МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <5 • 2008
УДК 533.6.011:532.526.4+536.24
© 2008 г. А. И. ЛЕОНТЬЕВ, В. Г. ЛУЩИК, А. Е. ЯКУБЕНКО
ТЕМПЕРАТУРА ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННОЙ ПРОНИЦАЕМОЙ СТЕНКИ В ПОТОКЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
Для пограничного слоя на стенке в потоке сжимаемого газа получено численное решение уравнений движения и энергии с использованием дифференциальной модели турбулентности. Рассмотрены два способа определения температуры теплоизолированной проницаемой стенки. Для коэффициента восстановления температуры получена зависимость от параметра проницаемости, аппроксимирующая результаты расчетов, которая сравнивается с экспериментальными данными.
Ключевые слова: теплоизолированная проницаемая стенка, пограничный слой, сверхзвуковой поток, коэффициент восстановления температуры.
Задача о теплоизолированной непроницаемой стенке является классической в теории теплообмена и ей посвящена обширная литература (см., например, [1]). Интерес к
этой задаче обусловлен тем, что температура теплоизолированной стенки Т* используется в инженерных методиках расчета сжимаемого пограничного слоя при определении теплового потока в стенку [1] qw = а( Т* - Тк), где а - коэффициент теплоотдачи от газа к стенке, Тк - температура стенки.
Для определения температуры теплоизолированной стенки обычно используется коэффициент восстановления температуры на поверхности г
2
Т* = Тг 2С = Т, (,+ г^М2
Здесь Т1, м1, М - статическая температура, скорость и число Маха набегающего потока, ср - удельная теплоемкость при постоянном давлении, у - показатель адиабаты.
С использованием температуры торможения набегающего потока Т * коэффициент восстановления температуры можно представить в виде
Т = т* - Т
Т * - Т,
В общем случае коэффициент восстановления зависит от чисел Рейнольдса Яе, Маха М и Прандтля Рг. Многочисленные экспериментальные исследования, проведенные для воздуха (Рг = 0.7) [2], показали, что для развитого турбулентного режима течения (Яех = рм1х/п > 6 ■ 106) в сверхзвуковом потоке (М > 1) величина г очень слабо зависит от чисел Яе и М и может быть принято г ~ 0.875-0.890. Для функции г(Рг) в литературе [1, 2] рекомендуется использовать зависимость вида г = Рг1/3, которая экспериментально подтверждена для воздуха в небольшой окрестности величины Рг = 0.7.
В случае проницаемой стенки коэффициент восстановления зависит от интенсивности вдува. На фиг. 1, заимствованной из [3], представлены экспериментальные дан-
Фиг. 1. Экспериментальная зависимость коэффициента восстановления температуры г от параметра проницаемости Ьм при вдуве воздуха в сверхзвуковой воздушный поток: 1 - [4], М = 3.2; 2 - [5], М = 2.5; 3 - [6], М = 2-3; 4 - [7], М = 3; 5 - [8], М = 2.7; линия - аппроксимационная зависимость (2.2)
ные [4-8], полученные при вдуве воздуха в сверхзвуковой воздушный поток для зависимости коэффициента восстановления от параметра проницаемости Ьм = ]°/$>М где
= (рг>)к/(ри)1 - относительная интенсивность вдува, 8М - число Стантона при тех же параметрах набегающего потока (числа Рейнольдса, Маха) и = 0.
Как видно из фиг. 1, разброс экспериментальных данных достаточно велик и при Ьм = 4 составляет ~ 30%, что, по-видимому, превосходит точность измерений. В литературе существует ряд аппроксимационных зависимостей г(Ьм), описывающих соответствующие экспериментальные данные. Расчетные зависимости, насколько известно авторам, получены только в [9] с использованием ряда моделей турбулентности, которые дают результаты, существенно отличающиеся друг от друга и от экспериментальных данных. Это не позволяет рекомендовать какую-либо из рассмотренных в [9] моделей для использования в расчетах.
Цель настоящей работы - получение расчетной зависимости г(Ьм) для теплоизолированной проницаемой стенки с использованием дифференциальной модели турбулентности [10-12].
1. Постановка задачи. Для расчета течения и теплообмена в сжимаемом турбулентном пограничном слое на проницаемой пластине была использована система уравнений неразрывности, движения и энергии.
Для определения величины турбулентного трения рт = -р(и'и'), входящей в уравнение движения, использована трехпараметрическая модель турбулентности [10], обобщенная на течения с теплообменом [11], в которой записаны уравнения переноса для напряжения сдвига т = -(и'и'), энергии турбулентности Е = 0.5 и'2) и параметра ю = Е/Ь2, имеющего физический смысл завихренности турбулентности и содержащего поперечный интегральный масштаб турбулентности Ь. Эта модель дополнена уравнением для турбулентного потока тепла qT = ср(иТ) [12], входящего в уравнение энергии.
Входящий в уравнение движения продольный градиент давления йр/йх в общем случае вычисляется по распределению числа Маха вдоль стенки. В рассматриваемом случае постоянства числа Маха йр/йх = 0.
Граничные условия на стенке и на внешней границе пограничного слоя для вдува инородного газа сформулированы в [13]. При вдуве однородного газа эти граничные условия примут вид
Ax1 a Ar = r 1 - xo W 1 /
x
tttttt ttt (P u), Tj
Фиг. 2. Расчетная схема
На стенке (у = 0): d E
U = 0 E = ду = Т = 0 jw = (PU)"
tn cp д T\
T = Tw, jwCP( Tw - Tj) = t РТдУ Jw = qw
(1.1)
Здесь jw - массовая скорость вдуваемого газа, qw - тепловой поток в стенку. Граничное условие дЕ/ду = 0 позволяет определить величину raw(x), которая заранее не известна.
На внешней границе пограничного слоя (у = 5(x))
u = u1(x), T = T1 (x), E = E1 (x), ю = ®!(x), т = 0 (1.2)
В (1.2) u1(x), T1(x) - функции, описывающие течение в набегающем потоке, а функции E1(x) и ra1(x) - вырождение турбулентности в этом течении. Величина 5(x) выбирается из условия гладкого сопряжения решения.
В начальном (x = 0) сечении профиль скорости u(y) определялся из автомодельного решения Блазиуса, профиль температуры T(y) принимался подобным профилю скорости, профили функций E(y), т(у), ю(у) задавались так, как это сделано в [13].
Температура стенки Tw определялась из граничного условия (1.1) в двух рассмотренных ниже случаях: при задании температуры вдуваемого газа Tj и при задании теплового потока в стенку qw = 0.
Расчеты проводились в следующей постановке (фиг. 2). Пластина обтекалась потоком воздуха с постоянной по длине сверхзвуковой скоростью ux при температуре
T1 = 100 К и давлении p1 ~ 104 Па. Параметры торможения T* , p* зависят от числа Маха набегающего потока M, которое является параметром задачи наряду с температурой вдуваемого газа Tj и числом Рейнольдса по длине, отсчитываемой от начала вдува ReAi = puiAx/n, при значениях теплофизических свойств, определенных по температуре и давлении в набегающем потоке.
Участок пластины длиной x0 полагался непроницаемым и теплоизолированным (qw = 0). Далее по потоку осуществлялся вдув воздуха, интенсивность которого j° линейно нарастала небольшой на длине Axj и далее оставалась постоянной по длине пластины.
В начальном сечении (x = 0) задавался пограничный слой, толщина потери импульса 00 в котором соответствовала числу Ree = pujBo/n ~ 10, с ламинарным (по Блазиусу)
профилем скорости u/щ и температурой (T - Tj)/(T* - Tx) = 1 - (u/u:)2. Интенсивность турбулентности набегающего потока на входе принималась равной e0 = JE0 /щ = 0.04.
У
0
Фиг. 3. К экспериментальному определению температуры теплоизолированной стенки по зависимости 6 = 100Т - Т;-)/Т* от Т /Т* : ЯеДх = 106; точки, линия 1 -/ = 0.002, 2 - 0.003, 3 - 0.004
Длина входного участка х0 (фиг. 2) в расчетах была выбрана так, что начало вдува находилось за областью перехода в пограничном слое от ламинарного режима течения к турбулентному.
Число Маха набегающего потока в расчетах было принято равным М = 3, что соответствует среднему значению величины М в экспериментах [4-8], результаты которых приведены на фиг. 1. При этом число Рейнольдса, с которого интенсивность вдува была постоянной по длине проницаемой пластины для М = 3, составляло КеДх = 2 ■ 104.
Теплофизические свойства воздуха в зависимости от температуры и давления задавались в табличном виде [14].
2. Результаты расчетов. Ниже представлены два способа определения температуры теплоизолированной проницаемой стенки: первый аналогичен экспериментальному способу, второй представляет собой решение задачи с граничным условием равенства нулю теплового потока в стенку.
В экспериментах по определению температуры теплоизолированной стенки Т* измеряется температура стенки Тк на некотором расстоянии по длине пористой пластины ЯеДх при заданном значении интенсивности вдува/ для ряда значений температуры вдуваемого газа Т/. Проведя измерения, можно построить зависимость от температуры вдуваемого газа Т/ величины (Тк - Т), пропорциональной, согласно (1.1), тепловому потоку в стенку qw. В точке пересечения зависимости Тк - Т / = /(Т/) с нулевой (Тк - Т / = 0) линией, где тепловой поток в стенку qw = 0 определяется температура теплоизолированной
стенки Т* = Т„ = Т/.
Сказанное выше иллюстрирует фиг. 3, где на длине, соответствующей величине ЯеДх = 106, для трех значений интенсивности вдува / приведены расчетные зависимости
Тк - Т/ = /(Т/), обезразмеренные по температуре торможения набегающего потока Т* .
В экспериментах число Рейнольдса ЯеДх, при котором проводятся измерения температуры стенки, как правило, невелико, что обусловлено ограниченностью размеров пористой пластины. Так, в [4] длина пористой пластины составляла =400 мм, что соответствовало значению ЯеДх = 107, которое было наибольшим по сравнению с достигнутыми в [5-8].
Численное исследование, в отличие от экспериментального, позволяет проводить расчеты и при больших числах Рейнольдса (ЯеДх > 107). В расчетах получено (фиг. 4), что температура стенки Тк при некоторых значениях температуры вдуваемого газа Т/
Фиг. 4. Расчетное изменение относительной температуры Ту)Т* пористой стенки по длине КеДх от начала вдува при = 0.003 для температуры вдуваемого газа: Т/ Т * = 0.807, 0.85, 0.9, 0.95, 1 (линии 1-5); расчет для теплоизолированной (^ = 0) пористой пластины при = 0.03 (6); линия 7 - (2.3)
Фиг. 5. Зависимость безразмерного теплового потока в стенку (а) и параметра проницаемости Ьм (б) по длине порис
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.