ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2004, том 96, № 5, с. 783-789
ТРЕТИЙ СЕМИНАР ПАМЯТИ Д.Н. клышко
УДК 535.14
ТЕХНИКА КВАНТОВОЙ ПАМЯТИ НА ОСНОВЕ ФОТОННОГО ЭХА В ГАЗАХ
© 2004 г. С. А. Моисеев, М. И. Носков
Казанский физико-технический институт, 420029 Казань, Россия E-mail: moiseev@kfti.knc.ru, noskov@kfti.knc.ru Поступила в Редакцию 17.07.2003 г.
Теоретически исследована техника квантовой памяти, основанная на использовании фотонного эха в газах с учетом трехмерных особенностей в распространении световых полей и движении атомов в газе. Получены аналитические решения, которые описывают влияние движения атомов и эффектов дифракции световых полей на свойства восстанавливаемого квантового состояния света. Проведена оценка оптимальных параметров световых полей для реализации квантовой памяти, основанной на фотонном эхе в газовых средах.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время интерес к когерентным взаимодействиям света с резонансными системами в значительной степени связан с решением проблем квантовой оптики. В ряду подобных проблем заметное внимание уделяется исследованию надежной квантовой памяти для однофотонных полей, реализация которой открыла бы перспективы в создании новых методов манипуляции квантовыми состояними света, более чувствительных методов оптической спектроскопии атомов и молекул, а также разработки необходимых оптических средств квантовых коммуникаций. Существует два проекта в реализации квантовой памяти, которые могут работать с достаточно произвольными состояниями света. Первый проект основан на записи состояния "медленного" света в среде в режиме управления эффектом электромагнитно-индуцированной прозрачности [1-7], а второй использует модифицированный обращенный вариант светового эха (ниже называемый однофотонным эхо) в оптически толстой среде [8-11].
В настоящей работе мы развиваем теоретический подход к описанию квантовой памяти на основе фотонного эха в газах, который учитывает трехмерные особенности распространения световых полей и движение атомов в пространстве. Нами получены более общие аналитические соотношения, описывающие пространственные и временные параметры восстановленного светового поля, использование которых позволяет установить влияние разбегания атомов из области пространства, где поглощалось исходное поле, и эффектов дифракции световых полей на качество и точность восстановления записанного квантового состояния фотонов. На основе полученных ре-
зультатов в заключении работы приводится оценка пространственных и временных параметров световых полей, оптимальных для реализации квантовой памяти в газовых средах.
ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Рассмотрим газ из N трехуровневых атомов в трубке длины Ь и радиусом поперечного сечения Я. Положим, что каждый ,-й атом первоначально находится в основном состоянии |1), и движется по классической траектории г, (г) = г, (0) + у-'г, где -скорость ,-го атома. Таким образом, основное состояние ансамбля атомов зададим в виде
|А(г)) = П=11Ф( г ));■, где 1ф(г)) = 51/2(г, - г, (г Щ,
функция 5(г, - г, (г)) классическим образом описывает движение ,-го атома в пространстве. Ниже мы будем пренебрегать столкновениями атомов в газе, рассматривая достаточно короткие времена эволюции изучаемой системы.
Пусть в момент времени г = 0 в среду влетает фотон, частота которого юрЬ настроена на резонанс с центральной частотой ю31 атомного перехода |1) -—- |3), уширенного вследствие эффекта Допплера на величину Д„. До попадания фотона в газовую трубку состояние фотона и атомов зададим в виде
|¥/ (г = -~)> = | (к; —) а+ |0)|А (г)), (1)
где используется представление взаимодействия, |0) - вакуумное состояние поля, функция /(к; выбирается с максимумом при к = к0ег, к0 = юрЬ/с,
к; -тс)|2 = 1 (ег - единичный вектор, направленный вдоль оси газовой трубки).
Sfflp
Фотон
Ю
ph
Лазерные импульсы
п (ki)
Поглощение Сохранение
e2(k2)
т
Неоднородно . уширенная линия
А„
Эхофотон raph
'echo
Восстановление
Рис. 1. Энергетическая схема уровней и временная последовательность квантовых переходов в технике квантовой памяти.
т
0
t
t
t
2
Будем полагать, что спектральная ширина 5юрЬ функции /(к; -го) фотона много меньше ширины линии Ап и среда является оптически плотной (аЬ > 1, где а - коэффициент резонансного поглощения) на частоте фотона, который с достоверностью поглощается атомами газа. Примем, что в атоме существуют два разрешенных ди-польных перехода: |1) -—- |3) и |2) -—► |3), где уровень |2) является метастабильным и близок по энергии к основному уровню |1) (рис. 1). В изучаемой технике квантовой памяти после поглощения фотона на среду подаются один за другим два лазерных импульса. Первый импульс, действуя спустя время t1 после влета фотона, переводит созданное фотоном возбуждение с уровня |3) на уровень |2), где оно хранится до действия второго лазерного импульса. Второй, считывающий импульс, действуя с задержкой г2 > t1, возвращает возбуждение на уровень |3), изменяя фазы возбужденных состояний атомов таким образом, что при последующей эволюции в среде восстанавливается атомная когерентность, которая вызывает появление сигнала эха с излучением фотона в направлении, обратном к направлению распространения падающего в среду фотона (рис. 2), с вероятностью, близкой к единице. Данный процесс будем изучать с помощью следующего гамильтониана [9]:
N
H = Ha + Hf + Vaf + V1 + V 2,
NN
Ha = ¿«SI X P33 + й®21 X Pj2, j=1 j=1
Hf = J dk h«ka+ak,
(2)
(3)
V
af
= hg J dk X{ akPSiexp (ikfj) + э.с.}, (4)
j=1 N
Vm( t) = -2 h XQm [( t - tm - nmTjl С ) ITm ]X
j = 1
X { РЗ2 exp [- i(fflmt - kmTj) + i'9m] + Э.С.},
(5)
где g - константа взаимодействия световых мод квантового поля с атомом на переходе 11)—13), ) = йЕт($ /Тт)/й, Тт, £m(t) - частота Раби, длительность и амплитуда электрического поля т-го лазерного импульса (т = 1, 2); й = й32 = й23 - ди-
польные моменты перехода |2)-|3), Р^ =
В соответствии с гамильтонианом (2)-(5) и начальными условиями (1) общее решение уравнения Шредингера для волновой функции атомов и поля имеет вид
|¥( t)) = |^т (t)) + (t )) , (6)
(7)
i¥m (t )> = j^m2)( t )>+ivrn3)( t )>,
|Tf(t)> = Jdkf (k; t)a+|0>|A(t)>,
N
ivm2)( t )> = X^ j (t) PJj1 |0>|A (t )>,
j=1 N
m (t )> = x bj (t) РЗ110>| a (t )>,
j=1
ТЕХНИКА КВАНТОВОЙ ПАМЯТИ
785
Лазерные импульсы
Эхофотон
Рис. 2. Пространственно-временная схема техники квантовой памяти.
- / (к; г) = -г'Юк/к (г) -
где величины /(к; г), Ь,(г), (г) удовлетворяют си стеме уравнений
д
Э-
N (9)
-гX 2 (к) Ь} (г) ехр {-гкг, (г)},
■ = 1
|-Ь} (г) = -г ю31Ь} (г) - г'^! йк/ (к; г) ехр {гкг, (г)} +
+ г(1/2)%■■(г){«![(г - г1 - «г,(г)/с)/т 1 ] х
х ехр [- г(ю1г - к1 г}(г)) + г'ф1 ] + (10) + 02 [(г - г2- «2Г}( г)/с)/т2]х х ехр [- г'(Ш2г - к2Г,(г)) + гф2] },
|г%}(г) = - гД%(г), + г'( 1/2)Ь,(г)х
х {01 [(г - г 1 - п1г}(г)/с)/т 1 ] х
х ехр [ г (ю1 г - к 1 г} (г)) - г ф1 ] +
+ 02 [(г - г2- «2г,(г)/с)/т2]х
х ехр [+г(ю2г - к2г,(г)) - гф2]}.
Отметим, что при соответствующем выборе параметров лазерных полей уравнения (9)-(11) описывают процессы квантовой памяти как в технике фотонного эха, так и в технике электромагнитно-индуцированной прозрачности. Поскольку
(11)
нахождение общего решения уравнений (9)-(11) затруднительно, ниже мы будем решать их поэтапно, соответственно различным стадиям эволюции среды и поля, естественным образом возникающих в технике фотонного эха благодаря наличию процессов дефазировки и фазировки атомных диполей.
ЗАПИСЬ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ КВАНТОВОГО СОСТОЯНИЯ ФОТОНА
На первом этапе эволюции падающий фотон поглощается в газе, что описывается уравнениями
Э
дг
/ (к; г) = -гЮк/(к; г) -
X Ь1 (г) ехр {-1кг, (г)},
(12)
д-Ь/г) = - г ю31 Ь/г)- г^! йк/ (к; г) ехр {гкг, (г)}, (13)
которые следуют из (9)-(11) на временах до действия первого лазерного импульса.
Перейдем от модового к пространственно-временному способу описания, используя функцию F(г, г):
! йк/ (к; г) ехр (гкг) = = (2п)2г, г)ехр{-гк0(сг - г)},
N
где начальные параметры Е(^ г) задаются на передней грани среды (г = 0)
F(t, r)|г = 0 = x(r±)Fо(t, 0).
(15)
Здесь функции %(г±) и Е0(^ 0) определяют поперечную структуру и временную огибающую влетающего поля и связаны с волновой функцией /(к; -го) следующим образом:
2 п(ш ph + Q)
■ х
(16)
с27 [(ЮрЬ + О)/с ]2- к! х/(к±; 7[(®рь + О)/с]2- к!; -го) =
= ЕЕ(0; к±; О) = X(к!)Ео(О, 0), где Ео (О, 0) = |гого ЛЕ0 (t, 0)ехр{гО}, X (к±) =
= |го йг±х (г±)ехр{-гк±г±} - фурье-образы функций х(г±) и Е0(^ 0). Будем полагать, что фотон распространяется вдоль направления, близкого к оси
г, так, что для мод функции /(к; -го) фотона спра-
2
ведливо разложение юк = с(кг + к! /2к0).
Используя данное приближение и уравнения (12), (13), получим следующее уравнение для Е(и г):
(17)
где
cat + dz i2k0JF(^ Г)
= exp{iko(ct-z)}P(t, z, r±),
P(t, z, r±) =
(18)
= -(2^/с)£ Ь}(t)8(г - (t))8(г± - г{(t)).
) = 1
Отметим, что (17) описывает поведение поля, слабо меняющегося в поперечной плоскости (х, у). В случае многофотонных полей уравнения, подобные (17), удобнее записывать для операторов поля, как это делается при изучении пространственных свойств сжатых состояний света (см., например, [12]). Решение для Е(^ г) выражается через суммирование по атомам, которое для произвольной функции внутренних атомных параметров М(у;, t, г) в случае макроскопического числа атомов зададим следующим образом:
X M( vj t, r0) = «oJJJdxdydz х
j = i
(19)
х I I I dvxdvydvzG( v/vn)M(v, t, r),
где G(v/vn) - максвелловская функция распределения по скоростям vx, у, z атомов в газе, равномерно распределенных по объему V трубки, n0 = N/V, Ап = vnffl31/c. Отметим, что переход к интегрированию в (19) определяет с высокой точностью значение суммы в случае макроскопически большого числа атомов N, что соответствует рассматриваемой задаче.
Учитывая граничные условия (15) и используя пространственное и временное преобразование Фурье для F(r, t) в (17), (12) и (13), находим решение для F(r, t) и bj (t) после пролета фотона
(t > 5tph - 5юр1!)
F (r; t) =
1
(2 n)3
3exP
-a| Q (z) dz
х
х
III dkxdkydQ F( 0; kL; Q) exp {-i (k^/2k0
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.