ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 2, с. 189-192
УДК 519.61
СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ДВУХ ПРОЕКТОРОВ
© 2015 г. А. М. Ветошкин
(141005Мытищи-5, М.о., ул. Институтская 1-я, 1, МГУЛ, ФЭСТ) e-mail: vetkin@mail.cnt.ru Поступила в редакцию 08.04.2014 г. Переработанный вариант 23.06.2014 г.
Доказывается, что многочлен от двух проекторов равен нулю для любой пары проекторов только тогда, когда все коэффициенты этого многочлена нулевые. Библ. 7.
Ключевые слова: проектор, ортопроектор, многочлен, подобие, блочно-треугольная форма матрицы.
DOI: 10.7868/S0044466915020209
1. ВВЕДЕНИЕ
2
Матрица P порядка m называется проектором, если P = P . В работе рассматриваются комплексные и действительные проекторы. Если проектор P-эрмитова матрица, то P называют ортопроектором.
Многочлен есть сумма мономов различных степеней. Для случая аргументов многочлена — двух проекторов P и Q — есть два варианта для монома любой степени. Например, для третьей степени монома это
PQP, QPQ.
Для пары проекторов P и Q одного порядка введем обозначения
Pj = PQQ., Qj = QPQP..., (1)
j j
здесь матричные сомножители P и Q чередуются; количество сомножителей j. Например: P1 = P, P2 = PQ, Q3 = QPQ и так далее.
Многочлен f (P, Q) степени n запишем в виде
n
f(P, Q) = a,lm + YjajPj + bjQj), (2)
j=1
где lm — единичная матрица порядка m.
Для ненулевого многочлена хотя бы один из коэффициентов an, bn не равен нулю.
В алгебре известна теорема о том, что многочлен от одной переменной с комплексными коэффициентами, принимающий лишь нулевые значения, имеет нулевые коэффициенты (см. [1, стр. 158]). Имеется обобщение этой теоремы на случай многочлена от нескольких числовых переменных (см. [2, стр. 290]). Для многочленов от двух ортопроекторов справедлива
Теорема 1. Пусть многочлен f от двух ортопроекторов дается формулой
n
f (P, Q) = a,lm + YjajPj + bjQj), j=1
где коэффициенты а у, Ь■ комплексные (действительные), причем /(Р, О) = 0 для произвольных комплексных (действительных) ортопроекторов Р и О. Тогда все коэффициенты а у, Ьу многочлена / равны нулю.
Так как множество пар ортопроекторов является подмножеством множества пар проекторов, то следующая теорема является очевидным следствием теоремы 1.
Теорема 2. Пусть многочлен / от двух проекторов дается формулой
п
/ (Р, О) = ао1т + £(ар + ЬуОу),
у=1
где коэффициенты а у, Ьу комплексные (действительные), причем /(Р, О) = 0 для произвольных комплексных (действительных) проекторов Р и О. Тогда все коэффициенты ау, Ьу многочлена / равны нулю.
2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1
В [3] демонстрируется, что в задачах, в которых участвуют два произвольных проектора, очень полезен блочно-треугольный вид каждого проектора — максимально простой вид, к какому может быть одновременно приведена пара произвольных комплексных проекторов. Эта форма пары проекторов получена в [4].
В [5] на основе блочно-треугольного вида пары проекторов (см. [4]), получена каноническая форма пары ортопроекторов относительно унитарного подобия. Для доказательства теоремы 1 мы применим эту каноническую форму. Приведем здесь формулировку соответствующей теоремы из работы [6]:
Теорема 3. Пусть Р, 0 — матрицы ортогонального проектирования пространства Сп, соответственно, на подпространства £ и Ж. Тогда существует унитарная матрица Ж такая, что верно следующее:
1) матрица Ш*РЖ диагональная с диагональными элементами 1 и 0;
2) матрица блочно-диагональная с диагональными блоками порядков 1 и 2; блоки первого порядка есть числа 1 и 0, блоки второго порядка (если присутствуют) имеют вид
к = 1,2,..., m;
(3)
cos tk cos tk sin tk • 2
cos tk sin tk sin tk _
3) каждому блоку вида (3) в матрице W*PW соответствует пара диагональных элементов [1, 0];
4) числа t1, ..., tm есть нетривиальные (т.е. отличные от нуля) канонические углы между подпространствами 2 и Л.
У матриц W *PW и W *QW каждая пара диагональных скалярных блоков имеет одну из четырех форм:
(0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Опускаем индекс к в выражениях из (3); положим
c = cos tk
s = sin tk
Проекторы второго порядка, упоминаемые в теореме 3, обозначим через
С, 5 Ф 0,1, С2 + 52 = 1.
"1 0" 2 c cs
, q = 2 cs s
_0 0_
СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ДВУХ ПРОЕКТОРОВ
191
Для случая комплексных ортопроекторов Р и 0 матрица № */(Р, Q)W будет диагональной, с диагональными блоками порядков 1 и 2:
/ (0,0) = а0,
/ (0,1) = ао + Ъъ
/(1,0) = ао + а1, (4)
П
/ (1,1) = а0 + £(а, + Ъ}),
1=1
П
/(р, 9) = а012 + + ).
1=1
По условиям теоремы 1 для любой пары ортопроекторов Р и 0 матрица /(Р, 0) нулевая, поэтому и величины, перечисленные в (4), также нулевые. Из равенства нулю первых трех величин в (4) сразу же получаем:
а0 = а1 = Ъ1 = 0. (5)
В (4) матрицы р , и определяются аналогично матрицам Р, и в (1): р2 = рд, д3 = дрд и так далее.
Поэтому
ру+2 = С Подстановка (6) в /(р, д) дает
ру+1 = С21 р,
2
921+1 = с 21 д, 1 > 0,
2
С 05
0 0
д21+2
2
с 2 0
СИ 0
1> 0.
(6)
/(р, д) = а{]12 + ^(а^! + Ъд) =
1=1
/11 /12 /21 /22.
= 0,
где
/11 = а0 + а1 + с (а2 + а3 + Ъ1 + Ъ2) + с (а4 + а5 + Ъ3 + Ъ4) +... = 0,
3 5
/12 = си(а2 + Ъ1) + с и(а4 + Ъ3) + с и(а6 + Ъ5) + ... = 0,
/21 = С5(Ъ1 + Ъ2) + С 35(Ъз + Ъ4) + с55(ъ5 + Ъб) +... = 0,
/22 = а0 + и 2(Ъ1 + с 2Ъз + с 4Ъ5 + ...) = 0. В (10), учитывая (5) и то, что множитель 5 ненулевой, получим
(7)
(8) (9)
(10)
ъ(с) = Ъ1 + с Ъ3 + с4Ъ5 +... = 0.
Этот многочлен, степени не более чем п - 1, равен нулю для любого с ф 0,1. Но многочлен с комплексными или действительными коэффициентами может иметь лишь конечное число корней. Поэтому все коэффициенты многочлена Ъ(с) равны нулю. Получили, что все коэффициенты Ък с нечетными номерами нулевые. Переходя к равенству (9), аналогично получаем, что все коэффициенты Ък с четными номерами нулевые. Из равенства (8) следует, что все коэффициенты ак с четными номерами нулевые. И, наконец, из (7) следует, что все коэффициенты ак с нечетными номерами нулевые.
Таким образом, все коэффициенты многочлена (2) нулевые.
Обратим внимание на то, что в формулировке теоремы 3 участвуют, за исключением ортопро-екторов и унитарных матриц, только действительные величины. Поэтому все рассуждения в приведенном доказательстве проходят и для действительных ортопроекторов Р, 0, и для многочлена / с действительными коэффициентами.
Доказательство теоремы 1 завершено.
п
В [7] рассматривается вопрос о том, когда многочлен от двух действительных ортопроекторов сам является действительным ортопроектором. В этой работе выясняется, что степень такого многочлена, который имеет вид (2), должна быть нечетной. Действительно, при четном n два
2 2 2
старших монома в выражении f (P,Q) будут anP2n и bnQ2n. Коэффициенты an и bn не равны нулю одновременно, и эти старшие мономы не могут сократиться ни с какими другими слагаемыми в
выражении f (P, Q). В [7] отсюда делается правильный, но необоснованный вывод о нечетности n.
Применение теоремы 1 к многочлену f2 - f, который должен быть равен нулю для любой пары действительных ортопроекторов, позволяет заполнить данный логический пробел.
Автор благодарен рецензенту за указание, что теорема 2 является следствием теоремы 1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968.
2. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. М.: Наука, Физматлит, 1996.
3. Икрамов Х.Д. Одновременное приведение к блочно-треугольному виду и теоремы о парах комплексных идемпотент // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 6. С. 979—982.
4. Икрамов Х.Д. Об одновременной приводимости к блочно-треугольному виду пар косых проекторов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 2. С. 181—182.
5. Джордж А., Икрамов Х.Д. Замечание о канонической форме пары ортопроекторов // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2004. Т. 309. С. 17-22.
6. Икрамов Х.Д. Канонические формы проекторов относительно унитарного подобия и их приложения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. № 9. С. 1534-1539.
7. Ветошкин А.М. Матричные многочлены от переменных проекторов, которые сами являются проекторами // Автоматизация и компьютеризация информационной техники и технологии. Научн. тр. Вып. 341. М.: ГОУ ВПО МГУЛ, 2008. С. 69-78.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.