ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2008, том 44, № 6, с. 779-785
УДК 551.511.61:532.529.2:536.24
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БОЛЬЦМАИА И АСИМПТОТИКА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СПОИТАИИЫХ СТРУЙ ПО ТЕМПЕРАТУРАМ В КОНВЕКТИВНОМ ПРИЗЕМНОМ
СЛОЕ АТМОСФЕРЫ
© 2008 г. А. Н. Вульфсон, О. О. Бородин
Институт проблем нефти и газа РАН 119333 Москва, ул. Губкина, 3 E-mail: vulfson@ipng.ru, E-mail: borodin@ipng.ru Поступила в редакцию 14.02.2008 г., после доработки 16.04.2008 г.
В поверхностном слое проникающей турбулентной конвекции, расположенном над однородной горизонтальной нагретой поверхностью, выделяется ансамбль конвективных термиков. Предложена статистическая модель ансамбля конвективных термиков, использующая понятие энтропии в форме Больцмана-Джейниса. Показано, что распределение термиков по потенциальной энергии реализует максимум энтропии. Опираясь на распределение Больцмана по потенциальным энергиям, получено распределение спонтанных струй по температурам, соответствующее известным экспериментальным данным.
ВВЕДЕНИЕ
В работе [1] было впервые высказано предположение о том, что перенос тепла, количества движения и турбулентной энергии от нагретой подстилающей поверхности к вышележащим слоям дневного пограничного слоя атмосферы реализуется дискретными конвективными элементами. Комплексные исследования дневного пограничного слоя атмосферы над горизонтально однородной поверхностью суши, представленные, например, в работе [2] действительно указали на существование хаотической системы изолированных вихрей, температура которых несколько выше, чем температура окружающей среды, а горизонтальные размеры в 101-103 раз меньше, чем высота конвективного пограничного слоя. Конвективные вихри, горизонтальные размеры которых лежат в заданном диапазоне, традиционно называют термика-ми. Поверхность вращения, на которой температура конвективного элемента совпадает с температурой окружения, является естественной границей термика. Термики, вертикальные и горизонтальные размеры которых примерно совпадают, называют "пузырями", а термики, вертикальные размеры которых значительно превосходят горизонтальные - "струями". Подробнее о строении и форме термика см. [3]. Эмпирические данные о термиках и их роли в формировании конвективного пограничного слоя атмосферы приведены в [4-8].
Вертикальные движения термиков носят случайный характер. Лабораторные эксперименты [9], представленные на рис. 1, также указывают на хаотический характер вертикального движения термиков при высоких числах Релея.
Эмпирическое описание системы конвективных элементов приземного слоя атмосферы как статистического ансамбля в терминах функции распределения термиков по температурам было впервые реализовано в работе [4], см. также [5, 6, 10].
В настоящей работе предложено теоретическое построение функции распределения термиков по температурам, использующее метод Больцмана-Джейниса (подробнее см. [11, 12]). Полученное таким образом экспоненциальное распределение конвективных термиков по температурам согласуется с полученными ранее обширными натурными и лабораторными данными.
1. АНСАМБЛЬ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕРМИКОВ
Допустим, что неустойчивый слой формируется над однородной горизонтальной нагретой поверхностью, которая далее будет интерпретиро-
Рис. 1. Ансамбль термиков под слоем воды, поднимающихся над нагретой однородной горизонтальной поверхностью [9].
Р6
1.0 г
3 4
6 / < 6 >
Рис. 2. Плотность вероятности распределения пульсации потенциальной температуры согласно экспериментальным данным [5]. Точки соответствуют измерениям на метеобашне на уровнях 5.66 м, 11.32 м и 22.64 м. Экспоненциальный профиль (19) изображен непрерывной кривой.
ваться как плоский источник плавучести постоянной мощности gQ1, где [gQ1] = м2/сек3, соответствует потоку плавучести.
Пусть 0 - локальная потенциальная температура; 0 = 0(г) - фоновая потенциальная температура, зависящая от вертикальной координаты г, направленной противоположно ускорению свободного падения g. Будем считать, что в неустойчивом слое фоновая стратификация потенциальной температуры определяется соотношением теории подобия Монина-Обухова
gd 0 . _ ,2/3 -4/3
0^ = -Сго( ^) г •
(1)
е =
0-0 0 •
(2)
Исследования тонкой структуры проникающей конвекции над нагретой поверхностью показывают, что ансамбль конвективных элементов реализуется в виде хаотической системы вертикально перемещающихся элементов. При описании подобных систем естественно использовать вероятностный подход.
Рассмотрим статистическую модель ансамбля конвективных термиков. Будем предполагать, что:
• конвективные термики реализуются в форме спонтанных струй, которые зарождаются в случайных точках подстилающей поверхности в случайные моменты времени и далее поднимаются в неустойчивом неподвижном окружении;
• температуры конвективных термиков 6 зависят от высоты и времени, положительны и носят случайный характер.
Опираясь на технику измерения метеопараметров, рассмотрим горизонтальную прямую а, направляющий вектор которой совпадает с направлением ветра. Допустим, что г; - высота конвективного слоя; г - высота над уровнем подстилающей поверхности; безразмерная высота г* = г/г; характеризует горизонтальное расположение прямой а.
Пусть Иа = Иа(г/г1) - общее число всплывающих
элементов на единице длины прямой а; N й 6 -число конвективных элементов на единице длины прямой а, пульсации температур которых заключены в диапазоне от 6 до 6 + d 6; (6 > - статистическое среднее значение пульсации температуры
термиков <6> на уровне г/г. Тогда
иа = [N^6, <6> = 1 [ёNdë. (3)
0 0
Общую форму функции плотности распределения спонтанных струй по температурам на прямой а на уровне г/г; можно представить в виде
N = 4- 4 4, г,
Na <6> г¡)
(4)
При этом согласно натурным наблюдениям в атмосфере, см. [13], величина сГ0 ~ 0.9-1.0.
Введем локальную пульсацию безразмерной потенциальной температуры 6, полагая, что
При описании конвективных элементов удобно
использовать среднюю пульсацию температуры 6, полученную усреднением пульсации локальной температуры 6 по сечению термика.
Здесь ^ > 0 - положительная, непрерывная
функция безразмерных аргументов ца = 6 / (6 > и г* = г/г. Очевидно, что функция ^ представляет собой плотность вероятности распределения термиков по безразмерной температуре 6 / <6 >.
С учетом (3), (4) выпишем первые моменты функции распределения тогда
[Х(Па, г* ) dn а = 1, [Ла-ВДа, г* ^Ц а =• (5)
0
0
Детализация распределения предполагает задание внешних параметров Na и (6). Определим температурный параметр Дирдорффа 0о, исполь-
зуя уравнение gQD = z¡ (gQl)2/3. В соответствии с натурными наблюдениями над термиками конвективного приземного слоя [7] будем считать, что
N = ^ =
а 2aRz\zJ ' 0Ö
-1/3
(6)
где ее = 1.5, ^ = 0.08, а0 = 0.43 - постоянные коэффициенты. Эмпирические соотношения являются обобщениями результатов более ранних работ [4, 5].
Используем для описания движения термиков приближение Буссинеска. В рамках уравнений теории конвекции определим кинетическую и потенциальную энергии системы, подробнее см. [14, 15].
Будем характеризовать спонтанные струи ансамбля, расположенные на единице длины прямой
а, удельной потенциальной энергией £ = g 6 z и ее
средним статистическим значением (£) = g (6) z.
Пусть N0 й е - число конвективных элементов на единице длины прямой а, потенциальная энергия которых заключена в диапазоне от £ до £ + й £. Тогда распределение конвективных термиков по энергиям будет иметь вид
N
1 * а
N
< £> Ч < £> 'z*
(7)
2. СТАТИСТИЧЕСКИИ МЕТОД БОЛЬЦМАНА И ПОСТРОЕНИЕ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕРМИКОВ ПО ЭНЕРГИЯМ
Известно, что головная часть всплывающего термика имеет примерно сферическую форму (рис. 1). Это обстоятельство позволяет усмотреть прямую аналогию между ансамблем всплывающих термиков и системой сферических частиц Больцмана. Опираясь на эту аналогию, определим вид функции полагая, что распределение термиков по удельным потенциальным энергиям соответствует распределению Больцмана.
Пусть /£ = N0 N - плотность вероятности распределения термиков на прямой а по энергиям. Функция /е предполагается положительной и непрерывной. Очевидно, что плотность вероятности /е удовлетворяет следующим условиям нормировки
J f е(£) de = 1, Je f е(£ ) de = <£>, (11)
где (£) - среднее статистическое значение потенциальной энергии ансамбля термиков. Существенно, что величина (£) известна из наблюдений, т.к. может быть определена при использовании второго уравнения (6).
По аналогии с кинетической теорией газов Больцмана для описания ансамбля термиков введем функционал энтропии полагая, что
Здесь Fe > 0 - положительная непрерывная функция безразмерных аргументов ца = £/ < £> и z* = z/z.
Для каждого термика, расположенного на единице длины горизонтальной прямой а
0
d 0 d £
Па = (6) = <£) ' ^ = (6) = <£)• (8)
При этом число термиков, для которых параметр па заключен в диапазоне от па до па + йца, определяется уравнением
5 = -J f e(£ ) ln f e(£) de.
(12)
Опираясь на метод [11], развитый в [12], будем считать, что стационарное статистическое распределение /£ реализует максимум энтропии (12) при наличии ограничений (11). Условный максимум функционала энтропии 5 определяется в соответствии с теорией вариационного исчисления [16].
Используя соотношения (11), (12), построим функционал Лагранжа Ь, полагая, что
d 0
d £
NaF0— = NaF£—. a 0<0> а e<£>
(9)
Сопоставление (8) и (9) приводит к равенству
= Fг. (10)
Наличие равенства (10) означает, что распределения термиков по температурам и энергиям характеризуются только одной универсальной функцией.
L = J G (f е) de =
о
= -J{ f e(£ ) ln f e(£ ) + Со f e(£ ) + Ci £ fe(£ )}d£.
(13)
Здесь G(fe) - подынтегральная функция; c0, c1 -неопределенные множители.
о
о
о
о
Р6 1.0
(14)
дв д/е
э2 в
Э/2 /е(£)
= 1п / е(ё) + (1 + Со ) + = 0
> 0.
(16)
Таким образом, условный максимум энтропии (12) достигается на функции
1п/Е(е) = - (1 + С0) - С1Ё.
(17)
При этом неизвестные параметры с0 и с1 определяются из условий нормировки (11), что, в свою очередь, приводит к распределению Больцмана по э
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.