ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2012, том 48, № 1, с. 67-79
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
СТЕПЕННЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ*
© 2012 г. И.С. Светуньков, С.Г. Светуньков
(Санкт-Петербург)
Рассматриваются свойства новой экономико-математической модели, использующей элементы теории функций комплексных переменных, а также излагается подход по применению комплексных переменных в моделировании экономки на примере степенной производственной функции. Проводится сравнение результатов моделирования реальных экономических объектов предлагаемой моделью и производственной функцией Кобба-Дугласа. Показано, что использование комплексных переменных в экономике расширяет инструментальную базу экономико-математического моделирования.
Ключевые слова: производственная функция, комплекснозначная функция, метод наименьших квадратов, эффективность производства, валовая прибыль, издержки производства, труд и капитал.
Аппарат теории функций комплексных переменных уникален и активно применяется во многих областях науки: в теоретической физике, механике, электротехнике, гидродинамике и др. Но в экономике этот аппарат встречается очень редко - в основном комплексные переменные употребляются в области экономико-математического моделирования в тех случаях, когда возникает необходимость вычисления корней характеристических уравнений (Колемаев, 2005) или в теории функций комплексного переменного для прогнозирования экономической динамики (преобразования Лорана) (Чернышев, 2003; Семенычев, 2006). На наш взгляд, область применения аппарата теории функций комплексного переменного в экономике значительно шире и охватывает практически все направления использования экономико-математических методов. Наиболее ярко особенности и преимущества этого аппарата по сравнению с методами и моделями действительных переменных можно продемонстрировать на примере производственных функций.
Из всего многообразия возможных моделей производственных функций комплексных переменных рассмотрим модель степенной производственной функции комплексных переменных с действительными коэффициентами, которая, с одной стороны, является достаточно простой моделью, а с другой стороны, обладает яркими свойствами, аналогичными реально протекающим производственным процессам.
Производственную функцию комплексных переменных в общем виде можно представить в виде зависимости комплексного производственного результата от комплексной переменной производственных ресурсов в + /С = /(К + /Ь). Для степенной производственной функции с действительными коэффициентами зависимость примет вид:
в + /С = а(К + /Ь)ь, (1)
где в и С - некоторые выходные переменные, представленные действительными числами и характеризующими производственный результат; К и Ь - входные переменные, также действительные числа, характеризующие затраты взаимозаменяемых производственных ресурсов; / -мнимая единица, /2 = -1; а и Ь - действительные коэффициенты функции.
Если сравнить эту модель с моделями производственных функций действительных переменных, например с неоклассической производственной функцией, легко убедиться в преимуществе
* Выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 07-06-00151).
67
5*
модели (1). Оно заключается в том, что моделируется поведение сразу двух производственных результатов, а не одной.
В целях изучения свойств производственной функции (1) удобно рассматривать ее в экспоненциальной форме:
рв*6 = а(ге'{)ь, (2)
где р - модуль комплексной переменной производственного результата; 6 - ее полярный угол; г - модуль комплексной переменной производственных ресурсов; { - полярный угол этой переменной.
Для того чтобы использовать аппарат теории функций комплексных переменных при объединении двух экономических показателей в одну комплексную переменную, должны выполняться два условия: эти показатели должны быть двумя характеристиками одного процесса или явления (т.е. отражать разные стороны этого явления) и иметь одинаковую размерность.
Эти два условия выполняются, например, когда затраты капитала К и затраты труда Ь приведены, как это принято в теории производственных функций, к безразмерным величинам или измерены в денежных единицах. Исследования модели (1) на условных примерах показали, что при росте К и уменьшении Ь действительная часть производственного результата О увеличивается, а мнимая часть С уменьшается. В реальных производственных системах так ведут себя соответственно валовая прибыль и суммарные издержки производства. Очевидно, что если рассматривать комплексный производственный результат с помощью этих двух составляющих, то в сумме они дают доход предприятия О + С = Q.
Таким образом, с помощью степенной производственной функции комплексных переменных (1) при изменении производственных ресурсов К и Ь моделируется поведение сразу трех показателей результатов производства: валовой прибыли, суммарных издержек и валового дохода. Помимо этого следует обратить внимание на то, что арктангенс полярного угла производственного результата модели (1) представляет собой рентабельность производства (О/С), а арктангенс полярного угла комплексной переменной ресурсов - фондовооруженность труда (К/Ь). Поэтому с позиций экономического содержания степенная модель производственной функции комплексных переменных (1) весьма насыщенна, что делает ее интересным инструментом для экономического анализа.
Степенная комплекснозначная функция с действительными коэффициентами представляет собой одну из элементарных функций комплексных переменных, конформное отображение которой делает ее привлекательной для экономико-математического моделирования.
Применительно к нашей задаче отображения комплексной переменной производственных ресурсов на комплексную плоскость производственных результатов существуют ограничения, вызванные экономической сутью переменных. Комплексные переменные производственных ресурсов лежат в первом квадранте, поскольку К > 0 и Ь > 0, т.е. аргумент { комплексной переменной ресурсов меняется в пределах от 0 до г/2. Если он равен нулю, это означает, что для производства не привлекается ни одной единицы трудовых ресурсов. Если же он становится равным г/2, означает, что для производства привлекаются только трудовые ресурсы, а капитальные ресурсы равны нулю. Очевидно, что в реальности эти случаи встречаться не могут и оси координат мы должны исключить из области определения задачи.
Комплексные переменные производственных результатов лежат на комплексной плоскости в более широких пределах, определяемых полярным углом, находящимся в пределах от 0 до 3г/4, т.е. в первом и частично во втором квадрантах. Если полярный угол 6 комплексной переменной производственных результатов равен нулю, это означает, что издержки производства равны нулю, а валовая прибыль максимальна. Вряд ли можно вспомнить подобные ситуации в реальной экономической практике, поэтому ограничение в этой части следует записать как строгое неравенство. Поскольку во втором квадранте комплексной плоскости производственных результатов валовая прибыль, откладываемая по оси действительных чисел, становится отрицательной, то предприятие работает в убыток - отрицательная валовая прибыль численно равна валовому убытку предприятия. Отрицательная валовая прибыль (убыток) по своему экономическому смыслу не может быть выше издержек производства -О < С. В случае, когда ни одна
единица произведенного товара нереализована, валовая прибыль в численно равна сумме понесенных на производство затрат С, а по знаку становится отрицательной. Тогда полярный угол производственных результатов становится равным 3г/4. Случай, когда в = С является редким, но все же возможным явлением хозяйственной практики.
Поэтому любая модель производственной функции комплексных переменных, в том числе и степенная, должна быть дополнена условиями, налагаемыми на полярные углы комплексных переменных:
0 < { < г/2, 0 < е < 3г/4. (3)
Однако в силу периодичности полярных углов более полно с позиций теории функций комплексного переменного это условие должно выглядеть так:
2гк < { < 2гк + г/2, 2гк < е < 2гк + 3г/4.
Из всего множества чисел к в силу экономического смысла переменных будем использовать к = 0.
По экономическому смыслу производственных функций степенная производственная функция комплексных переменных должна быть однолистной. Это означает, что показатель степени Ь должен быть ограничен так, чтобы крайнему допустимому значению полярного угла производственных ресурсов { соответствовало крайнее допустимое значение полярного угла производственных результатов е. Так как для рассматриваемой функции е=Ь{, то показатель степени должен удовлетворять условию:
0 < Ь{ < 3г/4. (4)
Если показатель степени будет отрицательным, т.е. Ь < 0, то любое увеличение производственных ресурсов неминуемо приводит к уменьшению производственных результатов, и наоборот, - уменьшение трудовых и капитальных ресурсов приводит к увеличению результатов производства. При этом полярный угол производственных результатов становится отрицательным, что означает отрицательность издержек производства - ситуация в экономике невозможная. Поэтому мы рассматриваем только функции с положительными показателями степени.
Для степенной функции с действительными коэффициентами, используемой в качестве модели производственных процессов, рост радиуса и полярного угла комплексной переменной производственных ресурсов (трудовые ресурсы растут быстрее, чем капитал) будет означать увеличение производственных результатов с опережающим ростом издержек производства над валовой прибылью.
Если рассмотреть обратный экономический процесс - капитал растет быстрее, чем трудовые ресурсы (что на комплексной плоскости производственных ресурсов означает уменьшение полярного угла с одновременным ростом радиуса переменной), - то будем иметь вариант увеличения производственных результатов с опережающим ростом валовой прибыли над издержками производства, т.е. конформное отображение степенной комплекснозначной функции с действительными коэффициентами соотве
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.