ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2014, том 48, № 6, с. 701-708
УДК 614.843.8:519.248
СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПЕНООБРАЗОВАНИЯ БЕЛКОВЫХ РАСТВОРОВ © 2014 г. С. А. Иванова, В. А. Павский
Кемеровский технологический институт пищевой промышленности pavvm2000@mail.ru Поступила в редакцию 05.07.2012 г.
Предлагается стохастическая модель, исследующая процесс образования и разрушения белковой газожидкостной дисперсной системы (пены). Модель позволяет описать состояние процесса в каждый момент времени первого цикла. В качестве основы для вычисления показателей эффективности процесса пенообразования предложены математическое ожидание, дисперсия и другие моменты случайных величин, характеризующих число пузырьков в единичном объеме, а также функция, описывающая скорость разрушения пены. Модель может быть полезной при имитационном моделировании процесса пенообразования.
Ключевые слова: пены на белковой основе, устойчивость, стохастическая модель, вероятность, моменты случайных величин, дифференциальные уравнения.
Б01: 10.7868/8004035711404006Х
ВВЕДЕНИЕ
Газожидкостные дисперсные системы (пены) относятся к свободнодисперсным системам, состоящим из газообразной дисперсной фазы и жидкой дисперсионной среды. Пена, как в жидкой, так и твердой форме, находит широкое применение в различных отраслях промышленности (нефтегазовой, пищевой, металлургии, пожаротушении и т.д.). К пенам относятся высококонцентрированные газожидкостные дисперсные системы, характеризующиеся тем, что объем дисперсной фазы превышает объем, доступный для свободной плотнейшей упаковки сферических частиц, в результате формируется ячеисто-пленочная структура [1, 2], подобная пчелиным сотам. Пузырьки разделены тонкими прослойками дисперсионной среды. Прочность жидких слоев обеспечивается наличием поверхностно-активных веществ, к которым относятся как природные соединения, так и синтетические.
Механизм процесса сложен из-за совместного влияния многочисленных физико-химических, физико-технических и других факторов. Закономерности, обусловливающие образование дисперсных систем, существенно зависят от условий проведения химико-технического или технологического процесса, при этом в процессе пеноге-нерирования одновременно происходит и пено-образование, и разрушение полученного газожидкостного слоя [3—13].
Во многом эти особенности пены затрудняют математическое описание процесса пенообразо-вания [3-5, 14-16].
Основными характеристиками пены являются кратность (отношение объема пены к объему раствора), дисперсность (размер воздушных пузырьков), устойчивость (период времени от образования до ее частичного или полного разрушения) [3, 4, 14, 17]. Среди отмеченных и других, менее общих, характеристик, устойчивость пены является показателем, который применим к любой пене, независимо от ее назначения.
Известно, что высокой устойчивостью обладают пены на основе белковых растворов, увеличение концентрации белков в которых приводит к увеличению пенообразующих свойств системы в целом [3, 18, 19].
Целью настоящей работы является создание стохастической модели, системно описывающей процессы пенообразования белковых растворов и определяющей продолжительность процесса формирования пены заданного качества.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Исследование процесса пенообразования. Для
изучения влияния продолжительности процесса газонасыщения белкового раствора использована стохастическая модель, описывающая эффективность течения процесса в среднем. В качестве основы для вычислений показателей эффективно-
сти рассмотрены математическое ожидание (среднее значение) М1 (?) случайной величины, характеризующей число частиц (пузырьков) дисперсной фазы пены в момент времени I при условии, что в начальный момент времени их число было равно М1 (0) = I, и дисперсия Ц(0, Ц (0) = 0, ? е [0,да), г = 0, 1, 2, ....
Если процесс образования пузырьков зависит, главным образом, от состава вспениваемого раствора (пенообразователя) и интенсивности механического воздействия, то разрушение происходит под действием как внутренних, так и внешних сил. Поэтому весь процесс пеногенерирования, представляющий технологический поток, можно рассматривать как динамическую систему потоков или систему массового обслуживания, а исследование осуществить методами теории массового обслуживания и случайных процессов [20—23].
Работу пеногенератора (генерирование пузырьков пены) примем за неиссякаемый источник поступления требований, характеризуемый параметром а. Разрушение пузырьков будем считать обслуживанием требований, характеризуемым параметром р.
Определение продолжительности процесса газонасыщения белкового раствора для получения пены заданного качества. Исследования показали, что процесс образования пузырьков можно считать пуассоновским [23], а их разрушения пуассонов-ским только в первом приближении. Как выяснилось, процесс разрушения белковой пены для I > 0 более эффективно описывается функцией
у(?) = В + ^ехр(-(? - а)2/Ь2), (1)
Ь>1
гдеА1, В, а, Ь1 — неотрицательные числовые параметры, значения которых можно получить из статистических данных, при В > 0, у(?) > 0, V? е [0,да).
В самом деле, известно, что динамику разрушения пены условно можно разделить на три части: начальная (незначительное разрушение, когда факторы разрушения оказывают минимальное воздействие на пену; происходит постепенный прирост скорости разрушения), активная (отличается значительным приростом скорости разрушения вплоть до максимальной, наибольшее влияние каждого фактора разрушения, в том числе и в совокупности) и затухающая (уменьшение скорости разрушения) стадии [4, 5, 23]. Поскольку устойчивость пены зависит от скорости разрушения, то ее характеристикой в нашей модели можно считать параметр р = у(?). Более того, оказалось, что границы разделяющие стадии разрушения пены определяются критическими точками функции у(1), которые находятся методами дифференциального исчисления.
Для удобства применения функции у(1) в инженерных расчетах, заметим, что она напоминает
плотность нормального распределения, которая в нормированном виде табулирована, поэтому в
дальнейшем вместо у(1), при А1 = л/л/П, Ь1 = л/2ь будем писать
Р(?) = В + А ул. ехр(-(? - а)2/(2Ь2))).
Перейдем к исследованию процесса пенообра-зования.
Математическая модель. Пусть имеем систему массового обслуживания, в которую поступают требования на обслуживание. Число требований, поступивших в систему за время I, представлено пуассоновским процессом
У(? = («о^-ш к!
где а — интенсивность, определяемая как среднее число пузырьков, генерируемых в единицу времени, ? е [0,да), к = 0, 1, 2, ....
Требование, поступившее в систему, сразу начинает обслуживаться. Время обслуживания — случайная величина ц, распределенная по экспоненциальному закону
ДП < 0 = 1 - е',
где р = 1/?тМ — интенсивность обслуживания, — среднее время обслуживания требования, определяемое как среднее время жизни пузырька.
Обслуженное требование покидает систему. Требуется вычислить математическое ожидание М;(?) и дисперсию Ц(?).
Пусть Рк ((,?) — вероятность того, что в момент времени ? е [0, да) в системе находится к требований, при условии, что в начальный момент времени I = 0 их было I.
Предложенная стохастическая модель описывается случайным процессом рождения и гибели [24] и формализуется в виде системы дифференциальных уравнений:
Р0'(/,0 = -а Р0(/,0 + р Р1(,?),
< Р'к(, ?) = -(а + кв)Рк ((, ?) + а Рк _1(, ?) + (2) + (к + 1)рр+1(/, ?),
с условием нормировки
да
^ Рк((,?) = 1, V ? е [0, да)
к=0
и начальными условиями
р (,0) = 1, Рк (,0) = 0, У к Ф I. (3)
Введем производящую функцию:
F(i,z,t) = YZpk(Ut), F(,1,t) = 1, V t e [0,w). (4)
к=0
Для всякого фиксированного t можно рекуррент-но выразить моменты случайных величин любого порядка, начиная с первого, через производящую функцию F(, z, t) и получить систему дифференциальных уравнений, непосредственно для них [21, 22, 24]. В частности, учитывая (2)—(4), для M (t) и D(t) получим систему двух уравнений вида [25]
d dt
d dt
Q(t) = D(t) + M2(t) - M(t),
M(t) + ßM(t) = a, Q(t) + 2ßQ(t) = 2aM(t),
(5)
начальные условия которой
М(0) = I, Д(0) = 0. (6)
Решение системы (5) с начальными условиями (6) имеет вид [25]
M(t) = a (1 - е -ß ' ) + ie -ß ', ß
Di(t) = a (1 - e -ß ' ) + ie -ß ' (1 - e
ß t
(7)
Если стационарный режим достигается достаточно быстро, то для экспресс-анализа удобно использовать формулы
M = lim M (t) = a/ß, D = lim D;(t) = a/ß. (8)
t ^œ t ^œ
Перейдем к исследованию процесса разрушения пены. В формулах (7) параметр (интенсивность) a определяется как среднее число пузырьков, образующихся в единицу времени, а параметр ß можно интерпретировать и как среднее число пузырьков, разрушившихся за ту же временную единицу. Следовательно, формулами (7) можно в среднем оценить эффективность процесса пенообразования в любой момент времени. При детальном анализе заметим, что параметр ß описывает процесс разрушения пены с момента ее образования и, потому, вообще говоря, зависит от времени, т.е. ß = ß(t), где ß(t) удовлетворяет (1). Учитывая физический смысл этого параметра, функциональная зависимость его определяющая позволит изучить процесс пеноразрушения в пределах первого осцилляционного цикла. Воспользуемся методами дифференциального исчисления. Вычисляя производную ß(t) и полагая ее равной 0, найдем наибольшее время t0, до которого следует остановить пенообразование (т.е. не дожидаясь достижения наибольшей скорости разрушения пены). Найденное критическое время позволяет нам не только эффективно использо-
вать формулы (7) (в которых значение параметра в находится или из статистических данных, или при известной функции р(0 используется теорема о среднем на промежутке интегрирования [0, t0]), но и оценить ошибку при применении формул (8).
Отметим, что вывод дифференциальных уравнений непосредственно для числовых характеристик устойчив к виду уравнения, т.е. независим от того, постоянные параметры а, в или являются функциями времени, чего нельзя гарантировать для уравнений системы (2).
Именно поэтому стохастическая
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.