ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 2, 2004
УДК 532.591
© 2004 г. И. С. Жукова, А. И. Саичев
СВОЙСТВА СГУСТКОВ ПРИМЕСИ В ТУРБУЛЕНТНОЙ СРЕДЕ
В рамках модели Крейчнана изучены характерные свойства локализации инерционной и плавучей примеси в турбулентной среде при разных соотношениях между дивергентной и вихревой частями поля скорости частиц примеси.
В последние годы интенсивно, теоретически и экспериментально, изучаются свойства перемежаемости и стохастической локализации примеси в случайно движущихся средах (см., например, [1-6]). Уже установлено (см., например, [1, 5]), что главный механизм локализации связан с наличием дивергентной компоненты поля скорости среды, возникающей при инерционном движении частиц [7]. Соответственно ниже полагается, что поле скорости примеси обладает, наряду с вихревой, и дивергентной компонентой; само это поле описывается моделью Крейчнана [8] с заданным корреляционным тензором.
Анализ свойств локализации примеси требует адекватных методов статистического описания. Предлагается один из подобных методов, основанный на анализе средней плотности вокруг произвольно выбранной (в дальнейшем назовем ее меченой) частицы примеси, и условных распределений относительной диффузии частиц. На основе предложенного анализа удается вычислить среднюю массу и характерные размеры сгустков, а также проследить, как меняется характерная форма сгустков в зависимости от соотношения между дивергентной и вихревой компонентами скорости движения частиц.
1. Средняя плотность вокруг меченой частицы. Наиболее эффективным методом статистического описания перемежаемости и стохастической локализации примеси в турбулентной среде является исследование лагранжевых статистических характеристик примеси (см., например, [9-12]). Одной из разновидностей лагранжевых характеристик примеси служит введенная ниже средняя плотность вокруг меченой частицы.
Рассмотрим плотность частицы примеси единичной массы
Здесь Х(Х, 0 - текущие координаты меченой частицы, 8 - координаты остальных частиц в лагранжевой системе координат с центром в точке X, где расположена меченая частица, а z - эйлеровы координаты, отсчитанные от меченой частицы, попавшей в текущий момент t в точку Х(£, В данной работе за лагранжевы координаты взяты координаты частиц в начальный момент времени t = 0. При этом, в частности,
Пусть известна начальная плотность п0(8) вокруг меченой частицы. Тогда из соотношения (1.1) имеем среднюю плотность вокруг меченой частицы
п(^ t; X, 8) = 8(X(X + 8, t) - X(X, t) - z)
(1.1)
Х(X, о) = X, х(X + 8, о) = X + ^
(1.2)
Сюда входит распределение вектора, соединяющего две частицы:
8(z; X, 8, t) = <5(Х(X + 8, t) - X(X, t) - z)>, £(z; X, 8, t = 0) = 5(8 - z)
Если случайное поле скорости примеси u(x, t) статистически однородно, зависимость от X в равенстве (1.2) пропадает и оно принимает вид
<nc(z, t)> = Jg(z; s, t)n0(s)ds (1.3)
Пусть известно уравнение для распределения относительной диффузии g(z; s, t)
дg/dt = Xg, g(z; s, t = 0) = 5(z - s) (1.4)
где X - некоторый оператор в пространстве z. Тогда средняя плотность вокруг меченой частицы подчиняется задаче Коши
д<nc>/дt = X<nc>, <nc(z, t = 0)> = n0(z) (1.5)
Средняя плотность вокруг меченой частицы позволяет судить о массах и характерных размерах сгустка. Покажем это на примере стационарной плотности сгустка вокруг меченой частицы
nst(z) = lim < nc (z, t)> (1.6)
t ^ ~
Если средняя плотность примеси однородна: <n(x, t)> = n0, то указанная выше стационарная плотность вокруг меченой частицы подчиняется краевой задаче
Xnst(z) = 0, nst(z)| ,z, ^ = no (1.7)
Условие на бесконечности учитывает тот факт, что остальные сгустки создают "фон" со средней плотностью n0. Превышение плотности сгустка над средней плотностью примеси задает функция
& (z) = nst(z) - По
Определим с ее помощью среднюю массу сгустка
M = J & (z) dz (1.8)
Назовем средним профилем сгустка функцию ^(z), задающую распределение частиц вокруг центра сгустка. Средний профиль не совпадает с ^(z), так как меченая частица может находиться в любой точке сгустка. Этот факт выражен равенством
^(z) = <<g(z - ztag)> (1.9)
где ztag - координата меченой частицы в системе координат с началом в центре сгустка. Естественно взять распределение координат меченой частицы, по которой идет усреднение в равенстве (1.9), в виде
g( z) = <ä (z)/M
Раскрыв среднее (1.9) с помощью этого распределения, придем к интегральному уравнению относительно среднего профиля сгустка
Щ (z)® Щ (z) = M & (z)
Найдем стационарное решение уравнения (1.5) в изотропной среде и в рамках модели Крейчнана [10]. Напомним, в модели Крейчнана предполагается, что поле скорости турбулентной среды дельта-коррелировано по времени, а корреляционный тензор поля скорости u(x, t) среды полагается равным
<U;(x, t)Vj(x + z, t + т)> = z)5(t)
Сюда входит тензор коэффициентов диффузии поля скорости частиц
Э,,(z) = - 5,,ДАе(г) +
дг; д г^
[Ле(г) - А,(г)]
выраженный через скалярные поля, ответственные за дивергентность скорости (Л,) и его вихревую часть (Ле).
В рамках модели Крейчнана уравнение (1.5) принимает вид (см., например, [12])
д < п с)
дг
= 2цА< пс) + 2
дг,дг/ г1
[ Б,,( z )< пс)], Б,,( z) = Э,,( 0 )-Э,,( z)
(1.10)
Помимо турбулентных флуктуаций поля скорости среды здесь учтена еще молекулярная диффузия частиц с коэффициентом молекулярной диффузии ц, играющая принципиальную роль при анализе эволюции плотности примеси (см., например, монографию [13], где детально обсуждается роль молекулярной диффузии при описании флуктуаций плотности примеси).
Для радиально-симметричного распределения g = g(z, г) уравнение (1.10) переходит в следующее:
д< пс) 2 д й -1Г дг, п
дг [(Ц + Р!! + Е|)< Пс)] + б < Пс) (1.11)
дг
Здесь
2 д й-1 дгг
Р||( г) =
й Л,(г)
йг
2 + Э,, £ц( г) = (й -1)
1йЛе(г)
г йг
+ Эе
б (г) = < й-1) К1 ^ ) - Т
(1.12)
й - размерность пространства, и использовано асимптотическое разложение
2 4
Ле,,(г) = Ле,,(0)-|Эе,, + 24 Б - ... (г ^ 0)
(1.13)
указывающее природу коэффициентов Эе, в соотношениях (1.12). Полагается также, что функции Ле ,(г) удовлетворяют условию ослабления корреляций с расстоянием и достаточно быстро стремятся к нулю при г ^ <», обеспечивая сходимость возникающих ниже интегралов.
Стационарная плотность пй(г) (1.6) подчиняется краевой задаче (1.7)
й
[(ц + Р| + ЕЛ пв1 ] + йпл = 0, пл (0) = 0, пв1(~)
решение которой таково:
йР (у)
пЛг) = п0ехр
Ц + Р | |( У) + ЕЛ у)
(1.14)
Здесь
1 й [ й 1 йЛ„(г)\ Р (г) = АЛ,(г) + йЭ, = г^Т ¿[г"+ йЭ,
(1.15)
2
2
г
Обсудим физический смысл функций, входящих в выражение (1.14), разбив поле скорости частиц на дивергентную и вихревую части
и( х, г) = ир (х, г) + ие (х, г) Пусть известны параллельные корреляционные функции скоростей
вер(г, 9) = <(ие"р(х, г)• 1 )(ие'р(х + z, г + 9)-1 )>, 1 = z/г
Они определяют коэффициенты турбулентной диффузии
эр(г) = 21Вр(г, 9)й9, ^¡(г) = 2|г, 9)й9
Отвечающие им коэффициенты относительной диффузии входят в знаменатель интеграла в равенстве (1.14):
Р,,(г) = ®р - яр(г), Ец( г) = (й -1 )®е - ^¡(г)
Близкий смысл имеет и функция Р(г) в числителе этого интеграла. Укажем его, определив среднее скалярного произведения
Вр(г, т) = < ир(х, г)• ир(х + ^ г + т)> Соответствующий коэффициент относительной диффузии равен
Р(г) = й®р - Вр(г), (г) = 2|Вр(г,т)йт
Он связан с коэффициентом параллельной относительной диффузии дивергентной части поля скорости соотношением Обухова
Р (г) = Рм( г) + ^ | Рм( у) йу
(1.16)
Таким образом, из выражения (1.14) видно, что локализация тем сильнее, чем больше полная энергия дивергентной части поля скорости, и тем слабее, чем больше параллельные коэффициенты относительной диффузии дивергентной и вихревой частей.
Исследуем форму яй(г), переписав выражение (1.14) в виде
яй( г) = N ехр
-I
0'
йР (у)
ц + Р,,(у) + Б,.(у)
, N = пй (0)
(1.17)
Пусть - внутренний масштаб турбулентности поля и(х, г). При г ^ справедливы
асимптотики
й-12 1 2 й+ 2 2 Б( г) - Вег, Р | |( г) - 1 В/, Р (г) - ^-б-2 В/
(1.18)
Здесь использованы разложения (1.13) и соотношения (1.12), (1.16). Подставив выражения (1.18) в равенство (1.17), получим
М г) = N
I
1 п
иП + (3у + й -1 )г2]
(1.19)
0
0
0
0
- г
X
где
6|Х
В '
У
Вр
В'
X
( й + 2) у 3 у + й - 1
(1.20)
Изучим влияние на стационарную плотность (1.14) конкуренции дивергентной и вихревой компонент поля скорости. Для этого введем безразмерные функции и безразмерные параметры
( ) Е!!(г) ( ) Р(г) ( ) Р(г) е!!(г) = "Ж"' Р (г) = Ж' р!!(г) =
Ж
Ж
-р ~р и перепишем выражение (1.14) следующим образом
5 = Ж, V = Ж
е ЖЖ е
пй( г) = поехР
51
йр (у)
V + 5 р| |( у) + е |( у)
Отсюда видно, что при 5 ^ 1 стационарная плотность фактически равна не зависящей от 5 функции в степени 5:
г) — пор (г), р(г) = ехр
Г йр(у) 'V + е| |( у)
(1.21)
В частности, максимальная стационарная плотность вокруг меченой частицы равна N — Пор5(0)
Оценим величину р(0), положив е 11 (г) — р(г). В итоге из выражения для р(г) (1.21) находим оценку р(0) — Ре = ®е/ц, т.е.
N — По( Ре )5
Здесь Ре - число Пекле вихревой компоненты скорости примеси.
Пусть, к примеру, Ре ~ 1010, а 5 ~ 10-1. Тогда N ~ 10п0, т.е. при данных параметрах турбулентности плотность внутри сгустка всего лишь на один порядок больше средней плотности.
2. Вероятностная интерпретация. Напомним, уравнению (1.11) подчиняется не только средняя плотность вокруг меченой частицы, но и распределение g(г; г) расстояний между частицами. Нормированное, т.е. удовлетворяющее равенству
^ (г; г) йz = 1
решение уравнения (1.11) задает распределение расстояний между частицами. В отличие от средней плотности распределение g(г; г) ^ 0 при г поскольку частицы в конце концов попадают в разные сгустки и диффундируют независимо. Тем не менее при больших числах Пекле частицы образуют ответственные за локализацию квазистабильные пары. Особенности поведения подобных пар частиц можно исследовать, считая, что при любых г имеют место асимптотики (1.18).
Найдем стационарное распределение расстояния между частицами, переписав выражение (1.19)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.