ИЗВЕСТИЯ РАИ. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ, 2007, том 71, № 12, с. 1779-1790
УДК
ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕКСТУРНОГО АНАЛИЗА ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ
© 2007 г. В. П. Яшников
Институт физики твердого тела РАИ, Черноголовка E-mail: yashnik@issp.ac.ru
Развит единый теоретико-групповой подход к проблеме приведения ориентационного пространства кристаллографической текстуры. Введено понятие функции инвариантного внутреннего расстояния в групповом пространстве. Изучены левые и правые групповые трансляции, внутренние автоморфизмы, движения общего вида, а также инверсионные преобразования пространства SO(3). Показано, что разбиение Дирихле-Вороного, двойственное к собственной точечной группе кристаллографической решетки зерна исходной ориентации, является регулярным по отношению к группе движений (правых трансляций), порожденной элементами собственной точечной группы. Приведен инвариантный вывод приведенных (истинных) ориентационных пространств кристаллографических текстур, не требующий какой-либо конкретной параметризации группового пространства
SO(3).
Математический аппарат трехмерных вращений имеет многочисленные приложения в современных исследованиях кристаллографической текстуры в качестве удобного средства для количественной ха-рактеризации ориентаций зерен (кристаллитов) в поликристаллических материалах [1]. Определение ориентации зерна (кристаллита) не встречает каких-либо принципиальных трудностей в случае материала с триклинной кристаллической симметрией, поскольку в этом случае имеется взаимно однозначное соответствие между геометрически возможными ориентациями решетки зерна и операциями вращения трехмерного пространства образца. Если, однако, решетка зерна обладает определенными собственными поворотными осями симметрии, взаимно однозначное соответствие между ориентациями зерна и операциями вращения оказывается нарушенным, так что интерпретация данных функции распределения ориентаций (ФРО) зерен может быть существенно затруднена, особенно для материалов с высокой симметрией решетки зерна.
В связи с этим возникает проблема эффективного построения максимальной, топологически связной подобласти в группе SO(3), внутренние точки которой находились бы во взаимно однозначном соответствии с ориентациями зерна и форма которой была бы простейшей возможной в некотором естественном геометрическом смысле. Эту проблему будем именовать проблемой приведения ориентационного пространства кристаллографической текстуры. Естественный и сравнительно просто численно реализуемый метод построения такого рода фундаментальной области может быть получен, если вместо множества всех вращений описывающих произвольную ориента-
цию зерна, мы используем вращение с минимально возможным углом.
Геометрическая форма этой фундаментальной области была недавно изучена в серии статей как для различных способов параметризации группы вращений, так и в ее зависимости от кристаллического класса решетки зерна, а также в зависимости от группы симметрий образца исследуемой текстуры. В частности, данная проблема была решена Франком [2-4], Хайнцем [5] и Нейманом [6] с использованием параметров, введенных ранее в контекст текстурного анализа в [7]. Авторы [8] исследовали эту проблему в терминах эйлеровых углов. Эта проблема была рассмотрена также Герцма-ном [9], использовавшим компьютерные методы, и Айбе [10], причем оба автора базировались на формализме кватернионов, который был впервые предложен для описания ориентаций зерен в [11].
Основная цель данной работы - развить единый теоретико-групповой подход к проблеме приведения ориентационного пространства кристаллографической текстуры. Мы вводим так называемую функцию углового расстояния в пространстве всех трехмерных вращений и далее получаем, используя естественную групповую структуру в совокупности всех вращений, простое описание движений соответствующего группового пространства в терминах левых и правых сдвигов (или, иначе, групповых трансляций). После этого мы анализируем проблему приведения, интерпретируя ее как проблему построения разбиения группового пространства SO(3) на области, которые попарно эквивалентны по отношению к преобразованиям правого сдвига порожденным элементами собственной точечной группы решетки зерна исходной ориентации. При таком подходе нет необходимости в использова-
1779
1780
ЯШНИКОВ
нии какой-либо конкретной параметризации группы SO(3). Кроме того, в рамках данного подхода становится очевидным, что возможность построения приведенного ориентационного пространства -это следствие внутренней геометрической структуры группового пространства SO(3), которая не зависит от выбора его конкретной параметризации.
Используя области регулярного разбиения, мы конструируем так называемое истинное ориентаци-онное пространство и показываем далее, что его топология и, следовательно, его геометрия "в целом" существенно отличаются от топологии и геометрии исходных областей разбиения. Однако группа сим-метрий произвольной области разбиения точно так же, как группа симметрий истинного ориентацион-ного пространства, могут быть охарактеризованы как группы внутренних автоморфизмов, порожденных всевозможными собственными вращениями решетки зерна исходной ориентации. Таким образом, мы последовательно различаем следующие геометрические объекты, которые естественно связаны с произвольной кристаллографической текстурой:
1) полное (неприведенное) ориентационное пространство, т.е. групповое пространство SO(3) с предписанной группой движений, составленной правыми трансляциями, порожденными элементами собственной точечной группы решетки зерна исходной ориентации, которая в отсутствие группы симметрий образца играет роль группы симметрии рассматриваемой текстуры;
2) топологически открытые области регулярного разбиения группового пространства SO(3), двойственного группе собственных точечных симметрий решетки зерна исходной ориентации (или, иными словами, фундаментальные ориентацион-ные области по отношению к группе симметрий текстуры);
3) топологически замкнутые области упомянутого выше регулярного разбиения, получающиеся после присоединения к любой из открытых областей разбиения ее топологической границы;
4) истинное ориентационное пространство текстуры, обладающее внутренней геометрией и топологией, которые принимают во внимание существование нескольких кристаллографически эквивалентных вращений (отображающих одну и ту же ориентацию зерна) на топологической границе любой из эквивалентных между собой фундаментальных областей.
Геометрическая характеризация областей регулярного разбиения как многогранников неевклидова пространства, а также геометрическое описание процедуры приведения в терминах геодезических линий и геодезических поверхностей в пространстве SO(3) будут даны во второй части настоящей статьи. Ряд важных примеров, соответствующих различным кристаллическим классам, использующим понятие внутренней геометрии
группового пространства, будет рассмотрен в третьей части. Предварительное изложение подхода к проблеме приведения ориентационного пространства кристаллографической текстуры с использованием понятий и методов теории групп и внутренней геометрии пространства трехмерных вращений было дано в сообщениях [12-14].
В настоящей статье наши рассмотрения ограничиваются случаем произвольной текстуры, не обладающей симметрией образца (т.е. статистической симметрией). Однако теоретико-групповой подход и техника регулярных разбиений в существенно усложненном варианте применимы также и к случаю текстуры с нетривиальной группой симметрии образца. Кроме того, этот подход в сочетании с методами внутренней геометрии и топологическими рассмотрениями, оказывается, применим для построения истинного пространства разориен-таций зерен. Сжатое изложение этого вопроса содержится в тезисах (Яшников, 1991, 1992). Более подробно эти вопросы будут рассмотрены в последующих публикациях.
1. ТРЕХМЕРНАЯ ГРУППА ВРАЩЕНИЙ SO(3) В ТЕКСТУРНОМ АНАЛИЗЕ
Цель данного раздела - дать краткий очерк двух различных методов описания ориентации зерна (кристаллита) в поликристалле в форме, подходящей для дальнейшего изложения. Оба метода математически эквивалентны, поэтому выбор любого из них может быть мотивирован только соображениями удобства.
В трехмерном текстурном анализе обычно начинают с выбора и фиксации некоторой, как правило декартовой, системы координат образца, жестко связанной с объемом исследуемого поликристаллического материала. Эта система координат (или, в иных выражениях, система отнесения) необходима для представления количественных данных об ориентациях индивидуальных зерен, а также для визуализации статистической информации о кристаллографической текстуре (например, данных ФРО зерен в поликристалле). Еще одна техническая по своему характеру, но важная причина, по которой следует зафиксировать какую-либо систему координат образца, заключается в том, что большинство вычислений с геометрическими величинами в текстурном анализе, ввиду их сложности, не могут быть выполнены до конца в бескоординатной форме.
В принципе любая декартова система координат, жестко связанная с образцом, пригодна для этих целей. Однако инвариантный физический смысл может быть приписан лишь такому описанию текстуры, которое не зависит от выбора системы координат образца. Следует отметить, что во многих практически важных случаях опреде-
ленные исключительные системы координат могут быть предпочтены всем прочим системам, поскольку интересующие нас геометрические величины или их соотношения имеют в таких исключительных системах координат наиболее простую форму. Так, например, если поликристаллический материал подвергался пластической деформации и при этом соответствующее поле внешних воздействий обладало тремя взаимно перпендикулярными осями пространственной симметрии, естественно выбрать именно эти оси в качестве системы координат образца, поскольку при таком выборе группа симметрии образца приводится к наиболее простой матричной форме. Если привилегированная система координат такого рода существует, однако ее положение по отношению к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.