РАСПЛАВЫ
3• 2008
УДК 514.11:538.91
© 2008 г. А. Г. Воронцов, Д. А. Куц
СТАТИСТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА СТРУКТУРЫ ОДНОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ
Проведено исследование анализа структуры ряда однокомпонентных систем при помощи нового статистико-геометрического метода, использующего разбиение Вороного - Делоне. Использован параметр, определенный для симплексов Делоне и принимающий для каждого симплекса одно из пяти значений, что позволяет избежать трудностей, связанных с неоднозначностью калибровки непрерывно распределенных величин.
Понятие "структура" жидкости восходит к работам П. Дебая [1] (1931 г.) и Дж. Бер-нала [2] (1960 г.), было показано, что во взаимном расположении атомов жидкости присутствуют определенные закономерности. Несмотря на длительный период исследований в этой области, в настоящее время нет общепринятого понятия "структуры" жидкости. В разных работах под "структурой" понимают или набор корреляционных функций [3], или конкретное расположение частиц в пространстве [4], а иногда совокупность конкретного расположения частиц в пространстве и статистических закономерностей их расположения [5]. Мы будем придерживаться последней точки зрения.
Использовать набор корреляционных функций для описания расположения атомов в жидкости затруднительно, поскольку из экспериментальных данных можно получить только парную функцию распределения. Для установления статистических закономерностей во взаимном расположении большого числа частиц необходимы функции распределения более высоких порядков. Восстановление таких корреляционных функций по определенной из эксперимента парной функции является некорректной задачей, которая до настоящего времени не решена. Использование только парных функций распределения не дает однозначного результата, например в работе [6] был построен набор систем, обладающих различным упорядочением, но сходными парными корреляционными функциями.
Наиболее полно исследовать структуру жидкости можно при помощи компьютерного моделирования, поскольку разработан ряд методов, позволяющих определять расположения атомов модели, согласующиеся с результатами экспериментов по рассеянию нейтронов и электронов. Можно назвать методы Шоммерса [7], Реатто [8], Обратного Монте-Карло (ОМК) [9], которые успешно решают эту задачу. Для жидкости необходимое число частиц при моделировании измеряется тысячами, поэтому их координаты представляют собой огромный массив данных, из которого необходимо извлечь закономерности их взаимного расположения. Только после этого можно говорить об определении структуры, структурных превращениях, различиях в структурах систем и т.д.
Одним из наиболее строгих и распространенных методов анализа закономерностей в расположении частиц является метод Вороного - Делоне [10]. Этот метод основан на разбиении пространства модели на многогранники Вороного (МВ) или симплексы Делоне (СД) и последующем изучении их размеров, формы и взаимного расположения. Многогранник Вороного (в общем случае Б-область Вороного [11]) определяется как область пространства, лежащая ближе к выбранному атому, чем к остальным. Эта структурная единица содержит информацию о расположении порядка 15 атомов - со-
седей выбранного. Симплекс Делоне - существенно меньше. Это тетраэдр, вершинами которого являются 4 атома, такие, что сфера, внешне касающаяся каждой атомной сферы этих атомов, не пересекается с другими атомными сферами системы [10]. Такая сфера называется симплициальной сферой и является простейшим элементом межатомного пространства [10]. Метод Вороного - Делоне был успешно применен для анализа нагретых кристаллов [12], жидкостей [13], молекулярных систем [14]. В этих случаях удалось найти характеристики разбиения Вороного - Делоне, с помощью которых в кристаллах были выделены области с искаженной кристаллической структурой [12], в жидкостях - элементы кристаллического строения [13], в молекулярных системах - полости определенного размера и формы [14]. Отмечается [13], что изучение симплексов Делоне и симплициальных пор гораздо выгоднее, если необходимо определять структурные объекты небольшого размера. Дело в том, что элементы структуры, например кристаллической ГЦК, содержат всего шесть атомов и МВ оказывается слишком большим, чтобы выделить его. Кроме того, количество СД гораздо больше, чем МВ (примерно в 6 раз), что позволяет получить лучшую статистическую повторяемость результатов для небольших моделей.
Одним из наиболее серьезных недостатков всех используемых методов анализа разбиения Вороного - Делоне является использование непрерывно распределенных величин. Например, для МВ предложено использовать площадь граней, объем многогранника, коэффициент сферичности [15], расстояние до ближайших соседей, распределение соседей по углам, вычисленное через сферические гармоники [16], и т.д.; для СД предложен набор мер [17, 18], определяющих близость симплекса к тетраэдру, четвертинке октаэдра и т.д. Даже те величины, которые имеют дискретное распределение (число граней МВ, число 4-, 5- и 6-угольных граней в МВ), могут принимать большое (от 0 до 20) количество значений. Непрерывно распределенные величины достаточно трудно анализировать, так как для получения распределения приходится проводить усреднение большого количества величин, т.е. большого количества МВ или СД, но при этом совершенно теряются мелкие особенности и полученная величина оказывается усредненной по большому объему. Кроме того, конкретное значение величины не имеет определенного смысла, так как может появляться в различных типах структуры, например в нагретом кристалле и жидкости.
Нами предлагается использовать параметр, определенный для СД и принимающий всего 5 значений от 0 до 4, что позволяет четко отнести симплексы к определенному виду. Этот параметр уже был использован для изучения изменений происходящих в расплавах металлов при высоких температурах [19] и показал свою информативность. В этой работе показано его применение для изучения процесса плавления меди и его поведение в модельной системе леннард-джонсовской жидкости.
Метод анализа структуры. В нашей работе использовался общий способ построения разбиения Вороного - Делоне для системы шаров разного радиуса. В случае, когда шары имеют различный радиус, используется так называемая Б-область Вороного [10, 11], а симплексы Делоне определяются через сиплициальные сферы [10]. Атомные модели, определяемые методами компьютерного моделирования [7-9], представляют собой список координат центров атомов, поэтому для построения разбиения Вороного -Делоне необходимо дополнительно указать их радиусы. Из всех возможных методов нами был выбран следующий: атомные сферы "раздувались" из своих центров до касания, коснувшись, сферы прекращали свой рост. Это продолжалось до тех пор, пока каждая атомная сфера не прекращала свой рост. После описанной процедуры получался набор непересекающихся атомных сфер с незначительно различающимися радиусами. С одной стороны, это не противоречит представлениям квантовой механики о том, что размеры атомов зависят от условий (например, от локальной плотности). С другой стороны, подобная процедура позволяет однозначно выбрать радиусы и исключить из
Рис. 1. Двухмерная иллюстрация построения разбиения Делоне и системы симплициальных сфер (1 - симплициальная сфера, 2 - атомная сфера, 3 - сетка Делоне).
рассмотрения изменения структуры, связанные с пропорциональным увеличением всех расстояний, так как при пропорциональном увеличении всех размеров не изменяется взаимное расположение СД, что, как можно будет увидеть, не приводит к изменению используемых параметров.
После того, как радиусы атомов были выбраны, строили разбиение Делоне и находились радиусы симплициальных полостей по алгоритму, описанному в [10]. Двухмерный пример построения приведен на рис. 1. Построенный набор симплициальных сфер характеризует форму пространства незаполненного атомами (межатомного пространства). Этот набор описывается рядом параметров: координатами центров, радиусами, и связностью, так как каждый симплекс имеет по четыре соседа, с которыми имеет общую грань. Для полостей можно определить параметр п, показывающий количество пересечений выбранной симплициальной полости с полостями, находящимися в соседних симплексах [19, 20]. Очевидно, что параметр п в трехмерном пространстве может принимать только значения от 0 до 4 (от 0 до 3 в двумерном случае). Симплексы с различным значением п показаны на рис. 1. Предложенный параметр характеризует локальную "рыхлость" системы (рис. 2).
Действительно, наиболее плотноупакованное расположение атомов соответствует правильному тетраэдру, для которого п = 0. Симплекс с п = 1 - это искаженная форма тетраэдра. Симплексы с п = 2 образуют октаэдрические поры в плотноупакованных кристаллах ГЦК и ГПУ. Октаэдрическую пору составляют 4 попарно смежных симплекса, симплициальные сферы которых совпадают [10]. В симплексе с п = 3 один атом "отгорожен" от своих соседей слоем симплициальных сфер. Симплекс с п = 4 является элементом "рыхлой" структуры, в которой атомы имеют значительное пространство
значениям параметра п (1 - положение атома, 2 - симплициальная сфера).
для перемещения. На рис. 2 показаны примеры симплексов с различным значением параметра п. Небольшое количество значений, которые принимает указанный параметр, и простота его интерпретации позволяют использовать п в качестве основы для получения других параметров, например для определения группировок симплексов некоторой формы.
Для описания межатомного пространства всей модели в целом использовали параметры щ - доли симплексов (и соответственно симплициальных сфер) со значением параметра п = I, взятой от полного числа симплексов. Ранее указанный параметр был использован [19, 20] для определения структурных изменений в расплавах металлов при высоких температурах и показал свою информативность.
Структура жидкости Леннарда-Джонса. Модели леннард-джонсовской (Л-Дж) жидкости, состоящей из 4096 части, были построены методом молекулярной динамики. Моделирование проводили при помощи пакета ЬАММРБ [21], использова
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.