ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 5, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК НА ОСНОВЕ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет),
г. Москва, РФ
Государственный технический университет им. Ле Куй Дона, г. Ханой, Вьетнам
На основе трехмерных уравнений теории упругости и вариационного принципа Лагранжа с помощью разложения перемещений по нормальной к срединной поверхности координате построены двумерные уравнения динамики теории произвольных оболочек и соответствующие граничные условия, позволяющие учитывать поперечные сдвиг и обжатие оболочки. Рассматриваются собственные колебания круговой цилиндрической оболочки. Собственные частоты колебаний определяются методом Бубнова—Галеркина. Анализируется влияние различных типов краевых условий и геометрических параметров оболочки на величину собственных частот. Приводится сравнение результатов расчетов с разными вариантами классической теории оболочек, а также трехмерной теории упругости.
Применение в различных отраслях техники, в том числе в авиационной и ракетно-космической отрасли, композиционных материалов слоистой и волокнистой структуры, а также разработка новых методов расчета оболочечных конструкций из неоднородных материалов [1, 2] показали неправомерность, в той или иной степени, использования классической теории пластин и оболочек типа Кирхгофа—Лява для таких материалов [3]. Поэтому основные усилия исследователей были направлены на усовершенствования теорий типа Кирхгофа—Лява и Тимошенко—Рейсснера [4, 5] и др.
Основные результаты исследования статического напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек на основе подхода [5] изложены в работах [6—8]. Настоящая статья является результатом распространения методик [6—8] на динамику оболочек.
Общие уравнения движений оболочки. Оболочка рассматривается как трехмерное твердое тело, отнесенное к триортогональной криволинейной системе координат а, Р, у. Координатные оси а, Р совпадают с главными направлениями срединной поверхности оболочки, а ось у направлена по наружной нормали к этой поверхности.
Принимаем, что на лицевых у = ±к (к — полутолщина оболочки), торцевых и продольных (в случае открытого профиля) поверхностях оболочки заданы следующие граничные условия относительно напряжений:
ав (±к) = 0, с л = 0, I = 1,2,3, у = 1,2. (1)
В соответствии с работой [6], представим перемещения и^, и2, и3 в виде
и1 (а, в, у, г)= X и,- (а, в, г) у' ¡1, (1 о 2), (и о и);
''=0 (2) N-1 4 '
и3 (а, в, у, г)= X Г (а, в, г)у'Д
где и,-, о(, и*,- — переменные коэффициенты разложений перемещений по нормальной координате; 1 — время. Здесь и далее обозначения, стоящие в круглых скобках, показывают, что имеют место аналогичные соотношения, получаемые из приведенных перестановкой индексов и букв.
Применяя вариационный принцип Лагранжа с учетом граничных условий (1) и разложений (2), получим уравнения движений оболочки
(^ ) а + (АМ^ ) р - + ДМ? + Л^ [6(7*1 - 71« ] =
= Л1Л2х1\ (1 о 2), (а о в), ' = ,
((у)) а + ((Л) р - А1А2 [((+ м2^/*2) + 7^ ] =
= Л1Л2х3у), у = 0, N -1 и соответствующие граничные условия: для свободного края
а = а0, а0 : М° = мЦ = = 0, в = в0, в2 : м2] = мЦ = о2/} = 0, ' = у = 0, N -1; для свободно опертого края
а = а0, а0 : М^ = МЦ = = 0 V М^ = и, = = 0, ' = в = в0, в2 : М® = мЦ = = 0 V щ = МЦ = = 0, у = 0, N -1;
для жестко защемленного края
а = а0, а0 : и, = = Гу = 0 V щ = мЦ = Гу = 0, ' = 0, N,
в = Р0, в2 : щ = V, = г, = 0 V м2'-) = V' = г, = 0, у = 0, N -1. Здесь введены обобщенные усилия следующего вида:
+к - +к ' +к ,1
М() = Г М(2) = Г АЮ12 ^йу, г/0 = Г ^2013-^— йу,
-1 -! -! (-1)!
-к -к -к '
+к д 2 ' +к '
х() = Г ра1а2 йУ, е() = 1 а2°1з ^¿у (1 о 2), (и о и), , дг '! , '!
-к -к
+к '-1 +к ^ ' 73 = | а1а2°33-^т:й Y, х3 = I Ра1а2 —Г ^ й Y, -к (-1)! -к дг -!
7(0) = Т2(0) = 73(0) = 0, ау = 1 + У0, у = 1,2,
где — коэффициенты первой квадратичной формы; коэффициенты, стоящие
внизу буквенных индексов после запятой, обозначают дифференцирование по этой
(3)
(4)
(5)
(6)
1=0
координате; р — плотность материала оболочки; г\, Г2 — главные кривизны срединной поверхности оболочки.
В равенствах (4)—(6) через а0, а0 обозначены краевые торцы, а через в0, в2 — продольные края оболочки открытого профиля.
Преобразуя уравнения (3), записав их в перемещениях и решая полученную систему, находим общие выражения для искомых перемещений щ, и, V. Постоянные интегрирования, входящие в эти выражения, определяются из краевых условий (4)—(6).
Уравнения движения круговой цилиндрической оболочки. Для изотропной круговой цилиндрической оболочки удобно принять а = Щ, Р = Л0, где Я — радиус оболочки, £ — относительное (измеренное в долях Я) расстояние по образующей, 0 — центральный угол. При этом справедливы следующие соотношения: ^ = А= Я, а1 = 1, а2 = 1 + г у, г = 1/ Я. В дальнейшем будем полагать, что в разложениях (2) N = 3 и, следовательно, искомые упругие перемещения и1, и2, и3 допускают асимптотические представления вида
и 1 = £ щ, ( Г) г Ч'!. и 2 = Е и ( 0, Г) у '/'!, из = £ V ( 0, Г) у'/'!
(7)
'=0
'=0
'=0
С помощью разложений (7) и уравнений (3), представленных в перемещениях, можно получить систему уравнений
( 2 2 2 Л 2
1^,10 „,10 д 1^,10 д „,10 д I 77,20 д , ^,30 д
К/ + К/ц — + К/- — + К/33 — I «0 + К112 —— 00 + К11 — V) +
д12 д02 дГ ^ д£,д0 д£,
, I ^,11 , 17,11 д 2 , ,7,11 д2 , 77,11 д2 | ,7,21 д2 , ,7,31 д
+ | К1 + К/п — + К122 — + К1ЪЪ — I «1 + К/12 т— и>1 + К/1 — V +
д^2 д02 дГ2) д^д0 д£,
А
К/1 + К/!2 + К/22 + К/33 | «2 + К/12 д^ д0 дГ2
, 77,32 д
и2 + К/. — V +
д^д0 2 1 д£, 2
г К/13 + К/113 ^ + К/22 -д22 + К/313 «3 + К/1223 03 = 0, / = 1,2,3,4,
д^2 д02 дГ ) д^д0
К'
.10 д2
12
д^де
«0 +
20
„20 д2
КГ" + К'п^ + К'%^ + К'33 —
дГ
,..20 д_ де2
,..20 д дГ
2 Л
Ц} +
,7.30 д 77-11 д
+ К 7 — + К12-«1 +
2 де 0 12 д^де 1
^ V.21 ,7.21 д2 17-21 д2 , 17-21 д2 ^ ,7-31 д
К + К111 -- + К22 2 +К33 Г и + К'2 — V +
д^2 д02 дг2у1 д0
(8)
,7-12 д +К117 -« +
12 д^де 2
, 77-32 д , ^.13 д + К12 -V + К11 2 -
2 де 2 12 д^де
К'22 + К'1212 4 + К'2222 ^ + К'- ^ | и2 +
де2 дГ2
2
2
д^
2
«3 +
ГК'23 + К'п 4 + К'2223 4 + К'3233 4 I и3 = 0, ' = 5,6,7,8, д^2 502 дГ2
д , 7^-20 д
Kh — Uo + Kj2 — Uo + dq d0
Kj30 + j iL + j ^ + Kj330 I ^0 + д^2 d02 dt2
+Kji1 ddr Ui + Kj-21 ¿щ + 5c, 50
Kj31 + j1 + j ^ + Kj33 ^ | Wi + д^2 d02 dt2
+Kji12 ^ U2 + Kj222 ^ U2 + 5c, 50
Kj + Kj 1 -2 + Kj22 -2 + Kj33 -2 i W2 +
5^2 502 dt2
+ Ку13 ^ «3 + К?3 ^ из = 0, у = 9,10,11.
5с, 58
В уравнениях (8) коэффициенты К с буквенными и числовыми индексами представляют собой постоянные величины, зависящие от геометрических параметров и упругих постоянных материала оболочки. Для сокращения объема статьи значения этих коэффициентов не приводятся.
Краевые условия для замкнутой цилиндрической оболочки, в соответствии с (4)—(6), приобретают вид
для свободного края И^ = М^ = $^ = 0, I = 0,3, у = 0,2; для свободно опертого края и1 = ^у = М^ = 0, ; = 0,3, у = 0,2; для жестко защемленного края « = и = = 0, I = 0,3, у = 0,2.
(9) (10) (11)
Краевым условиям (9)—(11) удовлетворяют следующие выражения для перемещений:
щ = U"d [Xn (Xn^/^0)]cos m9 cos rat, i = 0,1,2;
U = V"Xn (X) sin m9cos rat, i = 0,1,2, Wj = WjnXn (X )cos m9 cos rat, j = 0,1,
(12)
где Хп — балочная функция, Хп — собственные числа п-й балочной функции, т — число волн в окружном направлении; ш — частота собственных колебаний; — относительная длина оболочки.
Интегрируя уравнения (8) по методу Бубнова—Галеркина с учетом соотношений (12), получим
( г, 2 \
17,10 77,10 An 2 „,10 2 „,10
Kl a11 + Kl11—nr a13 - m Kl22a11 -ra Kl33a11
U0 +
+ mKl122a11V0n + Kl130a11W0n + ( X 2
Kl 11a11 + K?11 xn2 a13 -m2Kl22a11 - ra2Kl131a11) Un +
+ mKl1-ia11V1n + Kl131a11W1n + f - X 2
Kl 12a11 + K?12 —n2 a13 - m^Kl^a^ -ю2®12^) U2 ^02 '
+ mKluauV2n + Kl132a11W2n +
+
i3 -
Kl13aii + KlÍ2 —"j ai3 - m2KlÍ3aii -ю2Kl32a11j U3" + + mKli223aiiV3" + = 0, l = Í4;
r к 2 Л
77-20 , T7-20 к" 2 p,.20 2 77-20
Ki aoo + Kiii-"ra02 - m Kij2aœ - и Ш33am
з0
V" -V0
J
2
- mKiÍJ aorU0" - mKi230aooWo" +
Ki2
i21aoo + A2/ ao2 - mKiJJaoo -&Ki22aoo ) Vi"
- mKiÍ2i ao2Ui" - mKi23iaooWi" -
Ki 22am + KiÍÍ 4 ao2 -m2Killaoo - ©Kfaoo ) V2" -
- mK¿Í2 aorU2" - mKi^aooWj + Ki23aTO + Kii2i3 4 ao2 -m2Ki^^aoo - G>2KiHam ) V3" -
- mKiÍ23 a02U3" = O, i = 5Д
,.io к "
Д/'Г^ aorU0" + mKj2aooVo" + -o2
(
77-30 , 77.3U " 2 77*30 2 77.30
Kj aoo + K/ii -"2 a02 - m K^oo - ® K/ззaoo
-0 У
Wo" +
+ K/'i -"7 a02Ui" + mKjj a^V" + r А 2 ^
,7.3 i , ,7.3 i А" 2^.3i 2^.3 i
Kj aoo + K/ii -"7ao2 - m K^oo - ® K^oo
o
w3" +
+ KjÍ2 ^ aojU2 + mKj22aooV7 +
Kj aoo + K/'ii -"r ao2 - m K^oo - ® Jaoo
W2" +
+ Kj13 Ц- ao2U3" + mKj223aooV3" = O, j = 9, i i,
где
2
aoo = "3_ JX"2dÇ, ao2 = ^ J xA (X")d^,
" 0
d^2
o
2
2
o
o
П1 1,8
П2
1
4
10
Рис. 1
6
10
Рис. 2
10
6
п
П - р0 Г
а11 =72 1
К 0
1 (X«)
2 „ 3 ^0
^ П13 =?111XXК .
7п 0
В рассматриваемом случае уравнение, определяющее собственные частоты колебаний,
11 к _
можно представить в виде X ^к (о2) = 0, где Вк, к = 0,11 — постоянные величины,
к=0
зависящие от геометрических параметров, упругих постоянных изотропного материала оболочки, собственных чисел Хп и числа волн в окружном направлении т; ^ — приведенная безразмерная частота, определяемая соотношением ^ = со р (1 - ц2 Е.
Пример. Рассмотрим оболочку, свободно опертую по двум концам, материал которой имеет следующие параметры: коэффициент Пуассона ц = 0,3, модуль Юнга
Е = 19,6 • 1010 Па, плотность материала р = 7,7 • 103 кг/м3. На рис. 1—4 показаны графики одиннадцати безразмерных частот при т = 2 в зависимости от собственных чисел Хп при различных значениях относительной полутолщины оболочки е0: 1 — 1/140; 2 - 1/100; 3 - 1/200; 4 - 1/1000.
"б
2000
1500
500
"7....... 4
1 / 2 / 3 I
/ / 1
/
/
2400
1800
600
'""7........ 4
1 / 2 / 3 /
/ I /
!
/
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.