Стратегия Марковица как метод анализа портфельных инвестиции
Ю.П. СОЛОВЬЕВ,
доктор экономических наук, профессор, Российская экономическая академия (РЭА) имени Г.В. Плеханова
Расширение спектра банковских продуктов требует применения новейших методов анализа финансовых рынков. В статье показано, как технически найти оптимальный состав инвестиционного портфеля, включающего в себя любые фондовые активы. При этом использована стратегия диверсификации Г. Марковица, в центре внимания которой находятся уровни корреляций доходностей портфельных активов.
В.П. СЕМЕНОВ,
доктор экономических наук, профессор, РЭА имени Г.В. Плеханова
Р.К. ГРИНЦЯВИЧУС,
кандидат физико-математических наук, доцент, РЭА имени Г.В. Плеханова
Расширение номенклатуры банковских услуг (паевые инвестиционные фонды, общие фонды банковского управления, индивидуальное доверительное управление и т.д.) предполагает, что банк обладает штатом профессионалов, способных исследовать состояние финансового рынка и отслеживать тенденции его развития. Клиент банка, ставший, к примеру, пайщиком ПИФа, согласен рисковать, понимая, что риск - это обязательное условие присутствия на финансовом рынке. Но он должен быть уверен в том, что управляющие его капиталом обладают достаточной квалификацией, чтобы включить в инвестиционный портфель такие активы, которые сведут к минимуму риск неудачи.
В данной статье сделана попытка определить оптимальные пропорции инвестиционного портфеля, включающего финансовые, валютные и товарные активы.
«Никогда не складывай все яйца в одну корзину»
Основной принцип работы на рынке ценных бумаг можно сформулировать в виде житейского правила: «Никогда не складывай все яйца в одну корзину». Применительно к рынку это означает, что инвестор не должен приобретать ценные бумаги только одного вида. Необходима диверсификация вложений, т.е. такой способ построения инвестиционного портфеля, при котором уменьшается риск, желательно без зна-
чительного снижения доходности. Это и есть цель, которую преследует любой инвестор.
Решить эту задачу стало возможным только после появления теории выбора эффективного портфеля, разработанной Г. Марковицем. В основе его стратегии диверсификации находится уровень корреляции доход-ностей активов портфеля. Данная стратегия, стремясь к максимально возможному снижению риска при сохранении требуемого уровня доходности, состоит в выборе таких активов, доходности которых имели бы возможно меньшую положительную (а в идеале - отрицательную) корреляцию.
Прежде чем говорить о моделировании риска математическими методами, необходимо определить само понятие. С появлением товарно-денежных отношений риск становится экономической категорией. Он рассматривается как случайное событие с возможностью негативных последствий. Неопределенность конкретной хозяйственной ситуации обусловлена такими факторами, как отсутствие полной информации, противодействие и т.д.
При формировании инвестором портфеля ценных бумаг в первую очередь учитываются следующие виды рисков:
• ценовой (рыночный) риск, т.е. риск возможного обесценивания инвестиционного портфеля;
• кредитный - риск возникновения у инвестора финансовых потерь в результате невозможности или нежелания контрагента исполнять свои обязательства;
• инфляционный (риск покупательной способности) - риск того, что реальная доходность портфеля (с учетом инфляции) может оказаться отрицательной;
• риск обменных курсов (валютный риск); приобретая ценные бумаги, выплаты по которым производятся в иностранной валюте, инвестор не знает точно, каким будет поток платежей по этой бумаге в национальной валюте (он зависит от обменного курса в момент выплаты);
• реинвестиционный - риск снижения доходности (например, при реинвестировании по меньшей процентной ставке) при вложении средств, полученных от ранее сделанных инвестиций;
риск ликвидности;
• политический риск, т.е. риск убытков или снижения прибыли вследствие изменений в государственной политике.
Риск имеет количественную меру. Чаще всего его рассматривают как меру рассеяния (дисперсию) полученных в результате множественных прогнозов оценочных показателей. Мы сосредоточимся на подходе к моделированию риска, еще полвека назад предложенном Г. Марковицем.
Комбинации «риск-доходность»
Пусть на рынке обращается m видов ценных бумаг. Доходность каждой из них за определенный временной промежуток является случайной величиной (С.В.), для j-й ценной бумаги обозначим эту доходность X.. Каждой случайной величине X. можно поставить в соответствие два числа. Одно из них называется математическим ожиданием С.В. и обозначается E(X. ). Для дискретной случайной величины - это просто среднее взвешенное значение С.В. по ее распределению. В качестве весов
выступают вероятности соответствующих значений случайной величины X.
Е(Х) = plXl + p2X2 + ... + pnx n = £ P a XQ
(1)
Другая величина показывает, насколько сильно возможные значения С.В. отличаются от ее среднего значения. Ее называют дисперсией С.В. и обозначают D(X). По определению:
D(X) = e{x - E(X)) >£ {xa- E(X)}pa. (2)
а=1
Чем больше дисперсия, тем больше разброс возможных значений случайной величины. Отклонение от среднего значения берется в квадрате, поскольку это устраняет возможность взаимного погашения значений отклонения ниже или выше среднего (при сложении их отрицательных и положительных значений).
Менеджера интересует не только среднее значение доходности портфеля, но и рассеяния доходности около среднего значения. Трудность, возникающая при использовании дисперсии в качестве меры рассеяния, заключается в том, что она выражается в тех же терминах, в которых измеряется сама С.В. В связи с этим корень квадратный из дисперсии, называемый стандартным отклонением, является более подходящей мерой рассеяния. По определению:
а(Х) = Vd(X) . (3)
Почему же именно дисперсию используют как меру риска? Теоретическая база для этого заключена в известном неравенстве П. Чебышева:
D(X)
P{|X - Е(Х)| > £} <
(4)
Вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания больше, чем на заданный допуск е, не превосходит ее дисперсии, деленной на е2.
Исходя из неравенства П. Чебышева (4), чем меньше стандартное отклонение доходности, тем меньше вероятность того, что доходность отклонится от ожидаемой средней на данную величину е. Это позволяет считать стандартное отклонение (дисперсию) разумной мерой риска инвестирования в ценные бумаги.
Доходность портфеля т активов за фиксированный период определяется соотношением:
R = u. X.
p П 1
+ U2 Х2
+ ... + u
"г
х = £ ц, • X,,
j=1
(5)
где Rp - доходность портфеля за период; X - доходность ]-го актива за период; | - вес актива в портфеле
(т.е. доля рыночной стоимости актива ] в общей стоит
мости всего портфеля). Очевидно, что: X ^ = 1.
Доходность портфеля, определяемую формулой (5), часто называют реализованной доходностью, она является случайной величиной. Ожидаемая доходность портфеля - это взвешенная сумма ожидаемых доход-ностей активов, входящих в портфель:
ВДр) = | Е(Х,) + |2 Е(Х2) + ... |т • Е(Хт) = ' е(Х ) . (6) Р ]=1 По определению, дисперсия портфеля (его риск за период) в соответствии с формулой (2) определяется соотношением: D(Rp) = Е{т - ЕШ)2}=
Е
I^XJ-lM(Xj)
>= ££s ^j . (7)
1=1 J=1
2
Отсюда для стандартного отклонения доходности портфеля ценных бумаг имеем:
т т , ^ 1
о (Rp) = И^М , (8)
1=1и
где оу - ковариация между доходностями '¡-й и -й ценных бумаг: cov(Xi, X) = о. = Е{^ - Е(Xi)) (X - Е(Х.))} (9)
(i = 1, 2,.., т; ] = 1, 2, ..., т).
Причем оii = оi2 = D(Xi) - является дисперсией доходности ценной бумаги ¡-го вида (I = 1, 2,., т). В частности, для портфеля, состоящего из двух видов
ценных бумаг:
2 2
D(Rp) = а = о11-м,^М1 + о12-М1*М2 +
Р 1=1И
+ о^-м/м, + о 22^М2. (10)
Это соотношение можно переписать несколько иначе, введя коэффициент корреляции активов: р (Х Х) = р = соу(Х1;Х2 )_ о
р Х2) = Рс = о(х1 )о(х2)_0102 . (11)
Тогда D(Rp) = м^2 + м22о22 + 2р12 о^м^. (12)
При этом р12 е [-1; 1]; м, + М2 = 1; E(Rp) = = м, Е(Х) + м2 Е(Х2).
(13)
Уравнение (12) удобнее представить в другой фор-
(14)
ме: ,—;-
О = vAE^-2BEp+C ; e < Ep < E2,
1 е2-Е,
где А = о^ + о22 - 2р12о1о2;
В = оч2Е2 + о22Еч - р12о1о2(Е1 + Е2);
С = о^Е22 + о22Е^ - 2р12о1о2Е1Е2.
Отсюда видно, что множество инвестиционных возможностей портфеля представляет собой кривую второго порядка, точнее, ее часть (дугу), заключенную между точками (о1;Е1) и (о2;Е2). В предельных случаях (р12 = 1; р12 = -1) дуга вырождается в отрезки прямых (рис. 1).
Рис. 1. Комбинации «риск-доходность» при систематическом изменении структуры портфеля и альтернативных коэффициентах корреляции
«Чудо диверсификации»
Таким образом, можно так подобрать пару ценных бумаг, что даже при большом риске каждой из них риск всего портфеля будет не очень велик (например, точка М на кривой инвестиционных возможностей). Комбинируя виды ценных бумаг, можно уменьшать корреляцию активов с 1 до 0 и даже до -1. При этом
в случае р12 = -1 можно добиться того, что стандартное отклонение ожидаемой доходности портфеля окажется равным нулю, т.е. достичь полностью безрисковой комбинации обеих акций, причем риски каждой из них по отдельности могут быть весьма значительными.
Данное явление иногда называют «чудом диверсификации» (magic of diversification). Хорошо, что инвестор может снизить риск портфеля, удерживая его ожидаемую доходность при помощи сочетания активов с низкой (желательно отрицательной) корреляцией. Плохо лишь то, что активов с малой, а тем более с отрицательной корреляцией существует совсем немного. Таким образом, задача превращается в поиск таких активов, портфель из которых имел бы минимальный риск при заданном уровне доходности или, наоборот, при заданном уровне риска имел бы наибольшую доходность.
Если р12 < 1, то всегда существует портфель, который имеет минимальный риск по сравнению со всеми прочими. Здесь речь идет о портфеле, который для любой из кривых, изображенных на рис. 1, находится в крайней левой точке (например в точке М). Для портфел
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.