Письма в ЖЭТФ, том 100, вып. 5, с. 349-356
© 2014 г. 10 сентября
Сверхрешетка нового типа на основе бесщелевого графена с чередующейся скоростью Ферми
П. В. Ратников1^, А. П. Силин Физический институт им. Лебедева РАН, 119991 Москва, Россия Поступила в редакцию 1 июля 2014 г.
Рассматривается сверхрешетка нового типа на основе графена, образующаяся за счет периодической модуляции скорости Ферми. Такая модуляция возможна в графене, осажденном на полосчатую подложку из материалов с существенно отличающимися значениями статической диэлектрической проницаемости. Подобные сверхрешетки возникают также в листах графена, нанесенных на подложку с периодически повторяющимися параллельными друг другу бороздками. Предложена модель, описывающая указанные сверхрешетки. С помощью метода матрицы переноса получено дисперсионное соотношение и рассчитан энергетический спектр сверхрешеток. Качественно рассмотрена вольт-амперная характеристика такой системы.
БО!: 10.7868/80370274X14170056
1. Введение. В настоящее время интерес к сверхрешеткам (CP) на основе графена остается довольно высоким. В частности, исследовался графен со складками-"рипплами" (rippled grapheme), который можно рассматривать как CP с одномерным периодическим потенциалом "рипплов" [1]. Аналитически исследовались CP, полученные при приложении к графену периодического электростатического потенциала [2] или периодически расположенных магнитных барьеров [3].
В работе [4] исследовалась CP на основе графена с периодической модуляцией запрещенной зоны. Эта модуляция возможна за счет взаимодействия графена с материалом подложки. Таким материалом был выбран гексагональный нитрид бора.
В статье [5] установлена аналогия между одномерной графеновой CP и графеном, находящимся в поле стоячей световой волны лазера. Были проведены первопринципные расчеты электронных свойств CP, образованной чередующимися полосками бесщелевого графена и графана [6].
В CP на основе графена и бесщелевого полупроводника HgTe исследованы осцилляции Блоха-Зенера [7]. Изучено расщепление уровней Ландау в графеновой CP в перпендикулярном ее поверхности магнитном поле [8]. Различные типы полупроводниковых наноструктур на основе графена подробно рассмотрены в обзоре [9].
Модель CP, предложенная в работе [4], была использована для получения условия возникновения
^e-mail: ratnikov@lpi.ru
дополнительных дираковских точек и таммовских минизон, которые появляются при пересечении дисперсионных кривых бесщелевого графена и его щелевой модификации [10]. Это условие согласуется с полученным ранее для узкощелевых полупроводниковых гетероструктур [11, 12]. Приграничные состояния в графеновых гетероструктурах были исследованы в работах [13, 14].
В данной статье предлагается CP нового типа на основе бесщелевого графена, полученная чередованием областей с различными значениями скорости Ферми. В нашем случае технология скорости Ферми (Fermi velocity engineering) связана с использованием окружающих графен веществ с различными диэлектрическими проницаемостями [15]. Идея управления силой кулоновского взаимодействия между носителями заряда в графене за счет подбора материала подложки с нужным значением статической диэлектрической проницаемости была впервые высказана в работе [16].
В подобных гетероструктурах можно добиться квантования энергии носителей заряда даже без потенциальных барьеров (областей с большими запрещенными зонами) и квантовых ям (областей с меньшими запрещенными зонами), а также без изменения работы выхода [17]. Отметим, что приграничные (таммовские) минизоны здесь отсутствуют, поскольку дисперсионные прямые не пересекаются нигде, кроме дираковской точки.
Такие структуры могут быть получены нанесением графена на полосчатые подложки, в которых периодически изменяются или состав (параметр х в
сплаве) БЮг-ж, или концентрация некоторых (немагнитных) примесей, или статическая диэлектрическая проницаемость е. Здесь мы более подробно рассматриваем третью возможность.
Согласно как теоретическим [18-22], так и экспериментальным [15, 23-27] работам скорость Ферми сильно перенормируется. Для оценки перенормированной скорости Ферми можно воспользоваться формулой [20]
Vp l'FO
= 1 -3.28а*
1 + 7 In
4
1 + 7— ) — 1.45
4a
где а* = /Тшро - аналог постоянной тонкой структуры, затравочное значение скорости Ферми г'ро = = 0.85-108 см/с [15, 26], Р = Р/ееа, ееЯ = {е1+е2)/2 -эффективное значение статической диэлектрической проницаемости для носителей заряда в графене, зависящее от значений статических диэлектрических проницаемостей £1 и £о окружающих графен материалов. При этом энергетическая щель не открывается, что подтверждено экспериментально с точностью до 0.1 мэВ [26].
В области графена, которая находится над полоской с меньшей е, а* больше. Следовательно, и значение перенормированной скорости Ферми будет больше, чем над полоской с большей е. Таким образом, оказывается возможной модуляция за счет изменения диэлектрической проницаемости подложки. Отметим, что такая система также является и одномерным фотонным кристаллом.
Первый вариант предлагаемой системы - лист графена на полосчатой подложке из чередующихся слоев материалов с существенно различными диэлектрическими проницаемостями. Схематично такая система представлена на рис. 1а.
Можно также использовать подложку с периодически расположенными бороздками, полученными травлением. Лист графена, нанесенный на такую подложку, будет представлять собой периодически чередующиеся области подвешенного графена над бороздками и области графена, контактирующие с материалом подложки (см. рис. 1Ь). Именно в областях подвешенного графена перенормировка скорости Ферми должна быть наиболее сильной, поскольку там еед = 1. Согласно экспериментальным данным перенормированное значение скорости Ферми в подвешенном графене возрастает до 3-108 см/с [26].
В областях контакта графена с узкощелевым материалом подложки, где ^ 1, перенормированное значение скорости Ферми слабо отличается от затравочного. К тому же сама подложка представляет собой дифракционную решетку. Поэтому такая
Рис.1. Три варианта рассматриваемой CP: (а) - лист графена на полосчатой подложке из материалов с существенно различными диэлектрическими проницаемостями, например SiCb се = 3.9 (I) и HfCb с е = = 25 (II); (Ь) - лист графена на подложке HfCb с периодическими бороздками; (с) - лист графена на периодически расположенных металлических полосках. В качестве затвора используется пластинка сильно легированного кремния n-Si
система должна обладать очень интересными оптическими свойствами, что требует отдельного исследования.
Существует еще один вариант рассматриваемой системы. Можно нанести лист графена на периодически расположенные параллельные друг другу металлические полоски (рис.1с). Этот вариант представляет собой предельный случай: в областях подвешенного графена еед = 1 (наибольшая перенормировка скорости Ферми), а в областях графена, контактирующих с металлическими полосками, еед = оо (нет перенормировки скорости Ферми [15]).
Мы видим, что возможен целый класс систем подобного типа, который ранее еще не рассматривался. Несомненно, исследование таких систем станет суще-
ственным продвижением в освоении технологии скорости Ферми.
2. Модель. Модель для описания предлагаемой СР аналогична модели, которая ранее применялась для исследования СР на полосчатой подложке с периодически меняющейся запрещенной зоной [4].
В нашем случае предполагается, что энергетическая щель не изменяется и равна нулю (бесщелевой графен), а работа выхода одинакова во всех областях СР (ее значение мы положим за начало отсчета энергии). При этом модулируется только скорость Ферми. Изменение работы выхода в бесщелевом гра-фене приводит к пробою и рождению электронно-дырочных пар. Мы предполагаем также, что приграничная область постепенного изменения скорости Ферми много меньше периода СР. Поэтому профиль г'р можно считать достаточно резким (см. рис. 2).
Мы рассматриваем носители заряда, которые находятся вблизи А-точки зоны Бриллюэна (для носителей заряда вблизи '-точки все результаты будут теми же). Направим ось х перпендикулярно полоскам, как это показано на рис. 2. Огибающая вол-
V
¥1
¥2
+
+
~<1 -й?т1
(1 <1 +
П = О
п= 1
и = 2
2 а
Рис. 2. Профиль скорости Ферми в рассматриваемой СР (случай ип > ирз). Снизу приведены нумерация сверхъячеек рассматриваемой СР и размеры ее областей: - ширина полоски графена со скоростью Ферми г>п, (¿ц - ширина полоски графена со скоростью Ферми г>р2, период СР й = + с/ц
новой функции носителей заряда Ф(ж, у) удовлетворяет уравнению Дирака-Вейля с переменной скоростью Ферми2'
2'В общем случае следует писать антикоммутатор скорости Ферми г)р(.т) с членом, содержащим оператор импульса рх:
^ (г)р(.т), <тр}Ф(.т, у) = ЕФ(.т, у).
Такая симметризация гамильтониана необходима для того, чтобы он оставался эрмитовым. Подобные задачи рассмотрены в работах [28, 29]. В случае ступенчатого профиля скорости Ферми (2) мы получим уравнение на Ф(.т, у) в форме (1). Это ограничение не является существенным: учет плавной зависи-
г>РсгрФ(.г-, у) = ЕЩх, у), (1
| г'рь <^(п ~ 1) < х < —с^и +
I г'Р2, — «¿п + <1п < х < ¿п.
(2)
Оператор импульса р=—«V (здесь и далее Н= 1). Целые числа п нумеруют сверхъячейки (см. рис.2). Матрицы Паули <т = (ах, ау) действуют в пространстве двух подрешеток. Движение носителей заряда в СР вдоль оси у свободное, поэтому решение уравнения (1) имеет вид Ф(ж, у) = ■ф(х)егкуУ.
Аналогично работе [4] находим решение уравнения (1) относительно ф{х) для ??-й сверхъячейки: 1) при 0 < х < ¿1
4Р(х) = Пк1(х
Пк1{х) = Мк1 I (1)
л(1) _ г'р^кг ± %ку
А± -
Е
г>Р1
2) при с11 < х < с1 ф£Цх) = Пк2(х) Пк.2(х)=Мк.2 (
(2) Оп
.(2)
(2)
-А
(2)
¿ЙгЖО'г
(2) _ Ур2{к2 ± гку) _ Ё ' к'2 ~
\г> =
иР2
Здесь А^ и Мк.2 - нормировочные множители.
Условие существования осциллирующего во всех областях СР решения уравнения (1) для случая 1>Р1 > г'рг (схематично оно показано на рис. За) сводится к выполнению неравенства
ко >
1!е1 _ 1 | /-.2 г,2 1 V
Р2
(3)
Также возможно существ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.