ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2014, том 50, № 3, с. 355-364
УДК 551.594
СТАЦИОНАРНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ МОДЕЛИ ГЛОБАЛЬНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ: КОРРЕКТНОСТЬ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ, ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ
© 2014 г. А. В. Калинин*, **, Н. Н. Слюняев*, **, Е. А. Мареев*, **, А. А. Жидков*, **
*Институт прикладной физики РАН 603950 Нижний Новгород, ул. Ульянова, 46 **Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского 603950 Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23 E-mails: avk@mm.unn.ru, slyunyaev.n@gmail.com, mareev@appl.sci-nnov.ru, artem.zhidkov@gmail.com Поступила в редакцию 27.03.2013 г., после доработки 24.07.2013 г.
Проанализирована постановка задачи о моделировании глобальной атмосферной электрической цепи. При некоторых относительно простых и общеупотребительных упрощающих предположениях показано, что задача может быть сведена к отысканию зависимости потенциала электрического поля от времени и пространственных координат по заданным генераторам, определяемым плотностью стороннего электрического тока и отвечающим грозовым облакам в реальной атмосфере, причем ионосферный потенциал (разность потенциалов между верхней и нижней границами атмосферы) не задается явно, а однозначно определяется из решения. Приведены формулировки как стационарной, так и нестационарной задач в терминах полей и в терминах потенциала, обсуждается их корректность. При некоторых ограничениях на распределение проводимости получен ряд аналитических соотношений, в том числе формулы, явно выражающие ионосферный потенциал через параметры задачи. Продемонстрированы примеры численных расчетов с помощью программного комплекса, построенного на основе обобщенных формулировок стационарной и нестационарной задач.
Ключевые слова: атмосферное электричество, глобальная электрическая цепь, ионосферный потенциал, модель, грозовые облака, корректность.
Б01: 10.7868/80002351514030079
1. ВВЕДЕНИЕ
Глобальная электрическая цепь (ГЭЦ) — распределенный токовый контур, образованный вы-сокопроводящими слоями верхнего слоя океана и земной коры и атмосферой, проводимость которой ничтожно мала в пограничном слое, но резко (экспоненциально) растет с высотой [1—4]. Благодаря такому распределению проводимости оказывается возможным ввести понятие ионосферного потенциала — разности потенциалов между Землей и достаточно высоко лежащими слоями атмосферы (соответствующими ионосферному слою Э), которая, будучи измерена одновременно в горизонтально разнесенных точках (путем интегрирования вертикальной компоненты электрического поля по высоте), оказывается одной и той же величиной по всему земному шару. Фундаментальной проблемой является определение вкладов основных генераторов в ионосферный потенциал V, их долговременных трендов, а также суточной и сезонной вариации.
Глобальная цепь связывает воедино области грозы и хорошей погоды и непосредственно отражает как состояние климатической системы Земли, так и влияние факторов космического окружения. В исследованиях атмосферного электричества концепция ГЭЦ является основополагающей; по мере накопления новых экспериментальных данных важность изучения ГЭЦ становится все более очевидной (см. ряд новых обзоров [1—8] и статей [9—14]). При этом многие смежные задачи, связанные, в частности, с моделированием крупномасштабных электрических полей в атмосфере, обусловленных действием источников космической и литосферной природы [15, 16], также удобно рассматривать с позиций изучения структуры и динамики ГЭЦ.
Наибольшее количество работ по моделированию ГЭЦ до сих пор было посвящено изучению стационарных моделей [17—20]. В настоящее время главным направлением теоретического исследования ГЭЦ является развитие самосогласован-
355
7*
ных моделей, учитывающих неоднородность распределения проводимости, в том числе связанную с возмущениями потоков космических лучей, высыпаниями энергичных частиц, выбросами аэрозольных частиц и радиоактивности [5, 6, 8, 12], а также нестационарные эффекты [21—23]. Вместе с тем даже в стационарном приближении некоторые важные вопросы, такие как корректность постановки граничных условий для различных моделей, адекватное описание основных генераторов ГЭЦ, остаются недостаточно исследованными. Важнейшими задачами остаются описание полей электрических источников (сторонних токов и зарядов) в атмосфере, включая разрядные токи [11, 13, 14, 24, 25], и учет вкладов основных генераторов (конвективных облаков, прежде всего грозовых) в ионосферный потенциал.
В настоящей работе строится математически корректная сферическая модель ГЭЦ для стационарной и нестационарной задачи. Важной отличительной чертой предлагаемой модели является возможность определения ионосферного потенциала V исходя из параметров задачи, причем в ряде случаев могут быть получены аналитические выражения. Кроме того, формулировка задачи оказывается удобной для применения проекционных методов, что позволяет рассчитывать зависимость электрического потенциала в атмосфере от пространственных координат и времени.
2. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ В ТЕРМИНАХ ПОЛЕЙ
В нашей модели атмосфера представляется областью ограниченной поверхностями (поверхность Земли) и Х2 (поверхность, охватывающая и отстоящая от нее на некоторое расстояние). Обозначая напряженность и индукцию магнитного поля соответственно как Н(г, г) и В(г, г), а аналогичные векторы для электрического поля соответственно как Е(г, г) и Б(г, г) (г — вектор, описывающий пространственные координаты, ? —
1
время), запишем систему уравнений Максвелла :
rot H = 1 dD + 4п j,
rot E = --
c dt c
15B
c dt' div B = 0, div D = 4np,
(1)
(2)
(3)
(4)
света. В качестве материальных соотношений выступают [26]
B = H, D = E, J = ctE + Jext,
(5)
где a(r, t) — проводимость, Jex (r, t) — плотность стороннего электрического тока. Обычно приближенно предполагается экспоненциальная зависимость проводимости от высоты над земной поверхностью [4, 26]. Подставляя второе и третье из соотношений (5) в (1), получим
rot H = 1dE + 4п f aE + Jextl. (6)
c dt c { }
Мы будем рассматривать задачу в квазистационарном приближении, когда изменением во времени магнитной индукции в (2) можно пренебречь [26]; в этом случае будем иметь вместо (2)
rot E = 0.
(7)
Поскольку проводимость Земли существенно больше проводимости приземных слоев атмосферы, поверхность Земли Х1 можно приближенно считать идеально проводящей [4]. С другой стороны, поскольку проводимость атмосферы экспоненциально растет с высотой, мы можем приближенно считать и другую граничную поверхность Х2 идеально проводящей, предполагая, что она отстоит от Х1 на достаточное для этого расстояние [18, 20]. При этих предположениях граничные условия можно записать в виде
- 0, ex|22 - 0,
(8)
где индекс т обозначает тангенциальную компоненту поля. Кроме того, необходимо задать начальное условие
E| t=о = E0,
(9)
где .1(г, г) — плотность электрического тока, р(г, г) — плотность электрического заряда, с — скорость
1 Здесь и далее все уравнения записаны в гауссовой системе единиц.
где E (r) — некоторое электрическое поле, удовлетворяющее (7) и (8).
При заданных функциях a(r, t) и Jext(r, t) уравнения (6)—(9) вместе составляют систему для определения неизвестных E(r, t) и rot H(r, t) (вопрос о корректности такой постановки задачи будет обсуждаться ниже). Само поле H(r, t) может быть затем найдено по известному rot H(r, t) с учетом уравнения (3), первого из материальных соотношений (5) и поставленного надлежащим образом граничного условия, а уравнение (4) с учетом второго из материальных соотношений (5) может быть использовано для отыскания плотности электрического заряда.
Отметим также, что система уравнений (6)—(8) отвечает соответствующей стационарной задаче (если считать все входящие в уравнения величины не зависящими от времени).
3. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ В ТЕРМИНАХ ПОТЕНЦИАЛА
Из уравнения (7) следует возможность введения в квазистационарном случае потенциала для электрического поля, т.е. такой функции ф(г), что E = - grad ф. Граничные условия (8) с этой точки зрения означают постоянство потенциала на поверхностях Х1 и Х2 в каждый момент времени. Таким образом, можно говорить об ионосферном потенциале У(), определяемом как разность между значениями потенциала на верхней (£2) и нижней (Х1) границах атмосферы.
Задача (6)—(9) может быть переформулирована в терминах потенциала. Чтобы переписать уравнение (6), воспользуемся тем, что векторное поле X может быть записано в виде ротора некоторого другого векторного поля Y в области ^ в том и только том случае, когда равны нулю div X и поток X через каждую компоненту связности границы ^ (при этом поле Y всегда можно выбрать так, что div У = 0, и это в данном случае обеспечивает со-2
гласованность с (3)) [27]. Система уравнений, соответствующая рассматриваемой задаче, таким образом, может быть записана в виде
д д?
Дф + 4п div (а grad ф) = 4п div Jех1,
(10)
Егаёф + 4яст grad фWs = 4п |Jех^, (11)
Также важно отметить, что, хотя в формулировке задачи в записи граничных условий присутствует функция Р^((), сама эта функция никак не задается, а определяется решением задачи. Во многих работах, посвященных моделированию глобальной электрической цепи, при постановке задачи потенциал однозначно задается как на нижней, так и на верхней границе атмосферы; и хотя при использовании близкого к реальному значения ионосферного потенциала ошибка в результатах вычислений может быть не слишком большой, такой подход все же следует признать некорректным, поскольку ставящейся в рамках него задаче отвечает решение, не удовлетворяющее, вообще говоря, точной системе уравнений (6)—(9) в терминах полей (а значит, не удовлетворяющее уравнениям Максвелла). Постановка задачи (10)—(13), напротив, не только подразумевает решения, удовлетворяющие уравнениям для полей, но и дает возможность вычислить ионосферный потенциал.
Как и при формулировке в терминах полей, стационарной задаче соответствует та же система уравнений, за исключением начального условия (13), в которой следует считать все величины не зависящими от времени:
div (а
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.