ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2011, том 45, № 3, с. 316-320
УДК 539.2172:66.084:536.24.01
СТРУКТУРА ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ
© 2011 г. Ю. И. Бабенко, Е. В. Иванов*
ФГУПРНЦ "Прикладнаяхимия", Санкт-Петербург *Санкт-Петербургская химико-фармацевтическая академия
babenko@npd.ioffe.ru Поступила в редакцию 08.09.2008 г., после доработки 09.03.2010 г.
Рассмотрены две задачи, описывающие процессы пропитки и экстрагирования в полубесконечном пористом теле в случае, когда коэффициент диффузии линейно зависит от концентрации. На примере указанных задач показано, что метод дробного дифференцирования позволяет установить структуру точного решения для диффузионного потока на границе области без предварительного определения поля концентрации. Полученная при этом информация оказывается более детальной, нежели при использовании теории размерности.
ВВЕДЕНИЕ
Решение нелинейных уравнений теории диффузии представляет собой достаточно сложную задачу. Точное решение известно для относительно небольшого числа случаев. Полный обзор имеется в справочниках [1, 2]. Методы решения изложены в книге [3]. Однако общего подхода, позволяющего находить точное решение для произвольного нелинейного уравнения параболического типа, не существует.
В настоящей работе показано, что предложенный нами ранее метод дробного дифференцирования [4, 5] позволяет единообразным образом находить структуру точного решения для диффузионного потока на границе полубесконечной области без предварительного определения всего поля концентрации для случаев, когда нелинейность является аналитической. Изложение ведется на примере двух задач с квадратичной нелинейностью, представляющих самостоятельный интерес. Предложенный алгоритм не имеет аналогов.
с момента времени t = 0 концентрация на поверхности тела (х = 0) возрастает скачком до величины С0 и поддерживается постоянной в течение всего времени протекания процесса. Требуется найти диффузионный поток у поверхности тела в зависимости от времени.
Задача экстрагирования из полубесконечного тела формулируется аналогичным образом. Уравнение (1) остается неизменным, меняются лишь дополнительные условия. Вместо (2) имеем
С(0, t) = 0, С(да, t) = C0 = const, С(х, 0) = C0. (3)
Первоначальная концентрация экстрагируемого вещества в области х > 0 равна С0. В момент времени t = 0 поры открываются, и начинается процесс диффузии в окружающее пространство. Концентрация у границы (х = 0) предполагается равной нулю. Требуется найти диффузионный поток через указанную границу как функцию времени.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Математическая модель процесса пропитки полубесконечного пористого тела формулируется следующим образом:
5е -A K (С)дС = 0,
dt дх дх
С = С(х, t), [0, да), t е (0, да),
(1)
C(0, t) = C0 = const, С(да>, t) = 0, C(x, 0) = 0. (2)
Первоначальная концентрация диффундирующего вещества в области x > 0 равна нулю. Начиная
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПРОПИТКИ
Известно, что решение задачи пропитки (1), (2) может быть найдено в виде зависимости от одной
автомодельной переменной 2, = ах¡-Л [1] (постоянная а определяется в ходе решения), так что
С =С (|).
(4)
После подстановки (4) в (1) приходим к обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка с условиями С\ ^ = 0 = С0,
С £ = « = 0. Возможность точного решения задачи
зависит от вида функции К (С), Однако важную информацию о диффузионном потоке через границу области можно получить и без решения указанного уравнения, непосредственно из выражения (4). Дифференцируя последнее по х, имеем
дС дх
=ac(0). -it
(5)
K(C) = K0 + K1C; K0, K1 = const, K0 + K1C0 > 0.
K0 > 0,
(6)
Для решения поставленной задачи мы будем использовать метод дробного дифференцирования. В книге [4] рассматривается (в наших обозначениях) линейное уравнение с переменными коэффициентами
дС - а(х, 0д2сс - р(х, ОдС + у(х, ОС = 0, дt дх дх (7)
С = С(х, 0, х е [0, да), t е (0, да) с условиями
С(0, t) = С,(4), С(да, 0 = 0, С(х, 0) = 0. (8)
Здесь а, в, у — произвольные аналитические функции аргументов.
Показано, что граничный градиент дается выражением
да
-/Ом)дС = у ов(0, об(1 -п)/2С(4), (9)
дх -
где величины ап(х, 4) определяются из системы рекуррентных формул
а1 = -b1
a 2 = b
а0 = b0 = 1,
= 1 {в gVa
2vVa дх
, 1 d4a
Здесь точка означает дифференцирование по аргументу. Поскольку диффузионный поток пропорционален градиенту концентрации, то искомый поток на границе области изменяется со временем как
1/Vt для любой аналитической зависимости K (С). Разница имеется лишь в численном множителе. Аналогичное заключение можно сделать о задаче экстрагирования (1), (3). Решение находится в виде (4), а граничный градиент в форме (5).
В случае, когда K(С) ^ const, определение численного множителя выражения (5) сопряжено со значительными трудностями. Ниже будет показано, что дополнительная информация о структуре указанного множителя может быть получена непосредственно из уравнения (1), без предварительного определения поля концентрации. Рассмотрение будем вести для случая, когда коэффициент диффузии зависит от концентрации линейным образом:
1
24a dt
, 1 3Va
y+vada1, .—
2 V дх 2V a д t
- ba I,
(10)
a3 = b3 = 1 ((a —- -1 -a1 - b2ai - ba), 3 3 2 \ дх 2 дt I
В книге [2] приведены формулы для ап и Ьп вплоть до п = 7, а также общее выражение. Величины Ьп не входят в решение (9), однако они упрощают запись соотношений (10).
Бv — символ дробной производной, определяемой следующим образом
Б7(0 = & [(4 - тГ Дт)Л, V е (-да, 1),
Г(1 - V) Л *
где г — гамма-функция.
Особенно просто находится дробная производная от степенной функции
D vconsttц = const Г(Ц + 1) ^
t|д — v > — 1.
гф + 1 — v) В частности, для ц = 0 имеем
D vconst = const—1— t ~v, v< 1. (11) Г(1 -v)
В отличие от (7), уравнение (1), где K (С) задается функцией (6), является нелинейным. Перепишем его в виде
,52С г (6С\2
| - (К. + ВД^ - К1 (дх) = 0 (12)
Проведем формальное сопоставление последнего с (7), полагая
а = К0 + К1С, р = К1 дС, у = 0 (13)
дх
и вычислим величины (10). В отличие от линейного случая, переменные коэффициенты ап будут содержать искомую функцию С, а также ее производные всех порядков по х и по t. Имеем
х = 0
j = 0
1 K1C'
a1 = —1 1 . 4 V K0 + K1C
(Штрих означает производную по х.)
х = 0
318
БАБЕНКО, ИВАНОВ
При вычислении а2 появляется вторая производная С ", которую следует выразить посредством исходного уравнения (12) через первую производную:
с ■■ _ сс — к с
к0 + к£
(Точкой обозначена производная по времени.) В результате находим
5 К2С '2 1 К£
ит —----г
32 К0 + К1С 4 К0 + К£С 7 К,2С *С7
а3 — -
32 (К0 + КС )3/2
+
3^.3
+
15 К¡С'
1 К1С'
64 (К0 + К1С )2 + 16 V К0 + К1С
2^.2
5 К/С'
Б Ч/2С0 +
15
К3С '3
32 К0 + К1С0
1 К1С7'
64 (( + К1С0 )3/2 К0 + К1С0
Б "С, + ...
+
15
К3С '3
ТП 4^К0 + к1с0 к,2с-2 С0 ъв +
32 К0 + К1С0 ТП 1 К£'
64 (К0 + К1С0 У2 14 К0 + К1С0
с •= дС
дх
подтверждающей (5). Подставляя (19) в (18), приходим к алгебраическому соотношению, определяющему постоянную А:
(15)
к+к£а = С° -1
К АС0
4П 4^/ К0 + К1С0
К12А 2С0 _2_ 32 К0 + КС0 л/П
(20)
15
3 ¿3
К 3 А
К1А
_ 64(К0 + К1С0У2 324К0 + К1С0
С0 + .
Сохраняя в правой части (20) только два слагаемых, получаем
(16)
А = ■
С0
л/П/ К0 + К1С011 +1 К1С0
^ 0 1 01 4 К0 + К1С0
(21)
С0
Граничное соотношение (9), с учетом (14) и (16), а также того, что С\х = 0 = С0 и £ _ 0 = 0, записывается в виде
-4К0 + К£С' = Б1/2С0 +1 . К|С' Б°С0 -
0 Ч К0 + К1С0 0
л/П/ К0 + К1С 0 ^ 4 К0 + К1С
1 -1.
К1С0
Подставляя выражение (21) в последующие слагаемые (20), выполним итерационный процесс. Легко убедиться, что имеет место представление
А =
С0
Тк£{
■■/(у), У =
К1С 0
К0 + К1С 0
(22)
(17)
где / — аналитическая функция аргумента у в окрестности точки у = 0; /(0) = 1. Иначе говоря,
/ = 1 + в1У + в2У2 + £3 У3 + .
е„ = сош!
(23)
Согласно (19) и (22), для диффузионного потока у границы х = 0 получаем выражение
В данном равенстве для краткости обозначено С' = С1 х = 0 и С' = (д!дг) С'.
Используя (11), из (17) получаем уравнение -4 К0 + К1СС' = С^ + 1_К£С0
дв _ - (К0 + К1С0)
дС дх
_ С04К0 + К1С0 / ^ 4П
К1С 0
К 0 + К1СС
(24)
(18)
искомой величиной в котором является граничный градиент С'.
Нетрудно видеть, что равенство (18) удовлетворяется зависимостью
= - А, А = со^ > 0, (19)
х = 0
Зависимость (24) более содержательна, нежели любая формула, полученная с привлечением теории размерности. Заранее трудно догадаться, что параметры С0, К0, К1 входят в точное решение именно таким образом.
Выражение (20) позволяет также найти приближенные значения коэффициентов ряда (23). Однако выписанных нами членов разложения (20) недостаточно для получения результатов высокой точности. В частности, имеем / = 1 - (7/32) у + ... = = 1 - 0.219у + ....
Сравним последнее с точным результатом, приведенным в [4] / = 1 -11 -1) у + ... = 1 - 0. 181у + ....
\2 т
Относительная погрешность составляет ~0.2.
х = 0
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЭКСТРАГИРОВАНИЯ
Математическая модель процесса экстрагирования описывается системой (1), (3), (6). Чтобы сделать начальные условия нулевыми, выполним подстановку £ = С0 - С. Для величины S получаем задачу
■ - (( + К1С0 - К+ К (д£)2 = 0, (25) дх \дх)
ds dt
S = S^, t), х e [0, да), t e (0, да),
(26)
£(0, 4) = С0, £(да, 4) = 0, £(х, 0) = 0,
отличающуюся от (2), (12). Проведя сопоставление с линейным уравнением (7), положим
а = К0 + К1С0 - К£, в = —К ^, у = 0
дх
и вычислим коэффициенты разложения (9), используя формулы (10). Имеем
a, = -
1
K1S'
44K0 + K1C0 - K1S'
S" = ■
S + k1s '
K0 + K1C0 - K1S
a2 =
K 2 s -2
1
к s
32 K 0 + K1C0 - K1S 4 K 0 + K1C 0 - K1S
, (27)
a3 = —
7
к2s 'S
32 ((0 + K1C0 - K1S)
3/2
15
K3S '3
1
KS'
64 (( + K1C0 - K1S)33/2 16 VK0 + к1C0 - K1S' Соотношение, аналогичное (18), записывается в
виде
— KS' = С0 — 1K1SC0 Vnt 4 VK0
5 K2S'2 C0l4t
15 K13S '3
64 к
3/2
32
1KS 16>K _
к0 ТЛ
C0t + ...
(28)
s • = ds
дх
B =
C0
тпк
■gfe), г =
K1C0 к 0
(30)
где g(z) — аналитическая функция аргумента в окрестность
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.