ИЗВЕСТИЯ РАИ. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ, 2007, том 71, № 2, с. 192-197
УДК 548.571;548.5.01
ТЕОРИЯ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОГО ЗАРЯДА ДИСЛОКАЦИЙ, ПОРОЖДЕННЫХ ФАЗОВЫМ ПЕРЕХОДОМ
© 2007 г. А. Я. Брагинский
ИИИ физики Ростовского государственного университета, Ростов-на-Дону E-mail: root@doncoffe.vdonsk.ru
Для случая фазового перехода в макроскопически неоднородное состояние, описываемое параметром порядка (ПП), который характеризуется многолучевой звездрй вектора {ki}, предложен метод компенсации пространственного изменения всех лучей звезды ki. Для этого рассмотрено единое тензорное поле (связность ПП), которое интерпретируется как потенциал поля напряжений. Взаимодействие ПП со связностью описывается феноменологическим зарядом дислокации. Обсуждены альтернативные способы физической интерпретации связности ПП.
В настоящей работе дано обобщение предложенной ранее в [1] концепции локальности трансформационных свойств параметра порядка (ПП) на случай многолучевой звезды волновых векторов {к1}, характеризующих преобразование компонент ПП под действием трансляций. Необходимость анализа случая общего положения векторов
{к1} продиктована приложением данного формализма к реальным физическим объектам и проверкой непротиворечивости самой модели. В отличие от [1], где на простом примере был показан
механизм компенсации изменений вектора {к1}, зависящих от координат в кристалле, путем введения
связности ПП (А), и обсуждалась структура уравнений минимизации локального потенциала Ландау по компонентам вектора связности (А), в настоящей работе доказывается возможность компенсации изменения всех лучей звезды {к1} путем введения единого тензорного поля, которое интерпретируется, как потенциал поля напряжений. Такая интерпретация компенсирующего поля с необходимостью требует введения в теорию псевдоскалярного феноменологического заряда д. Затем анализируется возможность рассмотрения моделей со скалярным феноменологическим зарядом. Далее обсуждается соотношение между связностью ПП и потенциалом Кренера [2]. Рассмотрена
интерпретация тензорного поля связности А как тензора упругой дисторции. Показано, что в обоих альтернативных интерпретациях д не удается получить непротиворечивую модель описания деформированного состояния кристалла. Показано, что соотношение Кренера [2] механики сред с дислокациями выполняется только для модели, предполагающей феноменологический заряд дислока-
ции псевдоскаляром. В заключение приведена таблица соответствий магнитостатических величин и переменных континуальной теории стационарных дислокаций, отличающаяся от таблицы Де Вита [2].
1. ОБЩИИ СЛУЧАИ МНОГОЛУЧЕВОЙ ЗВЕЗДЫ
Обобщая [1], построим звезду полей связности ПП {А1}, которые компенсируют изменение координат векторов (к^ = (х) Ь') с пространственной координатой кристалла многолучевой звезды
{к1}. Здесь Ъг - векторы обратной решетки, -непрерывный параметр, характеризующий проекцию луча звезды {к} на вектор обратной решетки
Ьг: Ъга,. = 2лцДг Градиент 1-й компоненты ПП /дх- входит в локальный потенциал Ландау Ф в трансляционно-инвариантной комбинации
(V - I у А1 )п, (1)
где у - постоянный размерный множитель, который характеризует взаимодействие ПП со связностью подобно электрическому заряду в феноменологической теории Гинзбурга-Ландау [3]. Выражение (1) может быть переписано в явном виде
Dj П, =
(2)
где ^А'р- ---тые компоненты векторов А1. При
р
этом п, В- п и уА1ру и уА'р}- преобразуются под действием операторов основных трансляций высоко-
симметричной фазы кристалла а (р = 1, 2, 3) следующим образом:
ар П, = ехр (2 п I 1р , аВ) П, = ехр (2 п I 1р) Б) |,
ар(1А1р]) = у 4) + 2 ,
ар(1А[,) = уЛ1ф р Ф д.
(3)
(4а)
(4Ь)
АР) = ^Х
(5)
где Ар) - компоненты А. Из (2) и (5) следует, что уАр) преобразуется под действием 81, как
8 (1Арг) = ЧрЧ%г]1АЧу (6)
Аналогично, как компоненты тензора второго ранга, преобразуются и компоненты Э|р/Эхг, как и должно быть согласно (4а).
Явная зависимость (5) уже была использована в [1] при построении удлиненных производных Б) и
В), соответствующих компонентам | и г|. Тогда потребовался только один тензор А3)- для компенсации волновых векторов двухлучевой звезды. Аналогичная ситуация имеет место и в электродинамике [4], где в лагранжиане учтена явная зависимость между компенсирующими векторными полями А и А', соответствующими у и у*. В роли
„I
операторов 8 в электродинамике сверхпроводников [4] выступает оператор инверсии времени Я у = = у*, откуда А' = Я (А) = - А.
2. ФИЗИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ СВЯЗНОСТИ
Возможность построения трансляционно-инва-риантных комбинаций из градиентов компонент ПП путем введения одного поля связности ПП А в локальный потенциал Ландау приводит к конструктивной теории. Во-первых, факт существования единого тензорного поля связности позволяет интерпретировать А как потенциал поля напряжений:
Ср, = егк](д) хк).
(7)
Подобно тому, как все векторы звезды {кг} могут быть получены из одного представителя к е е {к} действием на него элементами точечной группы 8(к) = к1, звезда связности {А } порождается действием 8 е G0 на А: 8(А) = А1. Здесь G0 -группа симметрии высокосимметричной фазы кристалла. Действительно, координаты 1-го вектора {к } есть ^р = 8рд |!д, где ¿рЧ - матрица представления оператора 81. Достаточно задания одного поля А (х), чтобы получить все поля {А1}, компенсирующие изменение всех векторов в звезде
{к1}. Так, компенсирующая комбинация, соответствующая компоненте |, имеет вид
Во-вторых, как показано в [1], к уравнениям минимизации Ф по компонентам ПП добавляются уравнения Кренера [2] ЭФ/ЭАр)- = 0 деформированного состояния кристалла с дислокациями. Однако
интерпретация связности А и А как потенциала поля напряжений приводит к псевдоскалярной математической размерности феноменологической константы у. Необходимость такого поведения феноменологического заряда у при преобразовании из точечной группы симметрии кристалла продиктовано тем, что уАр, компенсирующие изменение Э|р/Эх), преобразуются как компоненты тензора второго ранга (6), а потенциал тензорного поля напряжений Ар) (7) - псевдотензор второго ранга. Псевдоскалярность у приводит и к псевдотензорной размерности плотности дислокаций рр)-, сопряженной потенциалу Ар):
Р
р)
ЭФ
д А р
-уа
р)
(8)
Здесь ар) осталось за первым интегралом, сопряженным непрерывному параметру |р (см. (7) из [1]). Согласно (8), плотность Рр является носителем феноменологического заряда дислокации аналогично соответствующему выражению для плотности тока в [3]. Размерность Рр согласуется с математической размерностью вектора Бюргерса
Ьр = |р
5
р
(9)
и тензора упругой дистории, сопряженного С
■рп
® р) = ЭФ/ЭСр,,
(10) (11)
Рр) = е]кг(д^рг/дХк) .
В связи с псевдоскалярной размерностью феноменологического заряда у возникает вопрос: существуют ли альтернативные (7) способы интерпретации связности А? Очевидно, что ответ на этот вопрос является ключевым и полностью фиксирует модель. Ниже показано, что единственной непротиворечивой схемой описания состояния кристалла с дислокациями в теории с неоднород-
р
р
194
БРАГИНСКИИ
д2Ар
п = е е -—
"тп *тдр,!«чдхядх,
(12)
.к
где Ар] - некоторый тензор второго ранга.
дФ(ирП) _ дФ(птп)
д ир
дир
= -е.
рп рп
Следовательно,
_д_( д<Ф ( Птп)
рд ха { дптп
ирп е рдт(д®тп/дх д ),
(15)
где ирп = дФ/дирп - тензор, сопряженный ирп, а ®тп = = дФ/дптп - тензор упругой дистории, сопряженный тензору напряжений птп. Далее миниминизи-руем Ф по Ар-, учитывая (13), и получаем
5Ф дФ
5 А,
д Аг
д ( дФ^ п
- —кдй;1 =
а11Л
"2
Дислокационный механизм изменения периода решетки под действием внутренних напряжений. Линии краевых дислокаций направлены перпендикулярно плоскости рисунка.
ной плотностью потенциала Ландау является модель с псевдоскалярным зарядом у.
3. ПОТЕНЦИАЛ КРЕНЕРА
Предположим, что у - скаляр, тогда компоненты связности ПП Ар- преобразуются как компоненты тензора второго ранга (6). Согласно Кренеру [2], тензор напряжений можно представить в виде
Если учесть (15), то из (16) следует
дФ
д—
£ рз = -е
ди
]кп дх
р = -е
д2 Ютп
рдте-кпд хк д хд •
(16)
(17)
Предположим, что потенциал Кренера Ар- выполняет роль связности ПП, т.е. Ар- = Ар- и тензор напряжений определяется выражением (12), а не (7). Заметим, что градиентные инварианты связности ПП входят в потенциал Ф только в виде компонент ротора
ирп = е пк-(д Ар-/д Хк), (13)
Птп = е тдр(д ирп/д Хд) (14)
и функциональная зависимость локального потенциала Ландау от напряжения задана неявно Ф(ирп)1. Минимизируем Ф по и, с учетом (14) получаем
1 Неявная зависимость Ф (оти) = Ф(ирп) обусловлена тем, что выражение (14) не является базисным инвариантом группы симметрии кристалла. Другими словами, нет сим-метрийно-обусловленных причин построения роторной комбинации по первому индексу тензора связности Ар-, так как первый индекс соответствует компонентам вектора
ki, а не компонентам градиента в (4а).
Здесь £р- = дФ/дАр- - несимметризованный тензор несовместимости, введенный Кренером [2]. Плотность дислокаций рт- в данном случае будет определяться не соотношением (8), а согласно (11). Откуда, как и в [2],
£р] = -ердт(дРт/дХд) • (18)
Однако полученные таким образом уравнения для наблюдаемых величин противоречат посылкам рассматриваемой в [1] модели. Убедимся, что при локальном изменении трансляционной симметрии вектор Бюргерса сонаправлен изменению
волнового вектора 5 к (х). Действительно, если в
низкосимметричной фазе а1 = сош^х), а2 =
= сош^Х), а3 = а3 (х), то при обходе по контуру,
вокруг оси Ох3 в плоскости векторов а1 и а2 мы в общем случае не вернемся в исходную точку. Вследствие изменения межатомных расстояний в направлении оси Ох3 и отсутствия когерентности
между а3 (х1) и а3 (х2) для соседних областей, контур не принадлежит одной плоскости, перпендикулярной оси Ох3, и переход от атома к атому при движении по контуру не всегда однозначен. Так, при а1 = сош^ х) и а2 = сош^ х), мы всегда можем попасть в точку, имеющую ту же координату вдоль оси Ох3, что и исходная, что свидетельствует о наличии плотности дислокац
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.