ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 1, 2004
УДК 539.375
© 2004 г. В. К. Лащенов, Б. М. Нуллер
СТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В УПРУГОЙ ПОЛОСЕ (ОДНОРОДНЫЕ ЗАДАЧИ)
1
Рассматривается стационарная динамическая задача о движении в упругой полосе х е (-го, +го), у е (-Н, Н) с дорелеевской скоростью с центральной полубесконечной трещины х е (-го, 0), у = 0. При х = -го заданы амплитуды распространяющихся волн (однородных решений). Вместе с задачей расщепления полосы решена в квадратурах родственная задача расслаивания двух полос х е (-го, +го), у е (-Н, 0) и у е (0, Н), не склеенных, но плотно прилегающих одна к другой при х > 0, у = 0. Найдены коэффициенты интенсивности напряжений в вершине трещины. Исследованы случаи частичного перетекания энергии деформации по х из минус на плюс бесконечность в обход трещины. Сопоставлены незатухающие кусочно-однородные решения эластостатических и стационарных задач. В частности, показано, что не существует стационарных решений, переходящих при с ^ 0 в известные эластостатические решения задач, в которых к расщепленным частям при х = -го приложены изгибающие моменты и перерезывающие силы.
Во многих задачах квазистатического развития трещин главный показатель устойчивости трещины, коэффициент интенсивности напряжений (КИН), находят, не решая саму задачу. Соответствующую методику разработал Райс [1]. Она опирается на принцип сохранения потока энергии О, проходящего по упругому телу из бесконечности в вершину трещины, и на формулу Ирвина [2], связывающую КИН с величиной О. Были рассмотрены [3] задачи такого рода различной сложности. Если в качестве критерия развития трещины используется не критический для данного материала КИН Кс, а предельный сток энергии Ос, то для оценки состояния трещины подсчитывают приращение энергии О, используя элементарные механические соображения, соответствующие условиям на бесконечности, а также критерий неустойчивости трещины О > Ос.
Результаты проведенного ниже исследования позволяют заметить, что в стационарных задачах теории упругости для волноводов указанная методика исследования состояния трещины не работает, ибо энергия и инерция упругого тела на бесконечности неограниченно велики и невозможно заранее предугадать, каков будет поток. Однако еще более существенным препятствием для использования метода Райса в стационарных задачах, как это следует из данной работы, является невыполнение условия стационарного развития трещины О = Ос. Оказывается, что в ряде случаев мощность потока энергии распространяющихся волн Е при х = -го в несколько раз превышает предельную величину Ес, так как часть его, минуя вершину тре-
1 Борис Маркович Нуллер (1934- 2002), доктор физико-математических наук, профессор, крупный специалист в области механики и прикладной математики. Выпускник Харьковского университета, работал во ВНИИ гидротехники им. Б.Е.Веденеева и Лесотехнической академии (Санкт-Петербург). Автор метода кусочно-однородных решений для уравнений в частных производных со смешанными граничными условиями. Внес существенный вклад в развитие методов решения функциональных уравнений Барнса, Гильберта-Римана, Винера-Хоп-фа, в теорию нелинейной консолидации, построил математические модели процессов резания и пропитки уплотняемых клеточных и пористых материалов. Талантливый ученый, прекрасный педагог, опубликовал более двухсот печатных работ, воспитал многочисленных учеников и последователей.
щины х 6 (-го, 0), уходит на +го. Переносчиками этого потока служат распространяющиеся волны, изменяющие свою частоту после прохождения через сечение х = 0.
1. Постановка задачи. Наряду с упругой плоскостью упругая полоса, ослабленная полубесконечным разрезом, служит наиболее простой и информативной моделью состояния трещины в твердом теле. Она учитывает ограниченность реальных областей в одном направлении, описывает свойства распространяющихся волн, их вклад в приток (или отток) дополнительной энергии в вершину трещины.
Пусть полоса 6 (-го, +го), у1 6 (- Н, Н), обладающая упругими характеристиками X, ц и плотностью р, движется с постоянной дорелеевской скоростью с относительно плоскости хОу в сторону, противоположную оси Ох, так что х = х1 - у = у1, где ? - время.
Полоса расщепляется полубесконечной центральной трещиной х < 0, у = 0, вершина которой движется в ней со скоростью с в направлении О1х1 и остается на месте в координатах хОу.
Благодаря зеркальной симметрии расщепляемой полосы х 6 (-го, +го), у 6 (-Н, Н) исходная задача распадается на симметричную (задача А) и кососимметричную (задача Б). Эти задачи можно сформулировать в виде двух задач для верхней полосы х 6 (-го, +го), у 6 (0, Н) при смешанных граничных условиях
для обеих задач
оу(х, Н) = тху(х, Н) = 0, х 6 (-го, + го) (1.1)
для задачи А
оу (х, 0) = -Р^ х + £), х 6( - го, о); и( х, 0) = 0, х 6( 0, + го)
тху(х, 0) = 0, х 6 (-го, + го) для задачи Б
т ху( х, 0) = Р25( х + £), х 6( - го, 0); и( х, 0) = 0, х 6( 0, + го) оу (х, 0) = 0, х 6 (- го, + го)
(1.2)
(1.3)
где Р1 > 0 и Р2 > 0 - величины сжимающих нормальных и направленных против оси Ох касательных сосредоточенных сил, приложенных к берегам трещины в точке х = у = 0; 8(х) - дельта-функция Дирака. Кроме того, ставятся некоторые волновые условия при х = -го и условия непересечения берегов трещины и(х, 0) > 0, х < 0 в задаче А. При рассмотрении задач расщепления А и Б должно выполняться условие ограниченности энергии упругих деформаций в окрестности вершины трещины. В задаче расслоения А необходимы ограниченность сжимающих нормальных напряжений оу(0, 0) < 0 и отсутствие растягивающих напряжений оу(х, 0) > 0 при х > 0.
2. Общее решение. Решение строится при помощи функций Папковича-Нейбера в интегралах Лапласа[4]
u (x, y)
¿ 1["ф< py)+a-b)p py)
e' dp (2.1)
1 Г 2
U(x, y) = =—. f Ф'(p, y) --2-2¥(p, y)
2L a - b
2 2 epxdp (2.2)
- a^ _ b
Ф( P, y) = A cos apy + 5sin apy, ¥( p, y) = Ccos bpy + D sin bpy (2.3)
a = Jl - c2cf, b = Jl - c2cf, c1 = (X + 2ц)р-1, c22 = цр1 (2.4) c1, c2 - скорости волн сжатия и сдвига.
Воспользовавшись формулами Коши и подставив функции (2.1) - (2.4) в основные условия (1.1) - (1.3), получим общие для задач А и Б формулы
(х, у) = JG(p)Uk(p, у)epxdp, k = 1, 2,..., 5
2b
Ui(p, у) = p(Aca + Bsa) + --2(- Csb + Dcb)
a - b
U2(p, У) = ap(- Asa + Bca) --2-2(CCb + DSb)
a - b
(2.5)
(2.6) (2.7)
U3 (p, у) = 2цp
1 + b2
ap (- As a + BCa) - --2 (CCb + DSb )
a - b
(2.8)
U4(p, У) = p\ p1 - a2) + 2ц](Aca + BSa) + (- CSb + DCb)
a - b
(2.9)
u 5 (p, у) = -mp
2 4 b p(1 + b )(Aca + BSa) + —-5(- Csb + Dcb)
a - b
(2.10)
где Uk(p, у) - трансформанты Лапласа перемещений u(x, у) = u1(x, y), v(x, у) = u2(x, у) и напряжений T-^x, у) = u3(x, у), ox(x, у) = u4(x, у), oy(x, у) = u5(x, у), G(p) - произвольная функция, cr = cos rpу, Sr = sin ^у. В симметричной задаче А
A = (1 + b2)(4 ab - c+) p\ B = (1 + b2 )d_p 1
C = a (a2 -b2) d-, D = a (a2- b2)[ c- + (1 + b2 )2 ] В кососимметричной задаче Б
A = -4 bd+p~ \ B = 4b [ c- + (1 + b2)2 ] p~1
C = (a2 - b2)(1 + b2)(c+ - 4ab), D = (a2 - b2)(1 + b2) d+
22
Здесь
a± = [ 4ab ±( 1 + b f]/2 c± = a- cos (a + b) ph ±a+cos (a-b) ph d± = ± a-sin(a + b)ph- a+sin(a-b)ph
(2.11) (2.12)
(2.13)
(2.14)
u
k
L
3. Однородные задачи. Полагая в смешанных условиях (1.2) и (1.3) Р1 = Р2 = 0 и подставляя вместо их трансформант соответственно функции (2.10), (2.7), (2.11), (2.12) и (2.8), (2.6), (2.13), (2.14), для однородных задач получим равенства
для задачи А
о+(p) = G(p)Ni(p), v(p) = G(p)N2(p), p e L (3.1)
Ni(p) = 4^p^a2sin2^-2-^ph - a+ sin2phj, N2(p) = -a( 1-b2)d_ (3.2) для задачи Б
т+(p) = G(p)Nз(p), и"(p) = G(p)N4(p), p e L (3.3)
N з( p) = -2 N1 (p), N4 (p) = -2 b( 1- b2) d+ (3.4)
Верхние индексы плюс и минус обозначают аналитичность трансформант функций oy(x, 0), Txy(x, 0) и u(x, 0), u(x, 0) соответственно в правой Rep > 0 и левой Rep < 0 частях комплексной плоскости p. Исключив в (3.1) и (3.3) функции G(p), получим уравнения Винера-Хопфа: для задачи А
о+(p) = K(p)и"(p), K(p) = Ni(p)/N2(p), p e L (3.5)
для задачи Б
т+(p) = K(p)u"(p), K(p) = Nз(p)/N4(p), p e L (3.6)
В данном случае представляют интерес те кусочно-однородные решения рассматриваемых задач, которые описывают упругие волны, распространяющиеся без затухания на бесконечность или из бесконечности. Очевидно, они порождаются только нулями функций Nk (3.2), (3.4), лежащими на мнимой оси. Изучим эти нули.
Поскольку величины a, b, a - b, a± положительны, sin(a ± b)ph > 0 на мнимой оси p = iß при ß > 0; следовательно, функция N2(p) имеет простой нуль p = 0 и не имеет других чисто мнимых нулей при ß e
При p = iß, ß > 0 функция N4(p) имеет, очевидно, только те же нули, что и функция
/(ß) - a- a+1, где
f (ß) = sh(a - b)ßh[sh(a + b)ßh]-1 Так как
(ash2bßh - b sh2aßh)ß = -4abhsh(a + b)ßhsh(a - b)ßh < 0, ße (0, <~)
lim (ash2bßh - b sh2aßh) = 0
ß^ 0
то
f' (ß) = h (a sh2 bßh - b sh2aß h)[ sh (a + b )ß h]-2 < 0, ße (0, <~)
Следовательно, функции f(ß) и f(ß) - a- a+1 монотонно убывают по ß в интервале (0, го). Согласно равенствам
ßlimf (ß) = (a - b)(a + b)-1, ßlim f(ß) = 0 последняя функция на концах этого интервала принимает противоположные знаки: a a( 1- b2 )2 a a
f (0) - — = , > 0, f (го) - — = < 0
a+ a+(a + b) a+ a+
Таким образом, в интервале (0, го) функцииДР) - а- а+* и "4(/р) имеют единственный простой нуль в = в0. Кроме этого, функция "4(р) на мнимой оси имеет простые нули р = 0 и, в силу ее нечетности, р = - г'Р0.
Функцию "1(р) можно представить в виде произведения уже исследованных функций
_АГ (р\7 (р
р> =
Отсюда следует, что при одинаковых параметрах во всех "к(р) функции ^(р) и "3(р) имеют на мнимой оси два простых нуля р = +2г'Р0 и трехкратный нуль р = 0.
Функции "к(р) имеют также счетное множество комплексных и вещественных нулей р = рп(п = ±1, +2,...), расположенных симметрично относительно осей Яе р = 0, 1т р = 0. Опираясь на известную теорию [5], можно показать, что их асимптотика имеет вид
Пп + Гп, п = ±1, ±2, ...
(а + Ь) Н
где п - номер нуля в полуплоскости Яер > 0 в порядке неубывания модуля
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.