МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2009
УДК 532.543: 532.59
© 2009 г. В. В. ОСТАПЕНКО, Е. В. ШИНКАРЕНКО
ТЕЧЕНИЯ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПОСЛЕ ПРОХОЖДЕНИЯ ПРЕРЫВНОЙ ВОЛНЫ
НАД УСТУПОМ ДНА
В рамках первого приближения теории мелкой воды изучается разрешимость задачи о течениях, возникающих после прохождения прерывной волны над уступом дна. Рассмотрены решения, в которых полная энергия потока сохраняется на уступе, и решения, в которых она на уступе теряется. Построены пять качественно различных типов устойчивых автомодельных решений этой задачи, для которых на плоскости безразмерных параметров выделены области их существования.
Ключевые слова: мелкая вода, прерывная волна, уступ дна.
Уравнения первого приближения теории мелкой воды [1—4] широко применяются при моделировании процесса распространения прерывных волн [5—7] (гидравлических боров [8—10]), возникающих при полном или частичном разрушении плотины гидросооружения либо при выходе крупных морских волн типа цунами [11] на мелководье. Однако классическая система базисных законов сохранения теории мелкой воды (состоящая из законов сохранения массы и полного импульса [3, 4]), правильно передавая параметры прерывных волн, распространяющихся по жидкости конечной глубины над ровным дном [1], не позволяет описывать волновые течения над различными особенностями рельефа дна, в частности прохождение прерывной волны над скачком уровня (отметки) дна. Это обусловлено тем, что уравнение для полного импульса является точным законом сохранения только в случае горизонтального дна, поэтому его нельзя использовать для получения условия Гюгонио на разрыве, возникающем над скачком уровня дна. Отсюда следует, что если с такого разрыва уходят две характеристики, то для замыкания соотношений на нем необходимо введение дополнительного условия (если с разрыва над скачком уровня дна уходит одна характеристика, то для замыкания соотношений на таком разрыве достаточно одного условия Гюгонио, вытекающего из закона сохранения массы).
Аналогичная ситуация имеет место при изучении одномерных течений газа [12] в трубе с разрывом площади поперечного сечения. В [13, 14] при решении задачи распада разрыва на скачке площади сечения в качестве такого дополнительного соотношения на скачке площади сечения использовалось уравнение импульса, в котором на основе различных физических соображений (выходящих за рамки одномерной газодинамической модели) учитывалась реакция стенки p', соединяющей трубопроводы различных диаметров. Однако получаемое таким способом соотношение на скачке определено неоднозначно: оно существенно зависит от способа задания величины p' (в работах [13, 14] эта величина задается по-разному). Кроме того, это соотношение в общем случае недивергентно, т. е. не допускает записи в виде условия Гюгонио [/] = 0.
В то же время существует другой подход [12], при котором недостающее условие на скачке площади сечения в предположении адиабатичности течения получается из дифференциального следствия базисных уравнений газовой динамики — закона сохранения энтропии, сохраняющего дивергентную форму при изменении площади се-
чения. При выводе недостающего условия для уравнений изэнтропической газовой динамики применяется аналогичный подход [15], основанный на использовании на скачке площади сечения наряду с уравнением неразрывности дивергентного уравнения для полной энергии.
В настоящей работе, следуя подходу [12, 15], соотношения на гидродинамическом разрыве, возникающем над уступом дна (представляющем собой скачок уровня дна, с которого вода стекает [16]), будем получать из законов сохранения теории мелкой воды, допускающих запись в дивергентной форме над негоризонтальным дном. В [17] показано, что уравнения мелкой воды имеют всего два линейно независимых закона сохранения, удовлетворяющих этому условию, — это законы сохранения массы и локального импульса. Поэтому наряду с непрерывностью расхода, получаемой из закона сохранения массы, в качестве дополнительного соотношения на разрыве над скачком уровня дна будем использовать непрерывность константы Бернули, получаемую из закона сохранения локального импульса. Следствием этого является сохранение на таком разрыве полной энергии набегающего потока [17].
На первый взгляд, предположение о возможности сохранения полной энергии потока при его течении над скачком уровня дна является слабо обоснованным, поскольку оно проистекает только из определенной универсальности законов сохранения теории мелкой воды. Однако построенные на основе этого предположения автомодельные решения задачи о разрушении плотины над уступом дна [16] и задачи о прохождении прерывной волны над ступенькой дна [18] (представляющей собой скачок уровня дна, на который вода натекает) получили достаточно хорошее согласование с экспериментальными данными [19, 20] по возможным типам волн, скорости их распространения и асимптотическим глубинам за их фронтами. Как показал детальный анализ экспериментов [19—21], причина этого заключается в том, что в рассматриваемых течениях у подножия ступеньки и уступа формируются стационарные вертикальные вихри (в случае уступа над ними может возникать воздушная каверна [22]), образующие естественную подложку, по которой движется основной поток. В результате относительно основного потока донное препятствие становится удобообтекаемым, чем и объясняется возможность его теоретического описания в рамках предположения о сохранении полной энергии потока над скачком уровня дна.
В настоящей статье, являющейся продолжением работ [16—18], в рамках первого приближения теории мелкой воды изучается разрешимость задачи о течениях, возникающих при набегании прерывной волны на уступ дна. Если с разрыва, возникающего над уступом, уходят две характеристики, то решения строятся в предположении, что на таком разрыве сохраняется полная энергия набегающего потока. Если с разрыва над уступом уходит одна характеристика, то в рамках уравнений мелкой воды полная энергия потока на нем теряется, что является критерием его устойчивости [4, 16].
1. Постановка задачи. Дифференциальные уравнения первого приближения теории мелкой воды [1—4] в случае прямоугольного русла постоянной ширины и переменной глубины без учета влияния трения имеют вид
где к(х, ?), д(х, ?), и = д/к, z = Ь + к — глубина, расход, скорость и уровень жидкости; Ь(х) — уровень дна; g — ускорение свободного падения. Уравнения (1.1), (1.2) — законы сохранения массы и полного импульса. В случае ровного дна, для которого Ь(х) — не-
^ + дх = 0,
(1.1)
1 + ( Я и)х + ghzx = 0
(1.2)
z
А
и1 > 0
h, h2 Uo = 0
/ / / / / 8 ' / / Zo = ho
V /
/
Фиг. 1. Профиль начальной прерывной волны, набегающей на уступ дна
х
прерывная функция, из этих законов сохранения следуют условия Гюгонио на фронте прерывной волны [3, 4]:
D[ h ] = [ q ], D [ q ] = [ qu + gh2/2 ], (13)
[f] = fi -/0, / = f(x(t) + 0, t), / = f(x(t) - 0, t) .
где D = xt — скорость распространения волны, f] — скачок функции f на ее линии фронта x = x(t).
Рассмотрим для системы (1.1), (1.2) задачу о распаде начального разрыва
Г zx, x < 0 Г u , x < 0
z(x, 0) = i , zi > Zo, u(x, 0) = i 1 , u > 0 (1.4)
[Z0, x > 0 [0, x > 0
над скачком уровня дна
, ^ ч |S, x < 0 , 0
b(x) = i ' , Z0 = h0 > 5 > 0 (1.5)
[0, x > 0
где параметры потока h1 = Zi — 8, u1 слева от разрыва (1.5) удовлетворяют условию
ui = (hi) = us(hi, h2) (1.6)
и = и,(Н, Нг) = (Н - Н2) Р(+У, Н > Н2 = Н„ - 5 (1.7)
^ 2НН2
Уравнение (1.7) — ударная з-адиабата, получаемая из условий Гюгонио (1.3). Она связывает параметры потока к2 = к0 — 8, и2 = 0 перед фронтом прерывной волны с их возможными значениями к, и за ее фронтом.
Поскольку > z0, и > 0, то д(0, ?) > 0 при ? > 0, и разрыв (1.5) с учетом терминологии, принятой в [21], представляет собой уступ дна, с которого стекает вода. Таким образом, с учетом (1.6), (1.7) автомодельные решения задачи (1.1)—(1.5) описывают тече-
ния, возникающие после прохождения прерывной волны над уступом дна (фиг. 1). Скорость распространения начальной прерывной волны вычисляется по формуле
В = Вh2) =
Решение задачи (1.4)—(1.7) при х < 0 будем называть течением слева от уступа, а при х > 0 — течением справа от уступа. Значение точного решения на разрыве (1.5) при х = 0 — 0 будет называться течением на уступе, а при х = 0 + 0 — течением за уступом.
Поскольку уравнения мелкой воды (1.1), (1.2) представляют собой простейший пример сильно нелинейной гиперболической системы законов сохранения [23], эквивалентной системе уравнений изоэнтропической газовой динамики [12] с показателем адиабаты у = 2, то следуя [13], решение для этих уравнений обобщенной задачи о распаде разрыва (1.4)—(1.7) ищется в виде комбинации простых волн, стационарного скачка, расположенного в начале координат над уступом дна, и соединяющих их зон постоянного течения. При этом применяется обобщенный метод адиабат, который впервые был использован в работе [14] при решении задачи о распаде газодинамического разрыва в канале со скачком площади сечения. В результате применения этого метода выделены пять качественно различных типов устойчивых автомодельных решений задачи (1.4)—(1.7): в трех из них полная энергия потока на уступе дна сохраняется, и в двух из них она на уступе дна теряется. На плоскости безразмерных определяющих параметров 8* = 8/к0 и h* = к:/к0 построены области существования этих решений. Выделены подобласти, в которых одновременно реализуются два различных автомодельных решения.
2. Соотношения на стоячем скачке над уступом дна. Для построения автомодельных решений обобщенной задачи о распаде разрыва (1.1)—(1.7) необходимо задать соотношения, которым удовлетворяют параметры потока на разрыве (стоячем скачке), возникающем над уступом дна (1.5). Из анализа эволюционной устойчивости таких разрывов [3], [17] следует, что в рамках рассматриваемой задачи возможны лишь две ситуации, когда с разрыва над уступом уходят две характеристики и когда с этого разрыва уходит одна характеристика системы (1.1), (1.2).
Предположим сначала, что с разрыва над уступом уходят две характеристик
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.