КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2012, том 50, № 6, с. 490-492
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 531.35
СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ ИХ УСТОЙЧИВОСТИ В ЗАДАЧЕ ОБ ЭВОЛЮЦИИ ДВИЖЕНИЯ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ШАРОВ
В ПОЛЕ ПРИТЯГИВАЮЩЕГО ЦЕНТРА © 2012 г. А. А. Зленко
Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет Поступила в редакцию 04.10.2011 г.
Описание задачи. Данная работа является продолжение работ [1—2], в которой рассматривалось движение двух вязкоупругих шаров в поле притягивающего центра с использованием метода усреднения и разделения движений в системах с бесконечным числом степеней свободы [3] и модели двойной планеты [4]. Притягивающий центр представляет собой неподвижную массивную материальную точку (Солнце) с массой М. Два однородных изотропных деформируемых вязкоупругих шара с массами т 1 (Земля) и т2 (Луна) (т2 < т1 < М ) движутся вокруг собственного барицентра по квазикруговым орбитам, а барицентр — по квазикруговой орбите вокруг притягивающего центра. Оси вращения шаров перпендикулярны плоскости их орбиты. Для описания деформированного состояния шаров применяется классическая теория малых упругих деформаций и модель вязких сил Кельвина-Фойхта. В результате была получена следующая система эволюционных уравнений:
(01 = С1а>}6''3 [к^О - (3) + £2(®1 - ®4)], (02 = С2®26/3 [&1 (т21 ш)2 ((2 - (3) + + к2 (т1/ш)2 (со2 - (4)\, (03 = с3к1 х (1) X [V ((Й1 - () + (2/ш)2 ( (( - (3)\ , (О4 = с4к2 [( (со1 - (4) + (т1/ш)2 ( (со2 - (4),
где ю1 — угловая скорость орбитального движения барицентра вокруг притягивающего центра, ю2 — угловая скорость движения шаров вокруг их барицентра, ю3 и ю4 — угловые скорости вращения первого и второго тела соответственно вокруг их центров масс; с1 = 54/—2/3 т-1, с2 = 54y-2/3m1/3m-1m;-1, с3 = = 18Л-1, с4 = 18А-1, у — универсальная гравитационная постоянная,/ = уМ, т = т1 + т2, = 0.4т(^0 —
момент инерции /-го (/ = 1.2) недеформированно-го шара, r,0 — радиус i-го шара;
„ = Х,р2 ME,. D/2 ,
105 (5v l + 7)
X, — коэффициент вязкости, р, — плотность, E, — модуль Юнга, v, — коэффициент Пуассона i — го шара (i = 1—2).
Система (1) имеет первый интеграл :
3с-1ю-1^3 + 3с-1®-13 + c3-1®3 + c41ю4 = G0, (2)
где G0 = const — момент количества движения системы двух шаров.
Стационарные решения эволюционной системы
уравнений. Можно показать, что система (1) имеет стационарные решения:
ю1 = ю2 = ю3 = ю4 = ю, (3)
где ю является корнем уравнения (2):
3с1-1ю-^3 + 3с-1ю-^3 + с3-1ю + с41ю = G0. (4)
Левую часть уравнения (4) запишем следующим образом:
Ф (ю) = а1ю + a 2 ю-1/3 = G0, (5)
где a1 = A1 + A2, a2 = mf2/3 + mm2(y2/m)1/3. Качественную картину корней уравнения (5) мы можем видеть на графике функции Ф(ю), представленном на рисунке. При некотором значении G0, равном G, мы видим сечение графика функ-
ции. На рисунке ю* =
3\
41 a1a2 27
Если
1/4
/ Л 3/4
Oi V3a1 J
, Ф(Ю*) = Фтщ =
, Ф( Ю*) = Фтах = -4
a,a
3\
1"2 27
1/4
(Go > Ф min) или (Go < Фтах),
(6)
СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ ИХ УСТОЙЧИВОСТИ 491
Ф (ю)
G
Ф
_1_1_
-ю.
ю„
_|_|_
O
Ф
ю
то из рисунка следует, что уравнение (5) имеет два действительных корня.
Если
(Go = фmin) или (Go = ф тах), (7)
то уравнение (5) имеет один действительный корень ю* или (—ю*).
Если Фтах < G0 < Фт1п, то действительных корней у уравнения (5) нет.
Уравнение (5) можно записать в виде
t + qt + r = 0,
где i
t = ю1/3, q = —
Go
mf2,3 + m
r = •
m (y vm)
(8)
V3
где
'1,2
= № Ф" - £),
'3,4
= 1 И ^
■z o+&) ,«0=3 - 2 4 (()2+((
з qi
3 "7
()2 + (()3, Pi = —4r, qi = -q2.
Для системы Солнце—Земля—Луна ю^ ~ ~ 277рад/сек, ю2, ~ 1.99644699 • 10-7 рад/сек. Значение ю2л очень близко к значению угловой скорости ю1 ~ 1.99643983 • 10-7рад/сек обращения барицентра Земля—Луна вокруг Солнца.
Если О = Фтщ, то существует единственное стационарное положительное решение юж = ю* =
= 8 г 03/ 2; если О = Фт
, то существует единственное
А + А + А2
Решая неполное уравнение четвертой степени (8) методом Феррари [5], мы получим два стационарных значения при условии (6):
.3 .3
два положительных корня = ^ и ю2х = ¿2, если
О0 > Фт1ш
,3 ,3
два отрицательных корня ю3л = ¿3 и ю4л = t4, если
О < Фтах1
стационарное отрицательное решение = —ю* =
= 1 _ 3 2
=--г о •
8 0
Геометрический смысл стационарных решений заключается в том, что оба шара находятся на одной линии с притягивающим центром (аналог коллинеарных точек либрации в задаче трех тел), и повернуты друг к другу одной стороной, т.е. синхронизированы в резонансе 1 : 1 как во вращательном, так и в поступательном движении.
Устойчивость стационарных решений. Запишем эволюционные уравнения (1) в новых переменных х1 = ю; — ю^(/ = 1—4), где ю8 может принять любое из стационарных значений юь, ю2л, ю3л, ю4л, юж. Затем мы произведем линеаризацию этих уравнений и, выразив х4 через х1, х2, х3 из первого интеграла (2), получим систему уравнений в вариациях:
dX/dt = AX,
(9)
где X = (х1, x2, x3)T, а элементы aj(1 = 1-3, j = 1-3) матрицы A имеют вид:
КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ том 50 № 6
2012
5*
492
ЗЛЕНКО
ап = С1®/6/3 (к + к2 - к2С4а5С1), Й12 = -ктО^ю]!С2 , а13 = С1®/6/3 (С]/С3 - к), а21 = -к2С2С4®4 (щ/т)2/С1, 1б/3
а22 = С2®, X X ( (2/т)2 + к2 (т^т)2 (1 - С]^~4/3/С2)),
а23 = (к2С] Ц/т)2/С3 - к (щ!т)), §
а31 = к1С3Ю],
а32 = к1С3®4 т)2, а33 = -к^®4 (1 + (иг/ т)2) • Система (9) имеет характеристическое уравнение
X3 + Ь{к2 + Ь2Х + Ь3 = 0, (10)
с безразмерными коэффициентами Ь1, Ь2, Ь3, которые состоят из безразмерных отношений:
г1 = т2, г2 = ^ г3 = к1, г4 =
т1 гю к2 Д (и)
г5 = т, гб = М во
где — расстояние от барицентра до притягивающего центра, Л1 — момент количества движения барицентра при движении вокруг притягивающего центра. Например, взяв данные для Солнца, Земли и Луны из [6], получим из (11): г1 = 0.0123, г2 = 0.266, гЗ = 0.00334, Г4 = 4.26 • 10-5, Г5 = 3 • 10-6, г6 = 0.9999987. Затем в окрестности этих значений мы рассматриваем некоторые реальные интервалы изменения переменных г1(0.1—0.001), г2(0.5— 0.001), гЗ(10-5-10-1), Г4(10-З—10-7), Г5(10-З-10-9), г6(0.5—1). Мы организуем шесть циклов для переменных г {) = 1—6), с достаточно малым шагом hj внутри соответствующих интервалов, и будем численно вычислять корни характеристического уравнения (10). Вычисления показывают, что корни имеют положительные вещественные части. Это говорит нам о неустойчивости стационарных решений в смысле Ляпунова.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Так как [1—2] и данная работа являются двумя частями одного целого то, резюмируя результаты, можно сказать следующее.
1. В стационарном движении шары находятся на одной линии с притягивающим центром и синхронизированы с резонансом 1 : 1 в поступательно-вращательном движении. Оно напоминает коллинеарные точки либрации в задаче трех тел и является неустойчивым.
2. Не подтверждается гипотеза о том, что Луна и Земля образовались из одного газопылевого облака, или, что Луна была частью Земли.
3. Приливная эволюция системы Солнце— Земля—Луна происходит таким образом, что Луна удаляется от Земли, затем приближается на близкое расстояние, причем они входят в резонанс (Луна и Земля повернуты друг к другу одной стороной), что может привести к падению Луны на Землю.
4. Этот же процесс происходит с небесными телами в Солнечной системе, во Вселенной. За счет этого приливного механизма происходит укрупнение тел или их разрушение (что возможно и произошло с мифической планетой Фаэтон), и, как следствие, катастрофическое изменение траекторий движения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зленко А.А. Уравнения движения двух вязкоупру-гих тел в рамках задачи о двойной планете. М.: 2009. Деп. в ВИНИТИ РАН. 30.09.09. N581-B2009.
2. Зленко А.А. Движение двух вязкоупругих шаров в поле притягивающего центра // Космич. исслед. 2011. Т. 49. № 6. С. 569-572. (Cosmic Research. P. 552).
3. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. М.: Изд-во мех-мата МГУ, 1997.
4. Вильке В.Г., Шатина А.В. Эволюция движения двойной планеты // Космич. исслед. 2001. Т. 39. № 3. С. 316-323. (Cosmic Research. P. 295).
5. Мишина А.П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра. М.: Физматгиз, 1962.
6. Куликовский П.Г. Справочник любителя астрономии. М.: Эдиториал УРСС, 2002.
КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ том 50 № 6 2012
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.