ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2004, том 42, № 3, с. 426-441
ТЕПЛОМАССООБМЕН И ФИЗИЧЕСКАЯ ГАЗОДИНАМИКА
УДК 536.529
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КЛАСТЕРИЗАЦИИ ЧАСТИЦ В ПРИСТЕНОЧНОМ И ИЗОТРОПНОМ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКАХ
© 2004 г. Л. И. Зайчик, В. М. Алипченков
Объединенный институт высоких температур РАН, Москва Поступила в редакцию 09.06.2003 г.
Представлены статистические модели дисперсии инерционных частиц в неоднородной пристеночной и однородной изотропной турбулентности. Модели основаны на кинетических уравнениях для одноточечной и двухточечной функций плотности вероятности скоростей частиц. Выполнено сопоставление с известными из литературы данными прямых численных расчетов для канальных и изотропных течений.
ВВЕДЕНИЕ
Один из наиболее интересных эффектов взаимодействия частиц с турбулентными вихрями проявляется в существовании областей с высокими концентрациями дисперсной фазы. Явление аккумулирования (кластеризации) частиц в пристеночной зоне канального течения было выявлено как в экспериментальных, так и прямых численных исследованиях [1-7]. Возникновение неравномерного распределения дисперсной фазы в неоднородном турбулентном потоке (в частности, вблизи стенки канала) обусловлено турбулентной миграцией (турбофорезом) частиц из области с высокой интенсивностью турбулентных пульсаций в зону вязкого подслоя с низкой степенью турбулентности [8]. Более тонким физическим явлением, как свидетельствуют результаты прямого численного моделирования [9-14], является кластеризация частиц в однородной изотропной турбулентности, где отсутствуют градиенты осредненной интенсивности пульсаций скорости несущего потока. Эти расчеты показывают, что частицы концентрируются в областях с высокой завихренностью благодаря действию центробежной силы, а наиболее явственно кластеризация проявляется при совпадении времени динамической релаксации частиц и временного колмого-ровского микромасштаба турбулентности.
В настоящей статье явление кластеризации частиц в неоднородных и однородных турбулентных потоках рассматривается с единых позиций на основе статистических моделей для одноточечной и двухточечной функций плотности вероятности (ФПВ) скоростей частиц. Представлено обобщение одноточечного [15, 16] и двухточечного [17] кинетических уравнений для ФПВ с учетом вклада "транспортного члена" в аппроксимациях лагранжевых корреляционных моментов. Сопоставление эффектов аккумулирования частиц в неоднородном пристеночном и однородном
изотропном турбулентных потоках позволило выявить аналогию между этими двумя явлениями. Показано, что повышение концентрации пары частиц в изотропной турбулентности может быть интерпретировано как турбофорез вследствие градиента интенсивности пульсаций относительной скорости двух частиц.
Уравнения для одноточечной ФПВ и ее моментов. Движение тяжелой частицы в турбулентном потоке описывается уравнениями
й К
йг
р _
й V
р
и - V р
йг
+ г,
(1)
где Кр и ур - векторы положения и скорости частицы; и(Кр, г) - скорость сплошной среды в точке х = Кр(г); тр - время динамической релаксации частицы; Г - ускорение внешней силы (например, силы тяжести).
Одноточечная (одночастичная) ФПВ вводится в результате осреднения по ансамблю случайных реализаций поля скорости турбулентного несущего потока как вероятность частицы находиться в точке х со скоростью V в момент времени г
РлX, V, г) = <рV) = <8(X - Кр(г))8(V - Vp(г))), (2)
Дифференцируя (2) по времени с учетом (1), получаем транспортное уравнение для одноточечной ФПВ скорости частицы
д г
+ ук
др + _д_
д хк ду к
'( и к - V к
+ Ек Р
1 Э < и'к р у)
(3)
Левая часть уравнения (3) содержит члены, описывающие эволюцию во времени и конвекцию в фазовом пространстве (х, V), в то время как правая часть характеризует взаимодействие частиц с турбулентными вихрями сплошной среды.
р
Для определения корреляции <ы'крг) применяется подход [15, 16], основанный на моделировании поля скоростей несущей сплошной среды гауссовым случайным процессом с известными корреляционными моментами. Тогда с учетом формулы Фурутцу-Новикова для гауссовых случайных функций [18] получаем
5р V(х, г У
< ирV) = Ц< ы](х, г) ы'к(х1, г1))
5щ (хь г1)
йх1 йг 1,
15р^\ = _А/р(хг)(4) 8Ык( х!, гх) ЭX (х'г)ЭЫк( х!, гх) (4)
Э ^
( - д у р,( г)
pv (х, г) --р—
5 Ык (х1; гх )/'
Для нахождения функциональных производных в (4) используется решение уравнений движения частицы (1)
Кр (г) = | Ур (г!) йг 1,
0
г
р(г) = |«г - г! )Гг1 >' г1'
+ Е
йг 1, (5)
_5Яр,( г)
5Ы
}
гг
(р^- = 5,5(х1- Кр(г! ))[Ф(г - г2)йг2 (Г1, г1)
+
(6)
+
!!ф(г - г3)
йг
Эы,(Кр(г2), г2) 5Яр„(г2)
д х„
5ы, (х1, г1)
йг 2,
5 у р ,■( г ) 5 ы( х1, г 1)
= 5;,5(х1 - Кр(г1 ))ф(г - г 1)н(г - г1) +
+
|ф(г - г2)
Эы,(Кр(г2), г2) 5Яр„(г2)
(7)
д х„
5ы, (х1, г1)
йг2,
ние вклад только одного члена с градиентом скорости сплошной среды в (7), представляем выражение (4) в виде
<ы'р„) = -|<ы'(х, г)ы)(Кр(г1), г1 ))х
г Э Р г
xJф( г - г2)йг2йг 1^- ] < и(х, г)ык(Кр(г1), г1 ))х
(8)
х
57кф(г - г 1) + дх^Ф(г - г2)/ф(г2 - гз)йгзйг2
йг1
С целью вычисления интегралов вдоль траекторий частиц в (8) лагранжев корреляционный момент
Бщ(т) = <ы](х, г)ы)(Кр(г - т), г - т)), Кр( г) = х, представляется в виде
Вьц(т) =
< ыы) -21-ЭТ- +
ф( г) = Трехр Ц,
где ф(г) символизирует функцию Грина.
Применяя оператор функционального дифференцирования к (5), получаем систему уравнений для вариаций положения и скорости частицы по скорости несущего потока
Э< ы'ы',) Э< ы'ы'.ык)
+ ик \ ' - + х ' ■> к/
(9)
Э Хк
д Хк
^Ьр(Т).
где Н(х) - функция Хевисайда, Н(х < 0) = 0, Н(х > >0) = 1.
Для решения системы уравнений (6) и (7) применяется метод итераций, в котором первый член в правой части (6) рассматривается в качестве главного [16]. Тогда, осредняя (6) и (7) с учетом плотности вероятности pv и принимая во внима-
Величина ^,р(т) в (9) обозначает лагранжеву автокорреляционную функцию, определенную вдоль траектории частицы. Выражение (9) содержит дополнительный "транспортный член" [19] по сравнению с обычно используемой, например
в [15, 16], аппроксимацией Бь , (т) = < ы] ы,)х¥1р(т). Этот дополнительный член учитывает "транспортный эффект" вследствие нестационарности турбулентных напряжений несущего потока, а также конвективного и диффузионного переноса пульсаций скорости сплошной среды вдоль траектории частицы. Таким образом, аппроксимация (9) подразумевает, что имеют место два механизма формирования Бь ,(т). Лагранжев корреляционный момент определяется локально через эйлеров одноточечный момент второго порядка < ы'ы)) и учитывает изменение < ы] ы)) во времени и перенос со средней и пульсационной скоростями. Очевидно, что в стационарной однородной турбулентности второй механизм отсутствует. С учетом (9) из (8) получается следующее выражение для корреляции пульсаций скорости сплошной среды и плотности вероятности скорости частицы
д РЛ . ТрГ;
<ыРV) = - <ы1ы)[1ыдт + трЯы"дх") +
РУ ы1
2
У
0
гг
1 2
х
d< u'uj) тт d<u'uj) i d<u¡UjUk}^\dP
dt
+ U
dxk
dXk
>v ;
■- (10)
- Tplu < uiuk) 1
dXk dv/
где
fu = T1 J^(t) exp (j-T^ dT,
gu
Lp
f u
(11)
ful = 4 Í^Lp(T)Texp(-T-jdT, lu =
V0 ( V
-f
ul
Коэффициенты fu, gu, fui, lu характеризуют степень вовлечения частицы в турбулентное движение сплошной среды. Величина TLp = J~ ТLp (T)dT
является лагранжевым интегральным масштабом пульсаций скорости сплошной среды, вычисленным вдоль траектории частицы и определяющим время ее взаимодействия с энергосодержащими турбулентными вихрями. Выражение (10) с учетом (11) справедливо для значений времени, существенно б0льших TLp. При задании автокорреляционной функции в виде экспоненциальной зависимости x¥Lp = exp(-T/TLp) коэффициенты вовлечения становятся равными
позволяет выразить взаимодействие частица-турбулентность" в виде диффузионного оператора второго порядка типа Фоккера-Планка. При /и1 = 1и = 0 (13) переходит в кинетические уравнения, полученные ранее в [15, 20-22]. Члены с коэффициентами /и1 и 1и учитывают соответственно вклад "транспортного эффекта" в изменение пульсаций скорости сплошной среды вдоль траектории частицы и влияние градиента осредненной скорости несущего потока. Отметим, что кинетические уравнения, представленные в [16, 23], также содержат члены второго порядка относительно градиентов осредненных скоростей, однако влияние этих членов, как правило, незначительно и поэтому в настоящей статье они не принимаются во внимание.
В результате интегрирования (13) по подпространству скоростей получается система уравнений для одноточечных моментов ФПВ. Соответствующие уравнения для концентрации Ф, осредненной скорости V и вторых моментов пульсаций
скоростей (турбулентных напряжений) < у 'у') дисперсной фазы имеют вид
ЭФ + ЭФУк = 0
t xk
dV¡ „dV¡ d< v' vk) —¡ + Vk —¡ = ——+
t k xk xk
Ui - V¡ DpikdlnФ
+---+ Г -----
Tp i Tp xk
(14)
(15)
fu =
ful =
Lp
Lp
t p + V
Lp
(T p + TLp)
2'
lu =
T p (T p + TLp)'
T 3
(12)
Lp
T p (T p + TLp)
2
Подстановка (10) в (3) приводит к следующему кинетическому уравнению для одноточечной (од-ночастичной) ФПВ распределения скорости частицы в неоднородном турбулентном потоке:
dPv
dPv
+ v k т-- + =r-
t k xk vk
YUk - vk
+ Fk I Pv
+
+ fuifd<u-uk) + U d<u- uk) + d<u- ukun)Л д Pv 2 ( dt n dxn dxn удv¡dvk
'(13)
/ ' f\ff u d P v = <u'uk)\ — d d + g. (T pdv ¡d v k
2Pv
Tp vi vk
xi
+ lu
vk
dUn d Pv
xk vi v
Уравнение (13) описывает транспорт ФПВ в фазовом пространстве (х, V) и эффект взаимодействия частицы с турбулентными вихрями сплошной среды. Моделирование турбулентных пульсаций скорости гауссовым случайным процессом
t
Ф
xk
d< v'v 1) + V д < v'vj) + l дФ< v'v 1 vk)
- + Vk^X~ +--
d< u'uj) + u Э< u¡u1) , d < uiuiukk
+f
ul
где
t
xk
+
xk
+
+
V1
= -(< v'¡vk) + gu<uiuk))dX- -
Vi
- (< vjvk) + gu<u1uk))¿X +
,7 f/ • ■ \dU1 , / • <\dU¡]
+ lu(<u¡uk) dxk + < u1uk) dXkj
+ -(fu< u'¡u'j) - < vi vj))> Tp
Ф = JPvdv, V¡ = -j-Jv¡Pvdv, < v¡vj) = |J( vi - Vi)(vj - Vj)Pvdv,
(16)
0
p
2
2
< V V'= -ф|( V; - Vi)(Vj - Vj)( Vk - Vk)Pvdv,
Dpij = т р (< V' + Я« < «';«']>) •
С целью
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.