ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РАН Том 6, № 4, 2010, стр. 18-23
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 539.3
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ДИНАМИКЕ ПРЕДНАПРЯЖЕННОЙ ТЕРМОУПРУГОЙ СРЕДЫ
© 2010 г. Г.Ю. Суворова1, И.Е. Анджикович2, В.В. Калинчук1
В рамках линеаризованной теории распространения упругих волн рассматривается динамическая связанная задача о гармонических колебаниях преднапряженного термоупругого слоя под действием распределенной в некоторой области на поверхности среды осциллирующей нагрузки. Вне области приложения нагрузки поверхность слоя предполагается свободной от механических напряжений и теплоизолированной, нижняя грань слоя - жестко защемленной. Построена функция Грина термоупругой среды, исследованы особенности символов ядер интегральных операторов. На основе полученных формул проведено исследование температурных эффектов в динамике термоупругой среды.
Ключевые слова: динамика, термоупругость, начальные напряжения, связанные волны, предна-пряжения, функция Грина термоупругой среды.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В настоящее время количество публикаций по исследованиям процессов возбуждения механических колебаний за счет воздействия лазерного излучения существенно возросло. Достаточно полный обзор литературы приведен в [1, 2]. В большинстве работ для исследования используются различные инженерные подходы, приближенно учитывающие наличие начальных напряжений, предварительного нагрева и т. д. В настоящей работе в рамках линеаризованной теории распространения связанных термоупругих волн [3], следуя подходам, изложенным в [4-6], предложен эффективный метод исследования динамики предварительно напряженной термоупругой среды под действием тепловой нагрузки.
В рассмотрение вводится прямоугольная система координат Лагранжа х1, х2, х3, связанная с естественным состоянием среды. Рассматривается задача о колебаниях термоупругого слоя |х1|, |х2| < да, 0 < х3 < к под действием распределенной в области X на его поверхности механической нагрузки д(х1, х2, ^ = д'(х1, х2) либо тепловой нагрузки х(х1, х2, ^ = х'(х1, х2) в~'ш. Вне области X поверхность среды свободна от механических напряжений и теплоизолирована. На нижней грани слоя в механическом
плане выполняется условие жесткого защемления, в тепловом - либо условие теплоизоляции, либо поддерживается постоянная температура. Материал слоя представляет собой однородную, первоначально изотропную среду, начальные напряжения в слое и начальная температура - однородные. Предполагается, что колебания установившиеся и происходят по гармоническому закону.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Введем обозначения для температуры и4 = х и ориентированной по нормали к поверхности среды компоненты теплового потока q4 = и43 (запятой в нижнем индексе обозначена частная производная по соответствующей координате). Рассмотрим вспомогательную задачу, полагая, что в области X задана функция распределения теплового потока q4 = q4oe l~t. В общем случае краевая задача о колебаниях изотропного предварительно напряженного термоупругого слоя при условии теплоизоляции нижней грани (далее - задача А) описывается уравнениями движения
4 о ■ 0 = Ро^Ц-, (1)
d T
dtz duk,
1 Южный научный центр Российской академии наук, 344006, Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41; тел. (863) 250-98-10, e-mail: kalin@ssc-ras.ru, galias@yandex.ru.
2 НИИ механики и прикладной математики им. И.И. Ворови-ча Южного федерального университета; тел. (863) 250-98-10, e-mail: ocean_8@mail.ru.
Kiku 4, jk К » + 61 Qik » d t dt
с граничными условиями
К = ^ (2)
Iq ^ х ь x2 d О,
о g о (3)
О, Xi, Х2 g О;
\q 4
М4'3 = to,
i~t
q40 e , xb x2
e X, xb x2 gg X;
(4)
' ijkl
\ (............ # ,-(61-е o)e„|+
-ijkl'
Cijklmmrm I^j^k,
_ m 2 _ i.
/ vw J. «
(9)
колебаний, F? =
C44 t
скорость сдвиговой вол-
х3 = 0: и1 = м2 = и3 = 0; (5)
<?4 = 0. (6)
В случае, когда на нижней грани слоя поддерживается постоянная температура (далее задача Б), вместо условия (5), (6) необходимо использовать условие
х3 = 0: и1 = и2 = и3 = и4 = 0. (7)
Здесь
0у = 4к/ик, I - б* и4 (8)
суть компоненты линеаризованного тензора Пиолы [3]. Участвующие в представлении (8) коэффициенты определяются выражениями
ны. Поскольку рассматривается установившийся режим колебаний, все участвующие в задаче функции представляются в виде/=/'в~гШ. Далее экспоненты и штрихи опускаем.
РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ
Введем в рассмотрение расширенные векторы перемещений и = (и1, и2, и3, и4) и напряжений Ч = (Ч1, Ч2, Ч3, Ч4). Методами операционного исчисления (а1 и а2 - параметры преобразования Фурье по осям х1 и х2 соответственно) уравнения (1) и (2) приведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, общее решение которой после удовлетворения преобразованным по Фурье граничным условиям (3)-(6), представляется в виде
Q'j = mjQj. (io)
В формулах (1)_(10) Cykl _ компоненты тензора упругих постоянных, р0 _ плотность материала в естественном состоянии, к _ теплоемкость при постоянной деформации, с _ удельная теплоемкость, 60 и 61 _ температура тела соответственно в неде-формированном и начальном деформированном состоянии, Kik _ компоненты тензора коэффициентов удельной теплопроводности, Qij _ компоненты тензора коэффициентов термоупругости, Ak = 1 + 8k, где dk (k = 1, 2, 3) _ относительные удлинения волокон, направленных вдоль координатных осей xk, совпадающих в естественной конфигурации с декартовыми координатами системы координат Лагран-жа. Далее рассматривается линейный закон теплопроводности Фурье, когда K = const.
Задачу замыкает условие на направление теплового потока через поверхность слоя:
q4 < 0. (11)
Далее для упругих констант используется система обозначений Фойгта, в соответствии с которой пары в четырехмерных индексах сворачиваются по правилу
11 ^ 1, 22 ^ 2, 33 ^ 3, 23 ^ 4,
13 ^ 5, 12 ^ 6. (12)
Для дальнейшего изложения используются безразмерные параметры: линейные величины отнесены к толщине слоя h, напряжения _ к модулю сдвига материала слоя с44, к2 =- _ частота
Vs
u(x 1, x2, Х3) = —^ (Гk(x 1 _ p, x2 _ h, x3, K2) X
X
X q(p, h)dp dh;
k(s, t, x3, K2) = J jK(ab a2, x3, K2) X
Г1 r2
X e-i(a1s+a2t) d a1 d a2;
(13)
(14)
К(аъ а2, хз, к2) Ктп \Ц п=1 - матрица-функция размера 4 х 4, элементы которой являются громоздкими функциями, имеют сложную структуру и здесь не приводятся.
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИИ ТЕРМОУПРУГОГО СЛОЯ
Далее рассмотрим частный случай - плоскую задачу о колебаниях слоя под действием нагрузки, распределенной на поверхности среды. Полагаем, что область задания нагрузки имеет вид X = {|х1| < 1, |х2| < з}, перемещения точек слоя и напряжения вдоль оси х2 отсутствуют, т. е. и2 / 0 и q2 = 0. Все остальные параметры задачи удовлетворяют условиям
/=Лхх,хз), 0. (15)
Решение краевой задачи А представляется в виде (а - параметр преобразования Фурье по оси х1) 1
и(х1, хз) = У к(х 1 - Р, Хз, к2) Ч(р)dp, (16) -1
к(у, х3, к2) = УК(а, х3, к2)е~lasda. (17)
Г
20
Г.Ю. СУВОРОВА и др.
Векторы перемещений и напряжений в двумерном случае имеют представления соответственно Ц = («1, Мз, и4) и д = ^1, qз, q4); К(а1, хз, К2) = = ЦКтпИт.п = 1>3>4 - матрица-функция размера 3 х 3 с элементами
К п=-2а2 А-1
К13 = -2/аАо1
К14 = -/аА-1
К 31 =-2/аА01
К 33 = 2Ао1
К34 = А01
К41 = -21аА01
К43 = 2А01
К44 = А01
/ кМ 1к + N1
к =1
2
/V кЖ ¿к + N 2
к =1
2
/бкЖ 3к+N 33
к =1
2
/ж 1к + N1
к =1
I
/ж
к =1
2
/Ж 2к + — N 33 2
/V кЖ 1к + N
к =1
/^ 3к + N 23
к =1
2
/^ 3к + N
1к + — N 23
^3
(18)
к =1
Здесь
ЖПк = /и ( Апк сЬ°кх3+ Ап, к+3эЬ0 ЗДХ
N Пк = /2к (V2 Апк 8Ь0 V кх 3+ А
п, к+3
сЬа кх 3),
^к = /3к(Апкск°кх3 + Ап, к+3 0адХ
А0 = det Ь, Ак - алгебраическое дополнение элемента матрицы Ь с номером /к,
/„эИ0а1 к /12^Ь0а2к /13а3эЬ°а3к /21сИ а1 к / 22сИ а2 к /23сЬ а3 к /31V1 эЬ0V1 к 0 /33 эЬ0V к
Ун /12 °2 У13
0 0 0 0 0 0
Ь =
/ 11сИ V к / 12сИ а2 к / 13сИ а3 к
/211эЬ0а1 к /22эЬ0а2к /23эЬ0а3к
/31сИ V к 0 /33сИ а3 к
0 0 0
1 1 1
131 0 133
Участвующие в представлении матрицы (17) коэффициенты имеют вид
А 1т
/1
1т
Г 2
/4т =-I а
(% А
^т^12т А1т
А
■ - в„
У3т =1, т = 1,2,
о \ КТ
2т
\КтУ5 (а2- а2т) + К 2
/13 = , /33= ^А1, /43 = 1, (20)
А33 А33
А 1т = с44 а + °т (с 13+ с44 - с33) - К2,
А2т = а2(с 11 - с 13 - с44) - с44- К А33 = А13(с44- спа2 + рм2) + V2А23(с13+с44),
112 = 62 113 = '
/11 = ' "°2 ' - Т
/21='
2с
44
- а2 с 12+ с 11^1 -■
с 11(°3- ° 12)
К2 2 2 ЛТ — (а2- V2)
1( а22-° 2)+УТК
/ 22 = а2 V
22 2,
123
Т -а2 с 12 + с11 °12
2с44 с11(°3- ° 12)
/ 31='
К2 2 2 Л —( а - ° 1)
У 5
133 = °
/(а2 - с!) + -
К2
3
У8Кт
Функции бк удовлетворяют характеристическому уравнению
с44°2- с 11 °12 (с 12+ с44) ° -Ь3
-а2(с 12 + с44) V с 11V2- V*2 -З3 V
det
-а м-
•/2 2\ , ~ /(а2- ^2) +-
КТ
0,
(21)
_*2___2 с44К2 *2 _ „2 ..2 п2 _ п,2 К2
= а - к2, 6 = а - ■
где V = а - ■
3
с11 2 ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РАН Том 6 № 4 2010
Решение задачи Б определяется формулами (16)— (18) с той разницей, что последняя строка матрицы Ь (19), определяющей функции Д0 и Дк имеет вид
I f41 0 1 0 0 0
(22)
Формулы (16)-(22) позволяют производить анализ влияния начальных напряжений, температуры, различных механических и тепловых условий на динамические характеристики движения слоя в широком диапазоне изменения параметров задачи. Особый интерес представляет движение слоя в случае, когда источником колебаний является осциллирующая тепловая нагрузка.
ДВИЖЕНИЕ ТЕРМОУПРУГОГО СЛОЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ТЕПЛОВОЙ НАГРУЗКИ
Будем полагать, что поверхность слоя полностью свободна от механических напряжений. Его движение осуществляется под действием распределенной в области X = {|х1 < 1, |х2| < да} тепловой нагрузки. В этом случае движение слоя описывается формулами
ит(х 1) = ^ \КтА(а)б4(а)е—'ах' dа, т = 1,3,4;
—3
(23)
31
б4(а)= \ д4(х 1)е'ах1 dx 1= \д4о(х 1)е!'ах' dx 1, (24)
К14 —
-га
Д0
К34 — Д п1
k —1
1
+--f23(а3 Д33sh а3х3+ Д36chа3 х3)
V3
К44 — Дц1
k —1
\akf1k (Дпк ch а kX 3+ Д
n, k+3
sh0 а kX 3) +
k —1
+f13^ch а3 х 3+ Дз6sh0 а3 х 3) ],
2
/ f2k (а2 Д 3k sh0 а kX 3 + Д 3 , k+3 ^kX 3) +
, (25)
/а^ [Дзk chа kX 3 + Д3, k
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.