ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 3, 2004
УДК 551.466.81: 534.1
© 2004 г. М. А. Давыдова, Ю. Д. Чашечкин
СТРУКТУРА ТРЕХМЕРНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ В НЕПРЕРЫВНО СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
Изучаются малые трехмерные движения слабовязкой стратифицированной жидкости, порождаемые вертикальными и крутильными колебаниями части поверхности бесконечного вертикального цилиндра с произвольным сечением. Для анализа структуры периодических движений используется асимптотический метод пограничных функций. Показано, что формируются два типа пограничных слоев, один из которых обладает свойствами стоксова пограничного слоя в однородной жидкости; другой, внутренний волновой пограничный слой является специфическим для неоднородных сред, его толщина зависит как от частоты волны, так и от частоты плавучести. При переходе к однородной жидкости вязкий и внутренний пограничные слои сливаются.
В последние годы значительное внимание стали уделять анализу пограничных слоев, которые образуются как на ограничивающих поверхностях, так и на свободной поверхности вязкой взволнованной жидкости [1]. Учет пограничных эффектов позволяет строить точные решения задачи генерации двумерных и трехмерных внутренних волн в линейной [2] и нелинейной [3] постановках, существенно расширяет число сценариев нелинейных механизмов формирования и эволюции внутренних волн [4]. В этой связи представляет интерес более детальный расчет параметров волновых слоев на периодически движущейся поверхности в непрерывно стратифицированной жидкости. Хотя подобная задача для однородной вязкой жидкости была изучена еще Стоксом, аналогичный анализ для трехмерных периодических движений в непрерывно стратифицированной жидкости ранее не проводили.
Система уравнений, описывающая периодические движения непрерывно стратифицированных слабовязких сред, относится к классу сингулярно возмущенных, для решения которых развит ряд асимптотических и численных методов. В данной работе анализ структуры периодических движений выполняется асимптотическим методом пограничных функций [5]. Строится решение в виде асимптотического разложения по малому параметру, обладающее свойствами решения вырожденной системы внутри области и удовлетворяющее граничным условиям за счет введения в асимптотику пограничных функций, экспоненциально затухающих с удалением от границы. Малым параметром асимптотического разложения выбирается вязкость. Технически простой метод анализа сингулярно возмущенных задач был успешно использован при изучении колебаний жидкости, распространения звука и других задач гидроаэродинамики [6-8].
1. Постановка задачи. Линеаризованная система уравнений в приближении Бусси-неска, которая описывает малые трехмерные движения несжимаемой вязкой стратифицированной жидкости с примесью в поле силы тяжести, имеет вид
Эи
,дt
я (1.1)
Эр Фо
дt 3
Ро д7 = "ёгаЙР + Ро- Р£ez
---- + м3-£-° = 0, Шу и = 0
где и = (и1, и2, и3) - вектор скорости, р и р - динамические давление и плотность, р0(г) = Рооехр(-г/Л) - невозмущенная плотность, Л - масштаб плавучести, g - ускоре-
ние силы тяжести, V - кинематическая вязкость, ег - единичный орт в направлении оси 2.
Движение жидкости происходит за счет гармонических колебаний с частотой ю части бесконечного вертикального цилиндра с произвольным сечением, ось которого совпадает с направлением поля тяжести, причем граничные условия на поверхности цилиндра имеют вид
ип|г = 0, ит1 |г = и1 (х, у, г)е-ш, ит2|Г = и2(х, у, г)е-ш (1.2)
где п - внешняя нормаль к достаточно гладкой поверхности цилиндра Г, х1, т2 - единичные векторы, ориентированные в каждой точке поверхности Г вдоль главных ортогональных направлений; и1(х, у, г), и2(х, у, г) - заданные функции.
Вводя безразмерные координаты, время и скорость как отношение соответствующих физических величин к их характерным для данной задачи постоянным значениям и полагая, что безразмерная вязкость V равна Яе-1, из системы (1.1) получаем безразмерную систему (все обозначения, с целью удобства, сохранены)
-гюро и = р + vpoЛu - ег
йр0 (1.3)
- гюр + ыъ— = 0, Шуи = 0
Для сокращения выкладок в рассмотрение вводится представление для скорости, с помощью которого амплитуда скорости определяется следующим образом:
и = V х (ег¥) + V х V х (егф) (1.4)
Используя представление (1.4), из системы (1.3) находим определяющую систему задачи для функций ¥ и Ф
[ю2Л - г^Л2-И2Л2]Ф = 0 (ю - гуЛ)¥ = 0; Л2 = —2 + —2 (1.5)
д х д у
где N - квадрат безразмерной частоты плавучести.
С учетом представления (1.4) из условий (1.2) получаются граничные условия для системы (1.5), явный вид которых будет приведен ниже.
2. Колебания цилиндра в среде с малой вязкостью. Если V - малый безразмерный параметр: V = е2, 0 < е < 1, то из системы (1.5) получаем
[ю2Л - гюе2Л2 - И2Л2]Ф = 0, (ю - ге2Л)¥ = 0 (2.1)
Система (2.1) является сингулярно возмущенной, так как входящие в нее дифференциальные операторы содержат малые параметры при старших производных.
При переходе к идеальной жидкости (е = 0) получаем вырожденную систему
и Фг=
д2
э7 +
2
I- ю1
ю
Ф' = 0, юГ = 0 (2.2)
Оператор Ь0 зависит от параметра ю, и поэтому рассматриваются два случая: если |ю| > И, то Ь0 - оператор эллиптического типа, если же |ю| < И, то Ь0 - гиперболический оператор. С физической точки зрения, эти два случая различаются возможностями существования установившихся волн в части пространства, удаленной от границы цилиндра.
Для описания решения вблизи границы вводится локальная система координат (r, Gj, g2), где r - расстояние от точки M(r, G1; g2) до границы Г вдоль нормали M0M к Г (M0 е Г), а G1, g2 - криволинейные координаты точки M0 на Г. Если окрестность
Г§ = (0 < r <5)х( 0 <Gi )х(-^<g2 <
достаточно мала (т.е. параметр 5 достаточно мал), то существует однозначное соответствие между координатами (х, у, г) и (г, о2).
Граничные условия для системы (2.1) получаем из условий (1.2) с учетом представления (1.4)
1 Э2Ф
+ -
H2 dG1 dG2dr_
0,
Г
1
Э2 Ф
H
H 2 3G2ÖGI 1 ЭФ
' dr
u (g1; g2)
д H 2 ^ + д2ф + j
dr dr 2 dr2 dG1 l.H2dG1
(2.3)
2 , , = -u (g1; g2)
где Н2 - параметр Ламе (Я1 = Н3 = 1); 0, м1(о1, о2), м2(о1, о2) - компоненты вектора скорости движения границы в локальной системе координат. Функции м1(о1, 02), м2(о1, о2), определенные на поверхности цилиндра, предполагаются достаточно гладкими и финитными по переменной о2, причем
а2
lim
J uG1 (Gi,n)dn = 0
Соотношения (2.3) задают значения проекций вектора скорости движения границы на оси локальной системы координат.
Следуя методике работы [5], асимптотику решения задачи (2.1) с граничными условиями (2.3) ищем в виде
Ф(x, y, z, е) = Ф (x, y, z, е) + ПФ(р, g1; g2, е) = £ е'Ф'(x, y, z) + £ е,П,-Ф(р, gi, G2)
(2.4)
x, y, z, е) = П¥(р, Gl, G2, е) = £ е,П,¥(р, Gi, G2); p
1 = 0
где Фг(х, у, г, е) - регулярное разложение, описывающее решение вдали от границы; П¥(р, о1, о2, е), ПФ(р, о1, о2, е) - погранслойные поправки, дающие существенный вклад в решение вблизи границы.
Подставляя разложения (2.4) в систему (2.1), отделяем уравнения для регулярных и погранслойных членов, в уравнениях для пограничных функций переходим к новым переменным (г, а^ а2), производим растяжение г = ер и раскладываем коэффициенты уравнений по степеням е. Для определения членов погранслойных разложений имеем систему
1
2 Л
i Ю-(Ю - N )
Ю
dp
- i £ е'^
^ d
dp2
ЬЩ
е
г з3 а Л
2, ю (ю2- N2 )дд-v dp3 dpy
+ £еЧ
i = 0
ПФ = 0 (2.5)
П¥ = 0 (2.6)
I = 0
где М1, N - линейные дифференциальные операторы порядков не выше второго; Ь(0) - нулевой член в разложении коэффициента Ь = Н-1 дН2/дг по степеням е.
Г
Г
а2 ^
0
0
Граничные условия получаются из условий (2.3) аналогичным образом:
0 (2.7)
,тЭП¥ э2 фг 1 э2 ПФ а( 0) —— + -—— +
а( 0)
Эо1 Эо2Эп еЭо2Эр_
Э2 ( Фг + П Ф ) 1ЭПУ Эо2Эо1 е Эр
и (о1; о2)
1и,п ,ЭПФ Э2ФГ 1 э2 ПФ
« 0) ТП+ еЬ( 0 > -5Г + 17 + ?^г +
,т, ,тЭ(Фг + ПФ) 2,„,Э2(Фг + ПФ) + а(0)йх(0)——-- + а (0)- 4 у
(2.8)
(2.9)
Эо1
Эо1
2
= -и (о1; о2)
где а(0), ¿1(0) - нулевые члены в разложениях коэффициентов а = Я21, йх = дЯ-1 /Эо: по степеням е.
Кроме этого, потребуем, чтобы все П-функции стремились к нулю при р — те:
П(р, о1; о2) —■ 0 при р —■ ^ (2.10)
Приравнивая в соотношениях (2.5)-(2.10) члены при одинаковых степенях е, в нулевом и первом приближениях находим
П0Ф = 0, П Ф = 0, П0¥ = 0
Погранфункция определяется из соотношений (2.6), (2.8) и (2.10):
Э2П, ¥ юП^ -1-2- = 0
Эр2
ЭП^
Эр
= -и (о1; о2), П^(р — те) — 0
р = 0
Отсюда получаем
1
П1^(р,01,02) =--^-е , ^1 = ^2: (1 -1)
В следующем приближении приходим к системе
I ю --Ц П2 Ф - (ю2- N) —2 П2Ф = 0 Эр Эр
(2.11)
Э2 П2Ф
Эр2
-и(01;02), П2Ф(р —^ те) —^ 0
р=0
которая имеет решение
2
П2Ф(р,01;02) = -
и (01; 02) Х2р ------2----------- е 2 ,
22
ю - N ,. ^('-1)
Члены регулярного разложения Ф^ (I = 0, 1, 2) определяются из задач вида
Э г2
1-
N
ю
Ф/ = 0,
«з-Ф-
дг д п
= /г(о1. 02)
(2.12)
(2.13)
г
г
г
2
+
г
Убывающее на бесконечности решение задачи (2.13) в случае |ю| < N удается построить, используя дополнительное условие
а2
lim f Яа^п)dn = 0 (2.14)
а2 ^ <*> J
Предполагая в дальнейшем, что поверхность Г является поверхностью Ляпунова, будем искать затухающее на бесконечности решение задачи (2.13) в виде интеграла Фурье
+го
ф[ = jff|%(P)Gk(M, P)eikzdlPdk (2.15)
—го Y
где Y - линия пересечения поверхности Г и плоскости z = const, Gk(M, P) - функция Грина второй краевой задачи для уравнения Гельмгольца вне окружности некоторого радиуса ak, целиком лежащей внутри контура Y. Функция Gk(M, P) существует и может быть представлена явно:
Gk (M, P) = £
1
2я:
H(i)( C R ) J0 ( ckak) H(i)(c r ) Hi)( c r) H0 (ckRMP)--(1y-H0 (ckr0)H0 (ckr) -
H0( Ckak)
r, V Jn(Ckak) „(1b >ц( 1), ч , ч
- 2 X "In--Hn (Ckr0)Hn (Ckr)C0sп(Ф - Фо)
n = 1 ^ ( Ckak)
где
MP
R„P = V(X - ^)2 + (у - Z)2, P& Z) 6 Y, Ck = |k| Ю
VN2^2
Я^1^ (скг) - функции Ганкеля первого рода, ЗН(скг) - функции Бесселя, (г, ф), (г0, ф0) -координаты точек Ми Р в полярной системе координат. Плотность потенциала |к(Р) удовлетворяет уравнению Фре
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.