ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2014, том 48, № 2, с. 222-227
УДК 537.86:536.33
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СУШКИ: АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА © 2014 г. А. М. Афанасьев, Б. Н. Сипливый
Волгоградский государственный университет alkiona111@yandex.ru Поступила в редакцию 04.12.2012 г.
Для области в виде цилиндра построено асимптотическое по времени аналитическое решение системы уравнений, краевых и начальных условий, моделирующих сушку электромагнитным излучением. Решением определяется вид полей температуры и влагосодержания в периоде постоянной скорости сушки. Проведен расчет режима с максимальной интенсивностью сушки, в котором учитывается возможность перегрева материала или его разрушения от механических деформаций.
БО1: 10.7868/80040357114020018
ВВЕДЕНИЕ
Анализ процессов при сушке электромагнитным излучением производится в современной литературе в основном с помощью численных методов [1—3]. Возможности аналитических методов до сих пор изучены недостаточно. Их применение требует целого ряда приближений, выбор которых и обоснование представляют собой непростые задачи [4—8]. К настоящему времени исследована лишь классическая задача о сушке пластины. Для случая конвективной сушки метод построения аналитических решений разработан в монографии [9], а для случая электромагнитной сушки эта проблема рассматривалась в работах [10, 11] и в статьях авторов [12—14]. Обобщение принятых в этих работах подходов и их применение к случаю электромагнитной сушки цилиндрических образцов и является содержанием настоящей статьи.
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СУШКИ
Рассмотрим влажный образец — тело V с границей 2. Для сушки образца его обдувают потоком воздуха и подвергают воздействию электромагнитных волн. Исследование процессов тепло-массопереноса будем проводить, считая материал однородным и не учитывая фильтрационного движения влаги под действием перепада давления влажного воздуха внутри пор. При этих условиях основные соотношения, описывающие процесс электромагнитной сушки, будут иметь следующий вид [9]:
^ = amV 2U + am5V2T; дт
XdL + s = Q + (1 - y) qJ; dn
,дт ди
о--+ -
J
(2)
(3)
(4)
dn dn amp0 Q(L) = aA[(L + Li)4 - (Lair + Li)4] + aw (L - Lair); (5) J (L) = am [P (L) -фР (Lair)];
P(L) = 6.03 X 10-3exp-i7'3L'
(6)
dL Y7 2^ , ил , dU Фо— = L + W + qypo —; дт дт
(1)
L + L2
L (M,0) = L0; U (M,0) = U0. (7)
В этих уравнениях: T = L (M, т), U = U (M, т) — температура тела и его влагосодержание (искомые функции переменной точки М и времени т); Q = Q(T), J = J(T) — интенсивности тепло- и мас-сообмена поверхности тела с воздушной средой (известные функции температуры поверхности тела Т); Р(Т) — функция, определяющая зависимость относительного парциального давления насыщенного водяного пара от его температуры Т (наличие этой функции превращает решаемую задачу в нелинейную); д/д n — символ производной по направлению внутренней нормали к границе £; W, S — плотности объемных и поверхностных источников тепла, возникающих за счет поглощения энергии электромагнитных волн с глубиной проникновения, соответственно большой и малой по сравнению с характерным размером объекта сушки. В простейшем случае функции Жи S могут считаться заданными [12—14]; в общем случае расчет функций W, S, T и U следует производить с учетом их взаимного влияния [15, 16].
Уравнения (1) и (2) описывают процессы распространения тепла и влаги. Последнее слагаемое в правой части (1) имеет смысл плотности объемных источников тепла, возникающих за счет процессов испарения жидкости или конденсации пара. Согласно уравнению (2), перенос влаги внутри материала происходит за счет перепадов влагосо-держания (диффузия) и температуры (термодиффузия). Уравнения (3) и (4) представляют собой краевые условия для потоков тепла и влаги на границе тела 2. Слагаемое S, возникающее за счет поглощения электромагнитных волн с малой глубиной проникновения, впервые введено в статьях авторов [12, 13]. Формулы (5), (6) дают интенсивности тепло- и массообмена на границе 2. Согласно этим формулам, плотность тепловых потерь определяется теплообменом конвекцией и теплообменом излучением, а интенсивность массооб-мена поверхности материала с воздушной средой зависит от перепада парциального давления водяного пара по толщине пограничного слоя (закон массообмена в форме уравнения Дальтона; в виде (6) соотношение Дальтона впервые использовано в работе авторов [17]). Формулы (7) задают начальные условия.
ЗАДАЧА ОБ АСИМПТОТИКЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО РЕШЕНИЯ
Исследуем начально-краевую задачу (1)—(7) при следующих упрощающих предположениях:
а) областью построения решения V является круговой цилиндр, у которого радиус основания Я много меньше длины образующей Ь;
б) характеристики воздушной среды Та1г и ф, коэффициенты тепло- и массоотдачи а№ и ат, плотности объемных и поверхностных источников тепла Ж и S являются постоянными (не изменяются ни во времени, ни в пространстве).
Очевидно, что при этих условиях почти на всем протяжении образца решение начально-краевой задачи будет осесимметричным, т.е. искомые функции будут иметь вид
Т = Т (г, т), и = и (г, т), (8)
где г есть расстояние переменной точки до оси цилиндра.
В качестве следующего шага, позволяющего упростить анализ, исключим из рассмотрения начальный по времени участок сушки и поставим задачу об асимптотике полей Т и и, т.е. об их поведении при т ^ да. Как известно, при т ^ да решения начально-краевых задач для уравнения диффузии уже не зависят от начальных данных [18], поэтому условия (7) при построении асимптотического решения задачи (1)—(7) мы можем игнорировать. Если, отбросив эти условия, мы сумеем подобрать функции Т и и так, чтобы были удовлетворены оставшиеся уравнения (1)—(6), то, в силу
утверждения о единственности [18], эти функции и дадут искомое решение.
Покажем, что уравнения (1)—(6) будут удовлетворены, если поле Т положить стационарным, а поле U — квазистационарным, т.е. если для частных производных этих полей принять
дТ/дт = 0; dU/dx = const. (9)
Доказательство проведем в несколько этапов.
Из уравнений (1) и (2), с учетом (9), вытекает,
что лапласианы V 2Т и V 2U — некоторые постоянные. Учитывая, что для скалярной функции ф, зависящей только от расстояния до оси r,
v 2Ф = 1 д (г ¿ф),
r3r\ drI
и принимая во внимание формулы (9), получим общий вид полей Т и U:
Т (r) = ar2 + а2; U (r, т) = pxr2 + р2 + р3т. (10)
Здесь все коэффициенты подлежат определению.
Обозначим постоянную температуру боковой поверхности цилиндра как Тх:
Т (R) = const = Т„.
Из постоянства температуры поверхности и формул (5), (6) получим, что будут постоянными и интенсивности тепло- и массообмена на этой поверхности (обозначим их как Qx и Jx):
'(11)
йт = иА[( + Т)4 - (Та1Г + Т)4] + а„ ( - Та1Г)
/ш =ат [Р Т )-фР (Тщ.)].
Но тогда из (3) и (4) будем иметь, что на поверхности будут постоянными и нормальные производные д Т/ дп иди/ дп:
дТ = 1 [q (1 -y)J»+ о» - s ];
дп X
ди = -7[q(1 -X)J» + Q» -S].
дп X
(12)
Здесь введена безразмерная комбинация постоянных материала
X = у + ^(атРо8?). (13)
Учитывая, что на поверхности цилиндра производная по направлению внутренней нормали д/дп и производная д/дг отличаются только знаком, с помощью (10) получим:
дТ/дп = -2аД ди/дп = -2рД Сравнивая это с (12), найдем коэффициенты а1 и р1:
а = - ¿R [q (i-y )J»+ о» - s ]; Pi = 2R [q (i -x)J»+ о» - s ].
Из формул (10) вытекает, что
V2Т = 4а1, V2и = 4рь
где а1, р1 уже определены. Но тогда с помощью уравнения (2) мы сможем найти производную ди/ дт, т.е. скорость сушки. Выполняя расчеты, будем иметь:
ди = р3 =- .. (15)
дт р0Я
По построению, найденные постоянные
0^, дТ, ди, у2^, V2и, ди дл дл дт
зависят от температуры Тх как от параметра. При любом значении этого параметра уравнения (2)—(6) будут удовлетворены. Теперь мы должны подобрать параметр Тх так, чтобы выполнилось уравнение (1). С учетом всех найденных формул это уравнение принимает вид
+ д1„ = Seíí, ^ = S + ЖЯ/2. (16)
Оно имеет смысл баланса энергетических потоков на поверхности цилиндра. Величину будем называть эффективной интенсивностью излучения. Привлекая сюда (11), перепишем полученное уравнение в следующем виде:
оЛ [( + Т)4 - (Та;г + Т)4] + аw ( - Так) + (17)
+ дат[Р(Т„) - ФР(Так)] = S + ЖЯ/2. Решая это трансцендентное уравнение, найдем Тх.
Считая Тх определенным, с помощью (10) рассчитаем
«2 = Т -аЯ2. (18)
Для постоянной Р2 в формулах (10) имеем Р2 = = и(0, 0). Под т = 0 будем понимать тот момент, начиная с которого решение начально-краевой задачи имеет асимптотический вид. Ясно, что значение постоянной Р2 остается в таком случае неопределенным.
Итак, с учетом последнего замечания, асимптотические распределения (10) могут считаться построенными.
Для практики большое значение имеют перепады температуры и влагосодержания между поверхностью цилиндра и его осью АТ и А и. Из формул (10) найдем, что они не зависят от времени и составляют
АТ = Т(Я) - Т(0) = а1Я2;
Аи = и (Я, т)- и (0, х) = р1Я2. Отсюда с помощью (14) и (16) получим
АТ = -
Я_
2Х
ЖЯ
1_ 2
- д у ъ <*
Аи = 8Я
2Х
(19)
Следствием этих формул является своего рода 'закон сохранения"
Ъ^Я
БАТ + Аи = -
2атр0
(20)
согласно которому при заданной интенсивности сушки увеличение одного из параметров, АТ или А и, вызывает уменьшение другого.
Из формул (12) и (19) видно, что величины, относящиеся к влагосодержанию и, получаются из величин, относящихся к температуре Т, во-первых, с помощью умножения на коэффициент (—8), и, во-вторых, с помощью замены параметра материала у, который вводится в теории тепломассообмена А.В. Лыкова, на параметр материала х, который вводится в настоящей статье формулой (13). В связи с этим мы предлагаем ввести величину х в теорию сушки в качестве нового параметра.
Известно, что процесс сушки во многих случаях можно считать состоящим из трех этапов. На первом этапе, имеющем небольшую продолжительность, вся поступающая извне энергия расходуется на нагревание образца, а влага почти не удаляется (период прогрева). На втором этапе, наоборот, вся эн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.