использовано для получения информации о структурном совершенстве кристаллов (типе, размерах и концентрации дефектов). В работе [1] исследована дифракция рентгеновских лучей (РЛ) на различных срезах кристалла П№>03, модулированного коротковолновой ПАВ. Периодическая модуляция приповерхностного слоя приводит к появлению на кривых качания дифракционных сателлитов, угловое расстояние между которыми определяется длиной волны ультразвука, а интенсивность - двумерным распределением атомных смещений. Те же авторы использовали кинематическую теорию дифракции РЛ для интерпретации экспериментальных данных с целью определения амплитуды и глубины проникновения ПАВ [2]. Данная теория не учитывает многократного рассеяния РЛ атомными плоскостями, что не оправдано в условиях данного эксперимента, поскольку глубина проникновения ПАВ, т.е. толщина поверхностного деформированного слоя кристалла, сравнима с длиной экстинкции в кристалле Ы№>03 для использованных отражений. Очевидно, что пренебрежение ди-
намическими эффектами приводит к неправильной оценке параметров ПАВ по данным ВРРД.
В настоящей работе данная задача решается в рамках статистической динамической теории дифракции. Распределение амплитуд проходящей и дифрагированной волны в однородном кристалле с заданным полем атомных смещений и(х, г) (ось х является пересечением плоскости дифракции и поверхности кристалла, а ось г направлена в глубь кристалла) описывается системой двумерных уравнений Такаги:
ctg + (x z) = i а0 Eo (x, z) +
(1)
+ ic_hф(x, z)Eh(x, z),
f d d "A
f ctg 02dx - dzJEh(X, z) = i(b00 + n)Eh(x, z) + + iühФ*(x, z)Eo(x, z),
где а,, = л%оМГо, 0h,-h = лСх, -AYo, h, П = 2лю x x sin(29b)aYh, Yo, h = sineL2, b = Yo/Yh, Ф& z) = = exp(i hu(x, z)). Использованы обозначения, введенные в [3].
Переход от исходных амплитуд E0, h(x, z) к их фурье-образам E0, h(qx, z) в случае периодической по x функции u(x, z) и стандартная процедура статистического усреднения приводят исходную сис-
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
23
Я, отн. ед. 1.6
Я, отн. ед. (б)
0 12 3 4
о
Амплитуда ПАВ, А
Я, отн. ед. 0.20
0.16
12 3 4
о
Амплитуда ПАВ, Ао
0.12
0.08
0.04
Я, отн. ед 0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0 12 3 4
о
Амплитуда ПАВ, А
12 3 4
о
Амплитуда ПАВ, А
Теоретические коэффициенты отражения рентгеновских лучей в угловых положениях главного максимума (а), первого (б), второго (в) и третьего (г) сателлитов в зависимости от амплитуды ПАВ. Расчеты выполнены в рамках статистической динамической (сплошная линия) и кинематической (пунктирная линия) теории дифракции.
тему (1) к виду:
п(г)
йг
= ( (Сто- п к ^ 0!) Е0, п (г) +
+ (ст-н/(г) £ Бт(г)Е
И, п - т
(г),
йЕн,п (г) йг
+ (Стн/(г) £ Бт(г)Е
о, п - т
(г),
(2)
= ((Ь Сто + п - п к ^ 0 2) Ен, п (г) +
где к = 2п/Л, Л - длина волны ультразвука, / - статический фактор Дебая-Валлера, а явный вид
функций Бт(г), Бт (г) определяется выбором функции периодических смещений и(х, г). Вторые индексы у амплитуд когерентных волн соответствуют номерам дифракционных сателлитов, возникающих вследствие периодической модуляции кристалла вдоль его поверхности.
При наличии случайных структурных искажений, например статистически распределенных микродефектов, помимо когерентной составляющей, интенсивность рассеянного излучения имеет также некогерентную (диффузную) компоненту,
т
+^
т =
24
НЕСТЕРЕЦ, ПУНЕГОВ
описываемую выражением:
Idh(qx, z2Jdz'e-bцz'( 1- f2(z'))x
z
X ^ \вт(z' )|210, m(z' )T( qx-,qx - m к, z' ),
(3)
где т - корреляционная площадь, определенная в [3].
Используя стандартные численные методы решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, систему (2) можно проинтегрировать при заданных граничных условиях на входной (г = 0) и выходной (г = Ь) поверхности кристалла:
с Г1, п = 0, с
Е0, п(г = 0) = \ Е\ п(г = Ь) = 0.
[0, п Ф 0,
Однако более экономичным с вычислительной точки зрения оказывается решение задачи, если рассматривать кристалл как слоисто-однородную систему, т.е. как набор слоев с постоянными значениями статфактора и амплитуды ультразвуковой волны. Используя данный подход, мы получили рекуррентные соотношения, позволяющие вычислить амплитудный коэффициент отражения многослойной структуры, стартуя с самого нижнего слоя системы, граничащего с выходной поверхностью (прямой ход). При необходимости, в частности, для вычисления интенсивности (3) некогерентных волн, они позволяют также вычислить зависимость амплитуд проходящих и дифрагированных волн от координаты г.
На рисунке приведены теоретические зависимости коэффициента отражения главного максимума (а), первого (б), второго (в) и третьего (г) са-теллитных максимумов от амплитуды ПАВ, возбужденной в кристалле LiNbO3, с длиной волны Л = 4 мкм. Расчеты проведены для отражения 104 a-поляризованного излучения с длиной волны X = = 0.62 А в рамках статистической динамической (сплошная линия) и кинематической (пунктирная линия) теории дифракции. Из рисунка следует, что имеет место сильное различие в кинематических и динамических коэффициентах отражения в угловых областях главного максимума и первого сверхрешеточного сателлита. С увеличением порядкового номера сателлитов это различие уменьшается. Аналогичная картина наблюдалась при сравнении экспериментальных результатов и расчетных данных по кинематической теории дифракции [2]. Очевидно, что для адекватного количественного анализа экспериментальных результатов по дифракции жесткого излучения на кристалле, промодулированном ПАВ, следует использовать статистическую динамическую теорию дифракции.
Работа выполнена при финансовой поддержке научной программы "Университеты России" (грант № УР.01.01.053).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иржак Д.В., Рощупкин Д.В., Тукулу Р., Ма-тон О. // Поверхность. Рентген., синхротр. и нейтрон. исслед. 2002. № 1. С. 10
2. Tucoulou R., de Bergevin F., Mathon O., Roshchup-kin D. // Phys. Rev. B. 2001 V. 64. P. 134108.
3. Nesterets Ya.I, Punegov V.I. // Acta Crystallogr. A. 2000. V. 56. № 6. P. 540.
m = —^
Statistical Dynamical Theory of X-ray Diffraction on a Crystal Excited
by Surface Acoustic Wave Ya. I. Nesterets, V. I. Punegov
The statistical dynamical theory of X-ray diffraction on a crystal excited by a surface acoustic wave is developed. It is shown that X-ray reflection coefficients in angular areas of the main superlattice maximum and satellites, calculated on the basis of dynamical and kinematical theory, differ significantly.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.