МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <2 • 2008
УДК 532.517.2
© 2008 г. С. Н. АРИСТОВ, Д. В. КНЯЗЕВ
СТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ВБЛИЗИ ПРОДОЛЬНО ДЕФОРМИРУЮЩЕГОСЯ ЦИЛИНДРА
В рамках класса точных решений уравнений гидродинамики с частью компонент скорости, линейно зависящих от осевой координаты, рассмотрены осесимметричный и вращательно-сим-метричный режимы стационарного течения вязкой жидкости в зазоре между продольно деформирующимся и твердым цилиндром. В исследованной области спектра значений числа Рей-нольдса найдена точка ответвления вращательно-симметричного решения от решения без закрутки и выделены интервалы кратных значений этого параметра, внутри которых каждому фиксированному Яе отвечает более одного решения вращательно-симметричного или осесим-метричного типа.
Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, точные решения, бифуркация вращения.
Течения жидкости в цилиндрических трубах и плоских каналах с продольной компонентой скорости, линейно зависящей от осевой координаты, неоднократно изучались различными авторами [1-6]. Интерес к течениям такого рода диктуется их важностью для ряда практических приложений, а также некоторыми интригующими теоретическими проблемами, возникающими в ходе их исследования.
В работах [1, 2] рассматривалась задача о стационарном течении вязкой жидкости в трубе с проницаемой боковой поверхностью. В результате этих исследований была показана неединственность решения задачи в зависимости от числа Рейнольдса, построенного по скорости подвода (отбора) жидкости через пористую поверхность трубы. Кроме того, было обнаружено исчезновение решений в ограниченном диапазоне значений числа Рейнольдса. Аналогичные свойства неединственности и исчезновения решения были обнаружены при изучении течения жидкости в продольно растягивающейся трубе [3].
Неединственность - типичная черта решений гидродинамических задач [4] и вопрос отбора физически реализуемых течений решается, как правило, путем исследования их устойчивости. В свою очередь, проблема исчезновения решений в каком-либо диапазоне параметров представляется более сложной. Применительно к задаче о течении в пористой трубе [1, 2] эта проблема была решена путем рассмотрения течений с не равной нулю азимутальной компонентой скорости [5]. Оказалось, что на том участке спектра Яе, где решение без закрутки пропадает, существует вращательно-симмет-ричное решение, одна из ветвей которого бифурцирует от режимов, изученных в [1, 2]. Подобный анализ был выполнен и для течения в растягивающейся трубе [3], но бифуркации вращения обнаружить не удалось.
В работе [5] обращено особое внимание на нетривиальную разрешимость задачи о незакрученном течении с линейно изменяющейся вдоль оси трубы продольной компонентой скорости при нулевом числе Рейнольдса. В связи с этим авторами [5] ставился, но остался не решенным вопрос о существовании при Яе = 0 вращательно-симметричного решения. Эта проблема была исследована в [6], где доказано существование двух решений задачи о стационарном течении вязкой жидкости в полубесконечном цилиндре, на боковой поверхности которого выполняются условия прилипания.
В настоящей работе рассматривается стационарное течение вязкой жидкости между бесконечными коаксиальными цилиндрами, внутренний из которых растягивается или сжимается вдоль своей оси со скоростью иг = Бг. Одно из сечений зазора между цилиндрами закрыто непроницаемой перегородкой. Интерес к данной задаче, в частности, связан с тем, что она может служить грубой моделью движения, возникающего в большом сосуде при квазистационарном истечении жидкости через центральное отверстие малого радиуса. При этом растягивающийся внутренний цилиндр моделирует поверхность формирующейся над отверстием струи, а непроницаемая перегородка играет роль свободной поверхности жидкости. В случае сжатия цилиндра (Б < 0) задача может быть интерпретирована как течение, возникающее в результате проникновения струи в заполненный жидкостью сосуд с непроницаемым дном.
1. Постановка задачи. Рассмотрим установившееся осесимметричное течение вязкой жидкости, заключенной между двумя полубесконечными коаксиальными цилиндрами радиусов Я0 < Я:, вызываемое осевым деформированием внутреннего цилиндра. Одно из поперечных сечений зазора между цилиндрами закрыто непроницаемой перегородкой, а на боковых поверхностях выполняются условия прилипания:
г = Я0: иГ = иф = 0, иг = Бг, г = Ях: иГ = иф = иг = 0 (1.1)
Здесь иГ, иф, иг - компоненты скорости в цилиндрической системе координат (г, ф, г), начало которой расположено на непроницаемом торце, а Б - заданный параметр, характеризующий скорость растяжения (Б > 0) или сжатия (Б < 0) внутреннего цилиндра.
В соответствии с граничными условиями (1.1) решение задачи естественно искать в виде, предполагающем линейную зависимость части компонент скорости от осевой координаты г [4, 6]
и -Ж!?' и- *« X > и х)
Р = * + < Я) X) -^-2 * 4 (X)) <и>
Здесь V - коэффициент кинематической вязкости; Р - давление, отнесенное к постоянной плотности; Р0 - значение Р на боковой поверхности внешнего цилиндра в плоскости непроницаемого торца г = 0; X = г/Ж1. Штрихом обозначено дифференцирование по безразмерной переменной х = (г/Ж1)2.
Поле скорости вида (1.2) тождественно удовлетворяет условию несжимаемости, а уравнения Навье-Стокса в точности редуцируются к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для безразмерных неизвестных и, и и g
2хи"' = 2g + (и-2) и"-и'и', 2хь" = и и - ии', 4x2g, = -и2 (1.3)
с граничными условиями, следующими из (1.1)
х = х0: и = и = 0, и' = -Яе/х0; х = 1: и = и' = и = 0 (1.4)
2
Положительным значениям числа Рейнольдса Яе = БЯ0 Л^) соответствует растяжение внутреннего цилиндра, а отрицательным - его сжатие. Заданный параметр х0 = (Я0/Я1)2 определяет геометрию задачи.
Анализ системы (1.3), (1.4) показывает, что она обладает решениями двух типов. К первому типу относятся решения, описывающие вращательно-симметричные течения жидкости с отличной от нуля азимутальной составляющей скорости (и Ф 0). Решения второго типа представляют собой осесимметричные движения с нулевой закрут-
кой потока (и = 0). В последнем случае из всех уравнений (1.3) остается только первое, а неоднородная по z составляющая давления g = g0 = const.
Наличие двух различных режимов течения заранее указывает на неединственность решения, т.е. следует ожидать, что в некоторых интервалах чисел Рейнольдса возможно одновременное существование обоих вышеуказанных типов движения жидкости. Это, в свою очередь, делает правомерным вопрос о возможности их взаимного ветвления.
Решение краевой задачи (1.3), (1.4) затрудняется ее нелинейностью и требует привлечения численных методов. С этой целью формулируется задача Коши с дополнительными параметрами, определяемыми частью граничных условий. Нетрудно заметить, что начальные условия предпочтительно ставить на правом конце отрезка интегрирования, так как при x = x0 необходимо удовлетворить лишь первым двум граничным условиям (1.4), а число Рейнольдса можно принимать в качестве вычисляемой величины.
Удобно ввести логарифмическую переменную и новые неизвестные
\ = -ln (x), u = U(\), и = , g = e2 ^G ©
Тогда (1.3) переходит в автономную систему с начальными условиями
2 U^ = Uk Uk - (U + 4) U^ - (U + 2) Uk-2 G
2V^ = 2(2Uk - U -3)V- (U + 4)V^, 4= V2-8G \ = 0: U = Uk = V = 0, U^ = U0', V^ = V0, G = G0
Значения любых двух из параметров U'0 , V0, G0, при фиксированном третьем, находятся из требований, диктуемых первыми двумя граничными условиями (1.4)
\ = \0 = -ln(Х0): U(U0, V0, G0) = V(U0, V0, G0) = 0
Число Рейнольдса вычисляется по формуле Re = U^(^0). Осесимметричному течению (V = 0) соответствует V0 = 0 и G = g0exp(-2^). Все приводимые далее численные результаты получены для x0 = 0.01.
2. Осесимметричные течения (и = 0). Кривые, изображающие зависимости U'0 (Re), G0(Re) на фиг. 1, неоднозначны, но могут быть разделены на отдельные ветви (B1 - B4) такие, что вдоль каждой из них решение единственно. В области умеренных положительных чисел Рейнольдса (Re < Re2 = 6.429) решение единственно. При Re > Re2 свойство единственности теряется, так как наряду с ветвью B1, выходящей из состояния покоя при нулевом числе Рейнольдса, существуют еще две ветви решения - B2 и B3. Первая из них продолжает Bx в сторону значений числа Рейнольдса меньших Re3 = 88.072. Вторая ветвь продолжает B2 в направлении возрастания числа Рейнольдса от значения Re2. Единственная ветвь B4 осесимметричной задачи о сжатии цилиндра возникает, как и B1, из состояния покоя Re = 0.
При малых числах Рейнольдса решение задачи без закрутки, принадлежащее ветвям Bj и B4, приближенно может быть найдено в виде разложения по натуральным степеням этого параметра. В случае |Re| < x0 для получения хорошего приближения
G,
1000
0
-1000 -
-2000 -
- -200
- -400
30 60 90 Re
Фиг. 1. Зависимость параметров ЦЦ и С0 от числа Рейнольдса осесимметричной (пунктирные кривые) и вращательно-симметричной (сплошные кривые) задачи
достаточно ограничиться первыми членами рядов, что соответствует ползущему течению Стокса:
Л?01 2 А
и = и1Яе+ ... = I — х + х (С11п (х) + С2) + С31 Яе + ...
01 + х0( 1п (х0) -1 Ь g0 = ^е+ . = 2 х0(1 - х° ) у Яе+ .
У = 2 (1- х0) + (1 + х0) 1п (х0)
Постоянные С, найденные из граничных условий, равны:
(2.1)
Ci = - -
Хо Y
C2 =
1 - x° + 2 x0ln (x0) Хо( 1 - xo) Y '
C3 =
1 - Хо + ln ( x 0 )
Y
Сжатие внутреннего цилиндра (втекающая струя, Яе < 0), согласно (2.1) и численным расчетам, индуцирует дивергентное радиальное течение заполняющей сосуд жидкости с компенсирующим потоком вдоль боковой поверхности внешнего цилиндра, направленным от непроницаемого дна г = 0. При небольших числах Рейнольдса (Яе < -0.188) максимальное по абсолютной величине значение продольной скорости достигается на поверхности сжимающегося цилиндра (фиг. 2, а; далее Уг, Уг, Уф - обез-размеренные на v/R1 компоненты скорости при X = 1). С увеличением абсолютного значения числа Рейнольдса максимум осевой скорости смещается во внутреннюю область потока. Одновременно происходит сужение зоны восходящего т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.