ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2008, том 42, № 5, с. 570-578
УДК 532.522
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ ПРИ КИСЛОТНОЙ ОБРАБОТКЕ НЕФТЯНЫХ ПЛАСТОВ
© 2008 г. А. И. Филиппов, П. Н. Михайлов, Н. В. Пестова, А. Г. Крупинов
Стерлитамакский филиал АН Республики Башкортостан
deodjen@mail.ru Поступила в редакцию 20.07.2005 г., после доработки 29.10.2007 г.
Задача о температурных процессах при кислотном воздействии представлена в виде последовательности краевых задач для коэффициентов разложения искомого решения в асимптотический ряд. Произведено "расцепление" соответствующей цепочки уравнений, и на этой основе осуществлена постановка задач для нулевого и первого коэффициентов разложения. Найдено и физически обосновано дополнительное интегральное условие для первого коэффициента разложения, заключающееся в том, что его среднее значение на оси z в интервале пласта равно нулю.
В природных условиях часто скелет пористых нефтегазовых пластов состоит из известняковых пород. Процесс кислотной обработки представляет собой разъедание скелета химическим реагентом, в качестве которого используется соляная кислота, вступающая в реакцию с известняком. В результате частичного разъедания пласта увеличивается его пористость и, как следствие, нефтеотдача. Регистрация температурных изменений, обусловленных тепловыделениями в результате этой реакции, позволяет судить об эффективности кислотной обработки.
С исследованием температурных полей в нефтегазовых пластах связано большое число работ научных школ Башкирского, Казанского, Латвийского государственных университетов, научно-исследовательских и проектных институтов нефтегазовой промышленности [1, 2], а также зарубежных исследователей. В подавляющем большинстве этих работ в основу исследований положена "схема сосредоточенной емкости", которая предполагает, что поле температуры в интервале пласта не зависит от вертикальной координаты [3, 4].
В цилиндрической системе координат г, ф, г, где среда представлена двумя полубесконечными областями с плоскими границами раздела, перпендикулярными оси г (г = ± Н, где Н - полутолщина нефтеносного пласта), первая и вторая области непроницаемы, средняя область толщины 2Н, расположенная горизонтально, является пористой, и в нее закачивается кислота. Рассмотрен случай радиального движения кислоты в средней области -Н < г < Н от скважины к удаленным точкам пласта. В процессе закачки кислоты в пласт находящаяся в нем нефть оттесняется в удаленные участки и образуется зона, в которой кислота взаимодействует с карбонатосодержащим скелетом пористой среды. При описании температур-
ной задачи приняты следующие допущения: температуры нефти, кислоты и скелета пористой среды в каждой точке совпадают, отлична от нуля только радиальная координата скорости конвективного переноса тепла, т.е. ыгй Ф 0, ыфй = 0, ыгй = 0. Случай мгновенной закачки, когда ыгй = 0, рассмотрен в [5].
Математическая постановка задачи для первой и второй областей представляется уравнением теплопроводности, а для средней области - уравнениями баротермического эффекта [6] с учетом тепловыделений за счет химической реакции:
di
1 д f _ Т,
_ td
ar1 r d_rd{Td д
di
+ a
д2 T
d1
d d d
г, > 0, td > 0,
z1 2 д Zd
дТ
_t,
d2 _ 1 д f _Td2 " ar2 г- дг Ird Э7~ ' +a
д2 Г,
d2
d d d
rd > 0, td > 0,
z2 2 д Zd
3Td д td
+ Udef(rd, td)
д T d
д Pd
Zd > h,
Zd < - h,
д Рл
(1)
(2)
+ £def д f ^ - ^defn _о +
д td
+ qd - ar 3rd I'd _rd Г -2 '
д2 T d
1 д f дТ
rd I + « . rd_ rdV _rd/ д z,
d
|Zdl < h, rd > 0, td > 0, где П = ^ ms¡ pcC, qd = Lqi/cn.
(3)
На границах раздела заданы условия равенства температур и тепловых потоков:
'Zd - h
- T.
d1
Zd - h
_Г>
д Zd
Zd- h
л д Td1
- z ^
, (4)
Zd - h
d
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ ПРИ КИСЛОТНОИ ОБРАБОТКЕ НЕФТЯНЫХ ПЛАСТОВ Э Т,
'га = -Л
= Т
а2
= X
га = -Л
дТ й2
,=-а
•г2'
дга
(5)
га =
Температурные возмущения в начальный момент времени отсутствуют:
ил = 0
= Тл
ил = 0
= Т,
а2
и = 0
= 0.
(6)
где х = схрх/(ср), г = га/Л, г = Тх = Тхй/Той, ые{ =
= мехаЛ/агх, г = га/Л, Р = Ра/Р0а, £ег = £егаР0а/Т0а, Лег = = П^аРм/Тм- В качестве Т0а можно использовать максимальное повышение температуры-
Искомые решения задачи представляются в виде асимптотических формул
Т = Т(0) + £ Т(1) + е2Т(2) + ... + е", Т, = т(0) + £т( 1)1 + £2т(2) +... + е", г =1,2,
(16)
Граничные условия представлены в следующем где нижние индексы относятся к номеру области, а виде:
=0
= Та (га), Иш ТА ч = 0,
НшТ а,| = 0.
а,|га+га
(7)
дТ 1 аг 1 д (гЭТ^ д2Т = 0
дг аг1гдгV дг у дг2 г > 1, г > 0, г > 0,
(8)
верхние соответствуют порядковому номеру коэффициента разложения. Подставив (16) в (8)-(15) и сгруппировав слагаемые одинакового порядка по £, получим
Решение предполагается ограниченным во всех точках га > 0- Нижние индексы 1 и 2 относятся к параметрам первой и второй среды, соответственно. Величины 9а, иаег(г, г) определяются из гидродинамической задачи [5].
В безразмерных координатах, обозначив Л = = Хг1/Хг и заменив Л на £Л, в предположении осевой симметрии запишем более общую параметризованную задачу
(д Т (0) аг1 д( г дТ Г Л д2 Т}'
дг аг 1 гдг\ д г
•Л0)
2-, (0)Л
дг
2
+
(дТ (1) аг1 д( г д Т11 Л д2Т 1
+ £Л
22 + £ Л
V
2)
д г аг1гд г\ д г
„(1)
/
2-, (1)Л
V
д г аг1гд г\ д
д Т12> аг1 д ( д т(2)Л д2 Т1
г
дг
2 (2)
2
+ (17)
/
дг2
+ ... = 0,
(д т 20)
аг2 д ( дТ2 Л аг2д Т2
дг аг 1 гдг\ дг у аг 1 дг
д Т2 аг2_Э_ (г д Т 2^ - аг2 д_Т2 = 0
дг аг1 гдг^ дг ) аг1 дг г < -1, г > 0, г > 0, дТ ( .(дТ дРЛ ^дР
- (г дТЛ + _X_д_Т
аг1 дгV дг) £Лдг2' |г| < 1, г > 0, г > 0,
дТ 1
1г = 1 1 'г = ^ дг
г = 1
дТ
дг
г=1
г = -1
= Т
г = -1
, £Л
Т2
г
Хг1 дТ
Хг2 дг
Т п = Т|
'г = 0 Чг = 0
г = -1
= 0, г = 1, 2,
(9)
(10)
г= -1
(11)
(12)
(13)
+ £Л
(д Т(1)
2 аг2 д ( дТ 2 Л а^д Т 2
дг аг1гдг\ дг у аг1 дг
+ (18)
22 + £ Л
(зт(2) „ Л/ ^т(2\ Г, ^т^Л дТ2 аг2 д ( дТ2 Л аг2д Т2 г
V
- х-
г2
д г аг1гд К д г
д Т(0)
а
г1 дг
2
+ ... =0,
/
+ £Л
д г
+ М г, г)
дТ
(0)
_ дР
д г + £ег д г
д Р
- ПегП-т- + 9 -
аг д ( д Т(
еГ "дг ' ^ аг1гдгV' дг
г( 0)
V (1)-
-х
д2 Т
д г2
22 + £ Л
■дТ( 1) . чдТ(аг д ( дТ( 1) + М г, г )-.----—I г
(19)
д г
аг1г д;
2 (2)
-х
д2Т
д г2 -I
+ ... =0,
НшТ,|
= 0, 11шТ|г ^ = 0, (14) ( Т(0)|г =1-ТТ|г =1) + £Л( Т1' |г = 1- т;> |г = 1) +
<0)1
г( 1)1
г( 1)1
Т1г = 0 = Т( г),
(15)
+ £2 Л2( Т( 2) |г = 1- Т <2)| ) + ... = 0,
а
Л
а
г
+
(Т
(0)1
h = -1
7^(0)1
- 1 2 I
2 . 2,
+ £ Л( 1
<z
г(2)
= -1) + еЛ( Т
(1)1
iz = -1
^(1)1 - 1 2
' z = -1
т(2)| - 1 2
д T(
< 0)
dz
+ £Л
z=1
дТ
(1)
д z
= 1) +...=0
дТ 10)
=-1)+ (21)
z=1
д z
z = 1
22 + £ Л
( дТ(2) д Т 11) \
V z= 1 - д z z = J
+
= 0,
(22)
рая была ранее применена в [7]. Уравнение, содержащее коэффициенты разложения только нулевого порядка, имеет вид
дТ(0) ( УдТ(0) "д-- + Мг, t)|
д Р
+ ^¡дТ ' -
_дР -г „ ,
+ f3- + q - — -Г--1 г
Яг д г дТ
д t
дТ 10)
az 1гдг\ дг
<0)
дz
+-
^z2 д Т 20)
z=1
Xz1 дz
z = -1
(27)
Xz1 дТ
<0)
Xz2 дz
+ £Л
22 + £ Л
z = -1 Л
X 1 д Т Т
(1)
X 2 дz
дТ
'(0)
Xz1 д Т
<2)
Xz2 д z
д Т!
z = -1
(1)
дz
z = -1
+
(23)
z= -1
дz
z = -1
+ ... =0,
(Т(0) + £Т(1) + £2Т(2) + ... ) |г = 0 = Т(t),
lim Т
(j) I
= 0, НтТ 1
(j) I
= 0,
НтТ
(j )|
= 0, j = 0, 1, 2, ....
(24)
(25)
Формально полагая £ = 0, из (19) для нулевого
приближения имеем д2Т(0) / д z2 = 0. Отсюда следует, что производная от нулевого приближения по координате z не зависит от координаты z, т.е.
дТ(0) / д z = const. Так как для нулевого приближения из (22) и (23) следует, что (д Т 0) / дz) |z = 1 = 0 и
(д Т(0)/д z) |z = -1 = 0, то получим д Т(0)/д z = 0. Последнее означает, что Т0) не зависит от z и является функцией только от г и t, т.е. Т0) = Т(0)(г, t). Приравнивая к нулю выражение перед сомножителем первого порядка по £ в (19), получим
д2Т(1) . 1
д z2
+ -х
■дТ(0) ( /дТ(0)
-д" + Uef( г, t)
д Р
+ ' -
гд P
Яг д ( д Т
- f^ + q д:I г
az1 гд г^ дг
< 0)
(26)
Уравнение (26) является "зацепленным" в том смысле, что оно содержит коэффициенты разложения нулевого Т0) и первого порядков 7(1). Это затрудняет решение соответствующих задач. Разработана процедура расцепления подобных уравнений, кото-
В том случае, когда (аг1/г)д (гдТ1/дг)/дг /аг1 х
х д2Т 1 /дг2 < 1, т.е. аг1^/аг1Я2 1, где Я и 2 - характерные размеры зоны возмущений температуры в радиальном направлении и в направлении оси г, соответственно, можно пренебречь радиальной теплопроводностью для первой и второй областей. Так как в направлении оси г преобладает конвективный перенос тепла, а в направлении оси г -
кондуктивный, то для оценки имеем 2 ~ ^/а^, Я ~ ийгй. Подставляя ый ~ 10-4 м/с, а ~ 107 м2/с, гй ~ 105 с и учитывая, что аг1 ~ аг1, получим аг17?1ал#1 ~ "10-4 ! 1. Эта оценка показывает, что радиальной теплопроводностью можно пренебречь. Запишем окончательную постановку задачи для нулевого приближения, используя для этого условия равенства нулю первых слагаемых в (17)-(24) и уравнение (27):
дТ 10) д2Т 1 -------t----
2 (0)
дЦ ----д---t-----
д Z az2 д Т2
= 0, z > 1, г > 0, t > 0, (28)
2
az1 дг
дГ(0) ----д---t-----
= 0, z < 1, г > 0, t > 0, (29)
+ Uef( г)
д Т т
(0)
дТ 1
<0)
д z
дг
( 0)
Xz 2 д Т 2
Xz 1 д z
z = -1
(30)
тгдР м д P ,, .
= nefn-Э7 - Uef ( г)£efgT - q = /( ^ t) ,
|z| < 1, г > 0, t > 0,
п(0)|
0
= Т 0 (t),
(31)
Т1
(0)1
= Т
(0)|
2
= Т
(0)
г > 0, t > 0, (32)
z = 1 z= -1
г ^
г
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ ПРИ КИСЛОТНОЙ ОБРАБОТКЕ НЕФТЯНЫХ ПЛАСТОВ
573
(0)1 _ т(0)1 _ т(0) Т = 0 - Т 1 = о - Т 2
г -0
- 0,
(33)
ишг 1021
- 0, Нш Т
(0)1
- 0. (34)
Оценки и расчеты показывают, что произведение эффективной скорости конвективного переноса тепла на расстояние до оси скважины ые{г не зависит от радиуса г, так как изменение ые{г не превосходит 2%. Дополнительно будем считать, что скорость конвективного переноса тепла не зависит от времени и определяется выражением ме(- = ие^г) = = 5/2г, где 5 - величина, не зависящая от радиальной координаты и времени.
Решение задачи (28)-(34), полученное н
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.