ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2015, том 53, № 5, с. 645-648
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛАЗМЫ =
УДК 533.95
СТЕПЕНЬ ИОНИЗАЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК КЛАССИЧЕСКИХ КУЛОНОВСКИХ СИСТЕМ © 2015 г. А. Л. Хомкин, А. С. Шумихин
Объединенный институт высоких температур РАН, Москва E-mail: alhomkin@mail.ru Поступила в редакцию 12.01.2015 г.
Для классических кулоновских моделей "заряженных шаров" и "с полочкой" рассмотрено ионизационное равновесие в окрестности критических точек обнаруженных в численных экспериментах фазовых переходов первого рода. Найдена степень ионизации и показано, что в окрестности критической точки она весьма мала. Сделан вывод о том, что обнаруженные фазовые переходы являются обычными переходами пар—жидкость, происходящими в газе нейтральных пар.
Б01: 10.7868/80040364415050166
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время возрос интерес к исследованию термодинамических свойств классических кулоновских систем и поиску фазовых переходов в них. Рассматриваются прежде всего "модель заряженных шаров" [1], а также кулоновская "модель с полочкой" [2]. "Модель заряженных шаров" (примитивная модель электролитов) давно и успешно используется в физике электролитов. "Модель с полочкой" предложена для реальной плазмы и нацелена на исследование свойств сильно неидеальной плазмы, в частности на поиск "плазменного фазового перехода" [3]. Привлекательность обсуждаемых моделей обусловлена тем, что их статистическая сумма является конечной и, следовательно, к ним применимы методы классической статистики, в частности численные методы Монте-Карло (ММК) и молекулярной динамики (ММД). В сравнительно недавних работах (см. [1] и ссылки в ней) для "модели заряженных шаров" найдены и подробно исследованы параметры фазового перехода первого рода. Рассмотрены системы одинаковых шаров, а также смеси различных как по размеру, так и по заряду шаров. Получены бинодали и параметры критических точек. Недавно [4] был обнаружен фазовый переход первого рода и в "модели с полочкой". Критические температуры для фазовых переходов в обеих моделях оказались достаточно низкими, более чем в десять раз меньшими абсолютного значения максимальной энергии куло-новского притяжения, что в значительной степени и затрудняло поиск этих фазовых переходов в более ранних работах.
В [1, 4] исследование ведется в рамках "физической модели" в каноническом ансамбле, т.е. рассматривается система частиц, несущих заряды разного знака, которая находится в некотором
объеме и имеет определенную температуру. Полученные численными методами результаты служат для проверки различных теоретических подходов и моделей. С другой стороны, результаты численных методов как для электролитов, так и для полностью ионизованной плазмы должны согласовываться с теоретическими данными, полученными по уравнению состояния в дебаевском приближении. Наличие классических связанных состояний систематически не рассматривалось.
Применительно к электролитам связанное состояние катиона и аниона принято называть бьеррумовской ионной парой. Современные варианты расчета статсуммы ионной пары рассмотрены в [5]. При обсуждении результатов расчетов по "модели заряженных шаров" основное внимание уделялось [6] влиянию прямого кулоновского взаимодействия и процессам экранировки. При первичном анализе вклад связанных состояний не исследовался.
Наличие связанных состояний в "модели с полочкой" вообще игнорировалось авторами модели [2] вплоть до последнего времени [7]. В последующих работах была предпринята попытка их систематического исследования численными методами [8] при рассмотрении рекомбинации. Применительно к обнаруженному фазовому переходу роль связанных состояний в [4] не анализировалась.
В настоящей работе будет рассмотрено ионизационное равновесие в классических кулоновских системах и выполнен расчет степени ионизации в окрестности критических точек фазовых переходов для обеих моделей. Тем самым будет сделана попытка найти ответ на вопрос, чем вызваны фазовые переходы: прямым кулоновским взаимодействием между зарядами или взаимодействием между нейтральными двойниками
(диполями), а возможно, и более крупными комплексами. Поскольку найденная степень ионизации оказалась весьма малой величиной, то обнаруженные фазовые переходы следует скорее считать разновидностью обычного фазового перехода пар—жидкость в газе нейтральных пар.
ИОНИЗАЦИОННОЕ РАВНОВЕСИЕ В КЛАССИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ
При понижении температуры в кулоновских системах (да и в любых системах с притяжением между частицами) происходит образование парных связанных состояний, а возможно, и более сложных комплексов. Количество парных связанных комплексов определяется уравнением Саха, связывающим концентрации свободных заря/ /
дов пе, щ и связанных пар пЬ:
_ X 3еХ3
/ / Пе П:
X ь §е<
(1)
I I пе п;
= йь,
(3)
где ^ = X32ъ, Х^ = д/2пй2р/ц.
Переходя в (2) от суммирования по квантовым состояниям к интегрированию по фазовому объему относительного движения пары, получим
& =
= * 2 Я;
1р1г
(2пП)3
ехр <!-р
Р + V (г)
2ц
(4)
Здесь ц, р, г — приведенная масса, импульс и координата относительного движения пары частиц. Интегрирование ведется по фазовому объему соответствующему связанным состояниям. Из (4) видно, что статсумма не зависит от постоянной Планка и является чисто классической. Соотношения (3), (4) можно использовать для произвольных потенциалов. Для потенциалов взаимодействия, имеющих кулоновскую асимптотику на больших расстояниях в необходимо учесть предельный радиус орбиты или вводить обрезание статистической суммы на минимальной энергии связанной пары [9]. Для конкретных расчетов важно, чтобы выбранные процедуры обрезания были разумными. Здесь использовано
обрезание предельного размера пары на среднем межчастичном расстоянии.
"МОДЕЛЬ ЗАРЯЖЕННЫХ ШАРОВ"
В примитивной модели электролитов взаимодействие между шарами с диаметром а и зарядом е описывается потенциалом
да, г < а,
П =
(5)
В (1) Хе,, Ь — тепловая длина волны Де-Бройля, 8е, ¡, Ь — статистический вес частиц сорта е, ¡, Ь; ХЬ — внутренняя статистическая сумма пары:
2ъ = 2п8п ехр(-рЕщ), (2)
где gn, Еп — статистический вес и энергия состояния п; Р = 1/кТ — обратная температура.
Для классических частиц и их связанных пар gЬ = = geg¡, так как спин отсутствует. Комбинация длин волн упрощается в общем случае и приводит к длине волны частицы с приведенной массой ц = = тет/(те + т ). В результате получаем классический аналог формулы Саха для связанных пар
Пъ
V(r) = л 2/
[±е /г, г > а.
Диэлектрическая проницаемость среды, реально присутствующая в электролитах, включена в заряд шара.
Перейдем в (4) к безразмерным переменным х = рр2/2ц и у = ре2/г, проинтегрируем по угловым переменным и конкретизируем фазовый объем соответствующий связанным состояниям:
¡х - у < —у :
1у: < У < Ъ .
В (5) у; = ре2Д- — маделунговский параметр неидеальности, выраженный через радиус ионной ячейки Вигнера—Зейтца г, а величина Ь = = Ре2/а соответствует максимальной энергии притяжения в температурных единицах.
В результате для статистической суммы имеем
ъ У-У;
Sъ = 8л/П(ре2)31 | ^Ул/Х ехр(-х + у)1х.
У; 0
У
Интеграл по х может быть выражен через функцию ошибок Ф(0:
ъ
Бь = 8л/Пфе2)3 К х
•"у
У;
х {ф^у-уд --^^У-Уее ~У+Ъ} 11у.
Учитывая условие электронейтральности
I I
(щ = пе) и сохранения концентрации полного числа частиц п = пЬ + п{ для степени ионизации а = п{ /п, получим уравнение 1 -а
= пБъ(Г, а).
(6)
а
В явном виде были выписаны аргументы статистической суммы, чтобы показать нелинейность уравнения ионизационного равновесия. Если использовать статсумму, предложенную Бьеррумом [5], или классический аналог статсум-мы Планка—Ларкина, то нелинейность исчезает. Это обстоятельство во многом определяет популярность последней в плазменных расчетах.
Для обсуждения результатов введем традиционные для физики электролитов безразмерные переменные: плотность р* = 2па3 и температуру
СТЕПЕНЬ ИОНИЗАЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК
647
Р: 0.4
0.2
1 1
О 1 1 1
1 1 1
р, 1
'О 1
о /
1
/
/
/
i /
» У
ш
1 . - J--- i i I I
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14
Т*
Рис. 1. Данные численного эксперимента [1] для би-нодали (1) и линии постоянной степени ионизации в области фазового перехода для "модели заряженных шаров": штриховая кривая — а = 0.01, пунктирная — 0.001, штрихпунктирная — 0.0001.
Y 100
10
0.1
\ ■ 1
▲
" \ • 2
■ 3
Г \ ■ч т 4
: ■
• Т V * ~~ —
1 ! 1
- ▼ ▲
- т ▲
•
J_I_I_L
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1.0
1.2 1/b
Рис. 2. Диаграмма состояний для "модели с полочкой": сплошная линия — бинодаль фазового перехода [4]; штриховая соответствует критерию у = Ь и отделяет плазмоподобную область (ниже кривой); символы — численные расчеты: 1 — [2], Ь = 4, 2 — [7], 3 — [11], 4 — [2], Ь = 4.
1
Т * = а/ве2 = 1/Ь. Фазовый переход для симметричной модели зафиксирован при р* = 0.08 и Т* = = 0.05. Если пересчитать эту температуру для водорода, условно приравняв е2/а потенциалу его ионизации («160000 К), то критическая температура окажется ~8000 К. При такой температуре в водороде ионизация практически отсутствует.
Эти качественные соображения подтверждаются результатами конкретных расчетов. На рис. 1 в координатах (р*, Т*) представлены расчеты линий фиксированной степени ионизации а = 0.01, 0.001, 0.0001. Видно, что еще задолго до критической точки степень ионизации оказывается малой и, следовательно, свободные (не связанные в пары) заряды практически отсутствуют. Имеет место, скорее, газ хаотически вращающихся диполей. Взаимодействие между ними близко к ван-дер-ваальсовому — 1/г6 [10]. В этом смысле обнаруженный фазовый переход соответствует обычному переходу пар—жидкость в нейтральных газах и дебаевские эффекты не играют роли.
МОДЕЛЬ "ПОТЕНЦИАЛ С ПОЛОЧКОЙ"
В кулоновской "модели с полочкой" размером X взаимодействие разноименных зарядов е описывается потенциалом
V(r) =
2/X, r < X, Vr, r >X,
а взаимодеиствие зарядов одного знака — потенциалом е2/г.
Статистическая сумма пары (атома) в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.