КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 76, № 6, с. 698-705
УДК 532.64
ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЕ И НЕДИАГОНАЛЬНАЯ КОМПОНЕНТЫ ДАВЛЕНИЯ
В КРУГЛОЙ ЩЕЛИ © 2014 г. Е. Н. Бродская, А. И. Русанов
Менделеевский центр, Санкт-Петербургский государственный университет 199034 Санкт-Петербург, Университетская наб., 7 E-mail: elena_brodskaya@mail.ru Поступила в редакцию 06.05.2014 г.
Проведен расчет локальных тангенциальных и недиагональной компонент тензора давления внутри круговой плоскопараллельной пустой щели для дисперсионных сил. Рассмотрены случаи симметричной и несимметричной щелей. Пространственная зависимость обеих тангенциальных компонент носит одинаковый характер, хотя по абсолютной величине они несколько различаются. Показано, что в симметричной щели поправки от ее конечного размера к тангенциальному давлению оказываются больше, чем для нормального давления. Недиагональная компонента давления становится заметной величиной только вблизи края узких щелей.
DOI: 10.7868/S0023291214060044
В предыдущих работах [1—3] мы анализировали поведение локального нормального давления в условиях пустой конечной плоскопараллельной щели, на основании которого получили зависимость линейного натяжения от кривизны границы [4]. Были проведены оценки краевых эффектов для круглых щелей разной ширины и разного радиуса сечения. Очевидно, что эти эффекты будут проявляться не только в нормальном давлении, но и в других составляющих тензора давления. Дополнить анализ поведения тензора давления в конечной щели рассмотрением тангенциальных и недиагональных его компонент и будет являться задачей данной работы. Будем рассматривать оба случая симметричной и несимметричной пустых щелей с круглым сечением. Симметричная щель существует между торцами тождественных цилиндрических столбиков, а несимметричная — между торцом цилиндра и бесконечной плоской твердой поверхностью (рис. 1).
Для определения давления будем исходить из тензора напряжений Ирвинга—Кирквуда [5]. Методика его использования и исходные выражения для него в терминах тензора давления р для дисперсионного взаимодействия даны в приложении с подробным описанием его преобразования для рассматриваемой системы из двух твердых цилиндров с объемами У1 и У2. Для дальнейших вычислений в качестве исходной возьмем формулу
(П.9) из приложения для незапаздывающих дисперсионных сил с постоянной A12
4
Кг) = -ЗАм Ц^ \dz2 —(1)
где А12 — силовая постоянная, с1 и с2 — постоянные частичные плотности твердых тел 1 и 2 (число молекул в единице объема), образующих щель и занимающих объемы У1 и У2. При выводе этого выражения начало координат было помещено в рассматриваемую точку г. Опишем кратко процедуру дальнейших вычислений в (1) . Будем интегрировать только по положительным значениям гь а полученный результат умножать на два. Интегрирование по х1 и у1 удобно выполнять в полярных координатах р и ф. При этом следует условиться, что ф отсчитывается от прямой линии, проходящей через расчетную точку О (являющуюся началом координат) и центральную точку щели С на твердой поверхности (рис. 2). Тогда формулу (1) можно переписать следующим образом:
р (Н, г, а) = -6А12С1С2 цpdpdz1 х
VI
4 (2)
х Ц Г х \ * 5.
I (Р2 + ) - ^
(а) (б)
X
H
H
1
г
г
a
a
r
2
r
2
2
2
Рис. 1. Сечение круговой щели: а — радиус цилиндра, Н — ширина щели; векторы г^ и Г2 указывают положение взаимодействующих молекул относительно расчетной точки: (а) — между двумя цилиндрами, (б) — между цилиндром и бесконечной твердой поверхностью.
(а)
(б)
Рис. 2. К расчету давления на бесконечной обкладке щели: C — центральная точка торца цилиндра, О — начало цилиндрической системы координат в расчетной точке, a — радиус цилиндра, r — расстояние расчетной точки от центральной точки, Pia и р2д — предельные значения цилиндрической координаты р; (а) — область при r < a, (б) — область при r > a.
Следует заметить, что пределы интегрирования зависят от вида щели и от положения рассматриваемой точки. Пусть радиус цилиндрического сечения равняется а, а расстояние рассматриваемой точки до оси симметрии г.
Компоненты тензора 1\ х г для наших целей удобно представить в цилиндрических координатах рассматриваемой точки г, ф и г относительно центра сечения. Диагональные компоненты этого тензора будут равны
[ri х Ii]^ = Zi2, [ri X Ii] = P2 cos2 ф,
[ri X ri]w = p2sin2 ф,
(3)
а недиагональные
[ri x ri]_ = Zip cos Ф, [ri X ri] = Zip sin Ф,
[ri X ri] = p2cosФsinф.
(4)
В данной работе мы проведем анализ тангенциальных составляющих
prr (H, r, a) = -6Л12с1с2 ¡cos2 ф^фр^рй^ х
Zi
Zi!)
¡ (
dz 2
4,;(zi - Z2)5' V2
х
Р,
фф
(Н, г, а) = -6А12с1с2 ^т2 фй цpгdpdz1 х
¿1
!(
йг 2
(6)
(р2+¿12) ;2(г- ъ)
и единственной отличной от нуля недиагональной компоненты
Рг
. (Н, г, а) = -6А12с1с2 jcos фйфр2йр х
йг 2
г-
(р2 + г2) ) (г1 - г 2)
(7)
поскольку в условиях цилиндрической симметрии компоненты рг(? и ргф обращаются в нуль.
Начнем рассмотрение со случая симметричной щели и определим пределы интегрирования. Для точки, находящейся на конечной поверхности (г < а), пределы интегрирования по р и ф имеют следующие значения:
ф1 = 0, ф2 = 2п,
Р1а = 0, р2а = -г ес8 ф + ^а2 - г2 8т2 ф.
(8)
Н < г1 <», -—г1 < г2 < 0. р
(9)
Следует заметить, что, согласно определению тензора давления Ирвинга—Кирквуда, в симметричной щели все компоненты должны обращаться в нуль на краю щели. Приступая непосредственно к вычислению компонент тензора давления (5)—(7), начнем с интегрирования по z2 с учетом (9), что даст в результате
йг2
1
Р
- г2) 4г1 4^(р + р2а)
(10)
-*1Р2а/ Р
Тогда выражение для компоненты ргг можно представить в виде суммы двух слагаемых
Ргг (г) = II + 12,
где
2п
1 _
11 = ;
Р2а
|фйф | р3йр
йг1
Н
(Р2 + г2)
(11)
Г, (12)
т _ 3А12с1с2 11 =
2п
| cos2 фй ф x
Р1а
Iйр
¡7
йг1
(р+р2а УН (р2 + г2 )
В (12) интегрирование по z1 и р выполняется аналитически, в результате которого получаем следующее выражение:
1 _ пА12с1с2 11 _ 3-
24Н3
2п
, 3Н^ 2 ,
1--I cos фйфХ
5п
2р2а
2Н
8п
5Н
(14)
(р2а + Н2)2
р2а(р2а + Н2)
5 . Н —— arctg—
р2а р2а_
Теперь осталось определить пределы для переменных z1 и z2. Очевидно, что для симметричной щели результат должен быть одинаков для обеих обкладок. Выбрав для определенности нижнюю стенку, получим следующие значения для z1 и z2:
Коэффициент перед фигурной скобкой равен тангенциальной составляющей тензора давления в пустой бесконечной плоскопараллельной щели, полученной в [6, 7]. Интегрирование по полярному углу будем проводить численно. При рассмотрении интеграла 12 также можно аналитически выполнить интегрирование по z1 и р, но выражение будет чрезвычайно громоздким. Поэтому после интегрирования по z1 дальнейшие вычисления будем выполнять численно, представив окончательный результат для р^ следующим образом:
(г,Н,а) = (1 - ^ (г,Н,а)).
24Н
(15)
Функция /гг (г, Н, а) представляет собой поправочный член, описывающий вклад краевых эффектов в тангенциальную компоненту тензора давления в симметричной конечной щели. На рис. 3 эта функция (рис. 3а) представлена вместе с аналогичной функцией для нормального давления (рис. 3б). Видно, что в среднем влияние краевых эффектов на тангенциальное давление заметно сильнее по сравнению с нормальным давлением. Только в очень узких щелях поправками к тангенциальному давлению можно пренебречь вблизи оси щели при г < 0.5а, а в щелях шириной 2а поправочный член компенсирует до 95% тангенциального давления. Следовательно, тангенциальное давление в конечной щели становится по абсолютной величине существенно меньше, чем в бесконечной щели. Хотя этот вывод получен для пустой щели, можно предполагать, что он останется справедливым и для щели, заполненной флюидом. Тогда следует ожидать уменьшения натяжения конечной пленки по сравнению с бесконечным аналогом.
Как сказано выше, в данных системах следует различать две тангенциальные компоненты тензора давления ргг и рфф, определяемые формулами (5) и (6). Процесс вычисления рфф будет отличаться от
0
х
0
х
0
0
проведенного для ргг только последним шагом при интегрировании по полярному углу, выполняемому численно. Расчеты показывают, что обе компоненты близки друг к другу на всем протяжении щели. Из рис. 4 видно, что наибольшее различие между ними можно наблюдать в периферийной области (г > 0.5а) узких щелей с Н < 0.5а. При этом не следует забывать, что обе компоненты обращаются в нуль на краю щели при г = а. Положительное значение данной разности означает, что по абсолютной величине компонента рфф превосходит компоненту ргг.
Перейдем к рассмотрению несимметричной щели и вернемся к выражениям (5) и (6) для тангенциальных компонент тензора давления. Как отмечалось в [1], для несимметричной щели локальная зависимость компонент тензора давления будет разной для двух обкладок. Поэтому вычисления следует проводить отдельно для каждой из ограничивающих щель поверхностей. Для точки, находящейся на конечной поверхности (г < а), пределы интегрирования по р и ф для несимметричной щели имеют те же значения (8), что и для симметричной щели. Однако, в отличие от случая симметричной щели, компоненты тензора давления не равны нулю на краю щели. При этом в точке г = а функция р2а(ф) обращается в нуль в интервале -я/ 2 < ф < я/ 2, но отлична от нуля для доступных значений углов я/2 < ф < 3я/2.
В несимметричной щели на бесконечной ее поверхности точка может находиться и в области г> а (рис. 2б), и в этом случае пределы интегрирования по полярным координатам будут равны, соответственно,
• а ■ а
ф1 = я — агазт-, ф2 = я + агсБт-,
г г
2 • 2
р1а = — гСОБ ф + Vа~ — г Б1П ф,
л]а2 —, а
(16)
2 2-2 р2а = г СОБ ф + Vа — г Б1П ф.
Наконец, пределы для координат 11 и 12 будут равны, соответственно, на бесконечной нижней стенке
Н < г1 < да, - да < г2 < 0, (17)
и для верхнего конечного сечения
0 < г1 < да, - да < г2 < -Н. (18)
200
150
а а
100
50
15 2'г;02 ^
Рис. 4. Разность тангенциальных компонент тензора давления ргг — рфф в единицах ЛА12С1С2/24.
Наиболее простым дальнейший расчет будет для бесконечной обкладки, для которой после интегрир
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.