ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 1, 2012
МЕХАНИКА МАШИН
УДК 534.1
© 2012 г. Асташев В.К., Крупенин В.Л.
СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ С ИЗЛОМАМИ ПРОФИЛЕЙ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ОБЪЕКТАХ, СОУДАРЯЮЩИХСЯ С ПРОТЯЖЕННЫМИ И КОМБИНИРОВАННЫМИ ОГРАНИЧИТЕЛЯМИ1
Даны результаты экспериментов с распределенным ударным элементом (струной), движение которой сопровождается ударными взаимодействиями с протяженными и комбинированными ограничителями хода различной топологии. Рассмотрены прямые и выпуклые ограничители. Изучены динамические эффекты, сопровождающие возникновение в таких системах периодических трапециевидных стоячих волн типа "хлопков", характеризующихся изломами их профилей, а также периодических стоячих волн с набеганием струны на ограничитель.
В работе [1] описаны картины трапециевидных периодических стоячих волн, возникающих при соударении струны с точечным ограничителем. Экспериментально были обнаружены стоячие волны, профили которых составлены из прямолинейных отрезков. Показано, что динамические характеристики такой системы аналогичны характеристикам классического ударного осциллятора [2—4]. В настоящей статье приводятся результаты изучения колебаний струны, соударяющейся с протяженными и комбинированными ограничителями различной конфигурации, в различных частотных диапазонах.
При описании виброударных процессов необходимо задать модель, описывающую процесс соударения. При исследовании дискретных колебательных систем, как правило, используют гипотезу Ньютона, согласно которой ограничитель считается абсолютно жестким, удар мгновенным, а его эффект оценивается с помощью коэффициента восстановления скорости. При исследовании соударения распределенной системы типа струны или стержня даже в предположении абсолютной жесткости ограничителя необходимо рассматривать удар как процесс, протекающий во времени и пространстве. Именно такие процессы рассмотрены в [1]. Исходя из этого положения, рассмотрим возможные гипотетические варианты процесса соударения струны с жестким протяженным ограничителем. Такие варианты приведены на рис. 1. Во всех случаях предполагается, что струна совершает свободные колебания из некоторых начальных положений при отсутствии диссипации энергии.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (Проект 10-08-00500).
а
б
в
777^7777777Т777777777^7/77777 17777777777777777777777777777 77777777777777777777777777777
На рис. 1, а показан процесс образования волны, названной процессом "набегания с отскоком". Он происходит следующим образом. Пусть в начальном положении струна имеет форму (кривая 1) синусоиды, соответствующую первой моде колебаний струны без ограничителя. В процессе колебаний эта форма будет сохраняться с изменением амплитудного значения до момента подхода точки экстремума к ограничителю с некоторой скоростью. Конфигурация струны в этот момент показана кривой 2. Предположим, что в этот момент точка отскакивает от ограничителя, сохраняя скорость по величине, но изменяя ее знак на противоположный, подобно тому, как это происходило бы при Ньютоновском соударении твердых тел. Отличие заключается в том, что в данном случае это лишь начало процесса соударения. Далее к ограничителю подходят и отражаются от него следующие точки струны, так что точки контакта струны с ограничителем разбегаются от точки начального контакта. Эта фаза удара заканчивается в момент, когда скорости всех точек струны обращаются в нуль. Конфигурация струны в этот момент показана линией 3. Далее весь процесс протекает в обратном направлении.
Второй возможный сценарий образования стоячей волны, называемый процессом "набегания без отскока" (рис. 1, б), отличается тем, что после достижения ограничителя одной из точек струны следующие ее точки как бы растекаются вдоль ограничителя. На рис. 1, б линиями 2 и 3 показаны промежуточная и конечная конфигурации волны в первой фазе удара. Поскольку предполагается отсутствие потерь энергии при ударе, то в этом процессе должно происходить искажение фронтов волны за счет перехода кинетической энергии в потенциальную энергию пограничных участков струны. Процесс разгрузки во второй фазе удара происходит в обратном порядке.
Наконец, третий возможный сценарий — это образование трапециевидной стоячей волны (рис. 1, в). Все точки малого основания трапеции подходят к ограничителю одновременно с некоторой скоростью и мгновенно изменяют направление так, как это происходило бы при ударе отрезка струны, как твердого тела с коэффициентом восстановления Я = 1. Именно такая волна наблюдалась в экспериментах [1] с точечным ограничителем до момента подхода струны к ограничителю.
Трапециевидная волна. Возможность формирования такой волны можно показать, рассмотрев следующий пример. Рассмотрим колебания струны длиной I с закрепленными концами. Ее колебания описываются волновым уравнением
распространения волны вдоль струны; Т, р — сила натяжения струны и ее линейная плотность.
Решение уравнения (1) должно удовлетворять граничным условиям и(0, ?) = 0, и(1, 0 = 0.
Пусть в начальный момент времени ? = 0 струне задана форма в виде равнобедренного треугольника с высотой Н, показанного на рис. 2 линиями 1. Дальнейшее движе-
Рис. 1
где и = и(х, () — смещение точки х струны в момент времени ?; с = л/Г/р — скорость
Рис. 2
ние струны найдем, используя метод распространяющихся волн (метод Даламбе-ра) [5]. Решение уравнения (1) получается в результате суперпозиции прямой 2 и обратной 3 волн, бегущих со скоростью с. Видно, что их суммирование приводит на отрезке 0 < х < I к образованию трапециевидной стоячей волны, боковые стороны которой остаются неподвижными, изменяясь по длине по мере движения малого основания 4 с постоянной скоростью и = 2сН/1.
Движение продолжается до получения зеркального отражения начальной конфигурации, а затем происходит в обратном направлении. Частота колебаний
О = 2п и/4Н = пс/I. (2)
Пусть движение струны ограничено препятствием, расположенным на расстоянии А от положения равновесия. Предположим, что при достижении ограничителя полка, по аналогии с теорией абсолютно упругого удара, мгновенно отражается от него, при этом ее скорость, сохраняя свое значение, меняет знак на противоположный. Тогда струна будет совершать периодические колебания с ударами типа "хлопков" с частотой
при А <А,
ю = \ (3)
[О(2 - А/А) при А > А.
где А = (Н + А)/2 — амплитуда колебаний, равная половине размаха колебаний средней точки струны. Величина начального отклонения Н определяет полную энергию консервативной системы.
Аналогично можно построить трапециевидные волны в системе с двусторонним ограничителем. Для симметричного двустороннего ограничения амплитуда колеба-
А = \ Н при Н <А, (4)
[А при Н >А,
частота колебаний
|Ъ при Н < А,
ю = < (5)
[ОН/А при Н> А.
На рис. 3 показаны скелетные кривые А = А(ю) для струны с односторонним (рис. 3, а) и двусторонним (рис. 2, б) ограничением, построенные по выражениям (3)—(5) и отражающие связь собственных частот и амплитуд колебаний. На рис. 3, а скелетные кривые построены для систем с предварительным зазором (А > 0), предварительным натягом (А < 0) и нулевым зазором (А = 0). В последнем случае струна с
А
а
А
б
А
ш
3
Г 1
3
Рис. 3
Рис. 4
ограничителем ведет себя как изохронная колебательная система с собственной частотой 00 = 20. В рассмотренных примерах можно увидеть аналогию с традиционными виброударными системами с одной степенью свободы [2, 4, 6]. Их скелетные кривые имеют одинаковый вид.
В статье [1] приведены результаты экспериментального исследования струны, взаимодействующей с точечными ограничителями, и обнаружено образование трапециевидных волн. В данном случае можно провести построения, аналогичные приведенным выше. Они показаны на рис. 2, б. Здесь трапециевидная конфигурация волны сохраняется до момента касания ограничителя 5, после чего участки струны, расположенные слева и справа от ограничителя продолжают движение до полной остановки всей струны, образуя конфигурацию в виде двух симметричных зубцов.
Используя выполненные построения, легко найти зависимость частоты свободных колебаний струны с точечным ограничителем от амплитуды
Из сравнения выражений (3) и (6) видно, что они имеют одинаковую структуру. Поэтому и скелетные кривые имеют качественно сходный характер. Их асимптотами являются частоты 00 колебаний при величине зазора А = 0. Для системы с точечным ограничителем 00 = 4/30.
Отметим, что полученные стоячие трапециевидные волны в определенном смысле соответствуют собственным формам линейной системы, и по сути являются собственными формами распределенной виброударной системы. Это подтверждается экспериментами по реализации вынужденных колебаний струн, соударяющихся как с точечными, так и протяженными ограничителями. Эксперименты показали, что рассмотренные режимы существуют в диапазонах существования скелетных кривых (3), (6) и оказываются наиболее интенсивными и просто реализуемыми резонансными режимами. Приведенные значения частот 00 совпадают с величинами, полученными в работах [7, 8] при исследовании вынужденных колебаний струн, взаимодействующих с ограничителями хода.
Тавровый ограничитель. Случаи одноточечных и прямых протяженных ограничителей в определенном смысле оказываются противоположными: соударение с протяженным ограничителем происходит практически мгновенно; образование трапециевидных волн в случае точечного ограничителя сопровождается продолжительными остановками точки струны в процессе удара. В работе [9] рассмотрены колебания струны, соударяющейся с тавровым ограничителем, представляющим собой комбинацию точечного и прямого протяженного препятствия. Схема рассматриваемой системы показана на рис. 4. При колебаниях струны 1, как и в ранее рассмотренных приме-
при А > А.
(6)
Рис. 5
рах, устанавливается трапециевидная волна и струна сначала встречает точечное препятствие 2, а затем, огибая его, ударяется о протяженный ограничитель 3. Начальная конфигурация и профили струны при подходе к точечному и протяженному ограничителям показаны штриховыми линиями.
Т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.