ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 6, 2014
УДК 517.947.44
© 2014 г. Тушев О.Н., Донских A.M.
СТОХАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ КОНСТРУКЦИИ ПРИ СУЩЕСТВЕННОМ ОТЛИЧИИ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТ НОРМАЛЬНОГО
Научно-учебный комплекс "Специальное машиностроение", г. Москва
Рассматривается задача определения одномерных законов распределения динамических характеристик нелинейной механической системы при стационарных или квазистационарных внешних воздействиях. С использованием метода моментов, примененного к статистически линеаризованной системе, и специальных преобразований, определяются негауссовые законы распределения динамических характеристик. Вычисляются границы областей их разброса по заданным вероятностям попадания в области. Результаты иллюстрируются примером.
В настоящее время правомерность применения статистической линеаризации для решения многих типов нелинейных задач динамики конструкций многократно подтверждена практикой и сомнений не вызывает. Единственным необходимым и достаточным условием ее использования является нормальность законов распределения входных переменных нелинейных элементов. Известно, что относительно небольшие отклонения от нормальности слабо влияют на величины коэффициентов линеаризации [1]. Кроме этого линейные инерционные "блоки", которых в реальной системе обычно существенно больше, чем нелинейных, обладают свойством нормализации законов распределения. Вместе с тем законы распределения выходных переменных нелинейных элементов могут радикально отличаться от нормального. Это относится и к линейным элементам, если эффект нормализации оказался слишком слабым. В этом случае применение корреляционной теории оказывается неправомерным, и решение требует уточнения. Заметим, что во многих случаях наибольшие искажения законов распределения характерны для ускорений, которые играют преобладающую роль при расчете нагрузок.
Для использования метода моментов [1, 2] требуется преобразование к каноническому виду уравнений движения объекта, записанных в нормальной форме Коши, т.е. внешние воздействия должны представлять собой белые шумы. Известно, что переход к канонической форме осуществляется путем расширения фазового пространства за счет уравнений формирующих фильтров, преобразующих белый шум в реальные процессы. Последние легко получаются, если внешние воздействия представляют собой стационарные (или квазистационарные) случайные процессы с дробно-рациональным спектром. Этот аппарат хорошо разработан и широко описан в литературе, например, [1, 2]. Поэтому будем исходить непосредственно из канонической формы уравнения, ограничиваясь, таким образом, указанным выше классом внешних воздействий
Y = B(t) Y + Ф( Y, t) + V(t), Y(t0) = Y0, (1)
где Y = (yb y2, ..., yn)T — вектор фазовых координат; B(t) — матрица коэффициентов; V(t) — вектор белых шумов с вектором математических ожиданий My(t) и матрицей корреляционных функций Ky(t — t') = HS(t — t'); H — матрица интенсивности; Ф^, t) = (9i(Y, t), 92(Y, t), ..., 9n(Y, t))r — нелинейная вектор-функция. Для общности считается, что начальные условия случайны и заданы вектором математических ожиданий MYti и корреляционной матрицей Ky .
Линеаризуем нелинейную функцию в уравнении (1) [2]
Ф(Y, t) = L(My, Ky, t) + R(My, Ky, t) Y, (2)
где L(My, Ky, t) — векторная статистическая характеристика по математическому ожиданию; R(My, Ky, t) — матрица статистических коэффициентов по центрированному вектору; MY, KY — вектор математических ожиданий и матрица корреляционных моментов вектора Y.
Подстановка (2) в (1) и простые преобразования приводят к двум уравнениям My = B(t)My + L(My, Ky, t) + MV, My(t0) = MYo, (3)
Yo = C(My, Ky, t) Y0 + V0( t), Y0( to) = Y(4)
где C(My, Ky, t) = B(t) + R(MY, KY, t).
В соответствии с методом моментов на основании уравнения (4) получено матричное уравнение относительно KY.
ky = C(MY, KY, t)KY + KyCT(MY, KY, t) + H, KY(t°) = KYf,, (5)
где H — матрица интенсивности белого шума.
Совместное интегрирование уравнений (3) и (5) позволяет решить задачу в рамках корреляционной теории. При этом в силу симметрии матрицы KY, целесообразно интегрировать 0,5n(n + 1) скалярных уравнений. Стационарное решение при MY = 0, KY = 0, можно получить из системы трансцендентных алгебраических уравнений
BMY + L(MY, KY) + MV = 0, C(MY, KY)KY + KyCT(MY, KY) + H = 0.
Следует иметь в виду, что для реальных систем общее уравнение движения (1), а значит, и все последующие разрешающие соотношения обычно существенно упрощаются в техническом отношении по следующим причинам.
Нелинейная функция Ф( Y, t) практически всегда зависит лишь от небольшого количества фазовых координат, поскольку большинство уравнений в системе, описывающей движение конструкции, как правило, линейны.
Функции ф,( Y, t) Vi для механических систем обычно зависят только от одной или двух соседних фазовых координат.
Как уже отмечалось, полученные в рамках корреляционной теории результаты оказываются неудовлетворительными для выходных переменных нелинейных, а может быть, и части линейных элементов системы. Таким образом, это решение следует рассматривать как первый этап, на котором были найдены первые и вторые моменты выходных переменных всех элементов. При этом важно, что входные переменные нелинейных элементов полностью определены в отношении одномерных законов распределения в силу допущения об их нормальности. Исходя из этого, дальнейшее решение правомерно построить для каждого нелинейного или линейного элемента изолированно от всей системы. Поясним это на простейшем примере.
тх = р(х) + g (?) (6)
где р(х) — нелинейная позиционная характеристика, g(t) — стационарное внешнее воздействие с заданным законом распределения.
Очевидно, что плотность вероятности ускорения может сильно отличаться от нормальной. При этом входная переменная х нелинейности р(х) есть результат двух интегрирований ("инерционных" операций), что дает основание считать ее закон распределения близким к нормальному. Применение метода моментов к линеаризованной системе совместно с уравнением фильтра позволяет определить математическое ожидание т() и дисперсию Ох(^. Для нахождения плотности вероятности ускорения необходимо вначале найти плотность вероятности /(у), где
У = <Р(*), (7)
а затем — композицию законов распределения уф и g(t). При этом правомерно рассматривать преобразование (7) изолированно от всей системы, так как одномерная плотность вероятности входной переменной полностью определена. Такая ситуация характерна для любой сложной системы, описываемой общим уравнением (1). Второй этап решения задачи заключается в определении законов распределения выражений типа (7) вне зависимости от структуры и размерности системы в целом. Эта задача решена и описана в любой книге по теории вероятности, например, в [3]. Отметим, что используемые при этом аналитические приемы связаны с техническими трудностями (нахождение обратной функции) и не универсальны, так как зависят от вида р(х). Рассмотрим вычислительный алгоритм, который совершенно лишен этих недостатков и имеет простую численную реализацию.
Разобьем интервал по х, на котором /(х) существенно отличается от нуля, на равные подинтервалы размером 8 (рис. 1). Тогда х = ;8 и
у = р(/8) / = 1, 2, ..., п (8)
На каждом подинтервале 18 < х < (; + 1)8 V; заменим нелинейную функцию постоянной р(;8), т.е. получим вместо непрерывной функции кусочно-постоянную. Если р(х) имеет особенности, то, строго говоря, границы участков должны совпадать с координатами разрывов и изломов. Тем не менее, если интервал достаточно мал, что практически всегда выполняется, то это условие существенной роли не играет. В результате такого преобразования получается дискретная случайная величина, принимающая значения (8) с вероятностями
Р (У = Р( ¡8)) = Р[ /8 < х <( / + 1 )8] = ((/ + 1 )8) - ¥х(/8), (9)
где ¥х(...) — функция распределения х.
Таким образом, функция распределения ¥у(р(18)) имеет вид лестницы с неравной шириной ступеней, а их высота в точках Р(;8) определяется выражением (9)
п
^(р(/8)) = £[¥х((/ + 1 )8) - ¥х(/8)] 1(у - р(/8)). (10)
/ +1
На основании (10) плотность вероятности выражается следующим образом:
/у(Ф(/8)) = £[¥х((/ + 1 )8) - ¥х(/8)]8(у - р(/8)).
/ +1
Если случайная величина имеет нормальный закон распределения, несложно построить границы области, в которую с заданной вероятностью попадают ее реализации, например, с использованием известного правила "3ст". Для произвольного зако-
п
Рис. 1
Рис. 2
на распределения однозначное определение границ области без введения дополнительного условия не представляется возможным. В работе [4] эта задача рассматривается со всеми подробностями для многомерной плотности вероятности. Здесь целесообразно обойтись более простым вариантом. Считаем, что задана унимодальная плотность вероятности /(у). Условие для определения границ у1, у2 области разброса у записывается в следующем виде:
где Р — заданное значение вероятности.
Несложно увидеть, что для нормальной плотности вероятности Р = 0,9973 реализуется правило "3ст". Введем в рассмотрение функцию у2), имеющую смысл меры области [у1, у2], и потребуем, чтобы достигался
Теперь определение границ области формулируется корректно, как задача нелинейного программирования (11), (12). Функцию ¥(у:, у2) следует выбирать из условия практической целесообразности. Рассмотрим последовательно два возможных варианта, которые удовлетворяют этому условию
Построим алгоритм решения задачи, исходя из того, что /(у) > 0, ограничение аддитивно, а переменные пространства поиска входят в него только как пределы интегрирования. Разобьем интервал изменения у, где /(у) существенно отличается от нуля, на равные элементарные участки Ау (рис. 2). Рассмотрим левую часть ограничения (13). Число шагов интегрирования будет минимальным (до удовлетворения равенства), если последовательно суммировать ту элементарную площадку, на которой достигается Атах/(у) из всех оставшихся после очередного шага интегрирования. Минимум числа шагов соответствует минимуму интервала интегрирования. Это очевидное
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.