ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СИНХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2015, № 7, с. 66-71
УДК 539.941
ТЕОРИЯ ФОРМИРОВАНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ ОТРАЖЕННЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
© 2015 г. В. П. Афанасьев*, П. С. Капля
Национальный исследовательский университет МЭИ, 111250 Москва, Россия
E-mail: v.af@mail.ru Поступила в редакцию 28.08.2014 г.
В работе строится теория формирования энергетических спектров электронов и легких ионов, отраженных от поверхности твердого тела. Показано, что наиболее эффективны методы, основанные на численном решении граничных задач для уравнения переноса. Граничная задача решается на основе метода инвариантного погружения. Получены уравнения для коэффициентов отражения Rk (x, n, nо), описывающих поток отраженных в направлении n атомных частиц, испытавших к актов неупругого рассеяния. Проведено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными, результатами моделирования методом Монте-Карло и расчетами других авторов.
Ключевые слова: спектроскопия отраженных электронов, уравнения переноса, метод инвариантного погружения, метод Монте-Карло.
Б01: 10.7868/80207352815040034
ВВЕДЕНИЕ
Последовательное описание энергетических спектров отраженных заряженных частиц необходимо для реализации количественных методов анализа твердых тел на основе оже-спектроско-пии, локального рентгеноспектрального анализа, рентгеновской фотоэлектронной спектроскопии, спектроскопии пиков упруго отраженных электронов, спектроскопии обратного резерфордовского рассеяния. Восстановление компонентного и послойного состава исследуемых мишеней по измеренным спектрам представляет собой обратную, некорректную с математической точки зрения задачу. Наиболее последовательной процедурой решения указанных задач является метод фитинга — метод, требующий многократного решения прямой задачи с варьируемыми параметрами, описывающими исследуемую мишень. Эффективной процедура фитинга становится, только если процесс решения прямой задачи занимает доли секунды. Немаловажным требованием, которое выдвигают современные технологии, является высокая точность измерений. Поставленные задачи весьма некомфортно решать в рамках процедур Монте-Карло (МК), требующих значительных затрат времени. Приходится отбросить и целый ряд приближенных аналитических методов, таких как, например, транспортное приближение, в силу их низкой достоверности.
В настоящей работе описание энергетических спектров отраженных заряженных частиц строится на основе точного решения граничной задачи для уравнения переноса методом инвариантного погружения. Спектры отраженных частиц представляются в виде разложений по кратности неупругого рассеяния [1]. Коэффициенты указанных разложений Ск представляют собой плотность потока электронов, отраженных в заданный элемент телесного угла и к-кратно неупруго рассеянных. В настоящей работе строится процедура численного решения уравнений для Ск — процедура, характеризующаяся высокой производительностью и точностью, с которой определено сечение неупругого рассеяния и альбедо для однократного рассеяния.
Проводится сравнение полученных в работе результатов расчетов с экспериментальными данными, результатами МК-моделирования и расчетами других авторов. Анализ полученных результатов указывает на высокую точность развитого в работе численного метода. Время, затрачиваемое на расчет спектра, составляет доли секунды в случае использования обычного ноутбука.
УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ ОТРАЖЕНИЯ. МЕТОД ИНВАРИАНТНОГО ПОГРУЖЕНИЯ
Отражение электронов от твердого тела в од-носкоростном приближении описывается урав-
нением Амбарцумяна [2]:
д (11 ^ — R (т, А, ц 0, ц, ф) + 1 - +--R (т, А, ц 0, ц, ф) =
дт ^ц цо
= (цо, ц, ф) +
+ X í íx+i (цо, ц', ф')R(т, А, ц', ц,ф - -
J J ц'
0 0 2п 1
+ X JJR(т, А, ц0, ц', ф') x+i (ц, ц, ф - ф'))^' ■
2п 1
(1)
0 0 2п 1
+ X JJr(т, А, ц0, ц', ф')xel (ц', ц", ф' - ф") X
0 0
X R (т, А, ц", ц, Ф - Ф' - ф")) dФ' ^ ^Ф" +
ц' ц"
+ (1 - А,)| — + — I [xin (s) R(т, А - s, ц0, ц, ф)ds.
Ф цо У0
Здесь R(т, А, ц0, ц, ф) — функция отражения электронов от слоя толщиной т [3]; т = —— без-
ltot
размерная толщина слоя, измеренная в средних длинах свободного пробега между двумя любыми актами рассеяния (упругими или неупругими);
ltot = VП in + CTel) ; Х =
a in + ae
— альбедо одно-
R (т, А, ц 0, Ц, ф) =
да
= X (2 -5m0)Rm (т, А, Ц0, M)cos(тф).
(2)
m=0
Перейдем к матричной записи уравнений типа (1), заменив интегралы квадратурными суммами:
1 г N
[я™ (т, А, ц 0, ц', ф)) + (, ц, ф-ф) « У
0 ц „=0 (3)
w = diag (■/ц {).
кратного упругого рассеяния; ае1, а1п — полные сечения упругого и неупругого рассеяния соответственно; хе1 (|0, ф), (|0, ф) — нормированные на единицу дифференциальные по углам рассеяния сечения упругого рассеяния, знак "минус" соответствует рассеянию с изменением знака проекции направления движения вдоль нормали к поверхности мишени, знак "плюс" соответствует рассеянию без такого изменения; х;п (е) — нормированное на единицу дифференциальное сечение неупругого рассеяния.
Будем искать решение (1) в виде разложения по азимутальным гармоникам:
Здесь Rkm — матрица размерностью N х N, s ¡ — веса в квадратурных формулах, ц — узлы сетки по косинусу угла падения/наблюдения.
Для полубесконечной среды уравнение (1) было впервые написано в работе Дашена [4]. Определению энергетических спектров в малоугловом приближении на основе уравнения (1) посвящен ряд работ [5, 6]. Один из эффективных методов решения уравнения (1) основан на переходе к
уравнениям для коэффициентов R"(т, ц0, ц), которые определяют поток отраженных частиц, испытавших ровно к неупругих рассеяний. Для к = 0 уравнение принимает вид:
^К (т, И0,иЫ1 + —IК (тЦо. и) = дт ^и Ио J (4)
л m- / \ л m+ г»m л -тлт m+ л -тлш m- г»m
= (И0, И) + R + ХR Xel + *el R , для k > 1 —
Rkm (т, цо, ц) + |1 + — I Rm(T, Цо, ц) =
di ^ц Цо)
= (i -x )íi+O Rm_ i+xx m+Rm+x Rmx r + (5)
У.Ц Ц о)
k-1
+ X« Rm +x« Rkm +XXRmxm Rk-i-
i=1
Перенесем в правую часть уравнений слагаете
мые, содержащие Rk, и сгруппируем по очередности умножения на матрицу функции отражения. Уравнение (4) перепишется в виде:
f Rm (т)+ARm (т)+к со a- = с+Rm (т) drZ (т),
дт
A = diag
1 I л m+
- I - AXei W,
(6)
C — , D — Xwxm-w.
Уравнение (6) носит название дифференциального алгебраического уравнения Риккати. В литературе описаны алгоритмы решения этого типа уравнений [7], стандартным методом решения его является обратная дифференциальная формула (Backward Differentiation Formula — BDF) [8]. Здесь мы воспользовались симметричностью матрицы xem+. Для кратности неупругого
рассеяния к, отличной от нуля, в матричном виде уравнение (5) преобразуется к виду:
дт- кт (т)+Акт (т)+% (т) а=с (т),
дт
А = diag 11 - Хх- XЛ0Ш (т) wxe"1-w, КРУ
с = (1 - X)
diag
k-1
1 I Rkm-1 + Rk-i diag
1
v^yj
(7)
+ Rm со wxm-wR:_i (т).
I=1
Уравнение (7) относится к классу дифференциальных уравнений Ляпунова и также может быть решено методом BDF.
Для полубесконечной мишени уравнения (6) и (7) переходят из дифференциальных в обыкновенные алгебраические уравнения Риккати и Ляпунова соответственно. Нужно отметить, что наиболее сложное в указанной паре — уравнение Риккати — необходимо решать только для описания упруго отраженных электронов (к = 0), уравнения с к > 0 более просты с точки зрения численного решения.
Определив угловые распределения каждой кратности неупругого рассеяния кк , получаем итоговое решение уравнения (1):
Ят (т, А, ио, и) =
» к
= X Кк (т, И о, и) хкп (А) « ^ Як (т, И 0, и) хкп (А),
k=0
k=0
(8)
x in+1 (А) = J"xfn (e) x in (А - e) d Б,
лиза процессов отражения атомных частиц от твердых тел. Таковым в настоящей работе выбран метод МК-моделирования. В ряде случаев мы не сможем сравнить результаты расчетов с результатами других авторов, поскольку различаются модели описания процесса элементарного акта рассеяния. Например, в работах Вернера [9] используется сечение Мотта, мы опираемся на более адекватную модель Хартри—Фока [10].
МК-моделирование процесса отражения электронов от слоя вещества в настоящей работе проводилось в приближении парных соударений. В построении кода использованы стандартные положения [11, 12].
Движение электрона в твердом теле описывается стохастическим пуассоновским процессом. Расстояние между двумя последовательными актами рассеяния определяется по формуле:
и = -4<*1Еа . (9)
Здесь а — псевдослучайное число, /1о1 — средняя длина свободного пробега между двумя рассеяниями.
Вид рассеяния определяется путем сравнения случайного числа с альбедо однократного рассеяния X:
(10)
х0(А) = 5(А); х 1П(А) = хь(А).
Набор уравнений и выражений (2), (6), (7) и (8) достаточен для расчета энергетических и угловых спектров отраженных электронов для любой плоскопараллельной геометрии. Число азимутальных гармоник т определяется углом зондирования и растет при его отклонении от нормали. Отметим, что предложенный алгоритм расчета дает результат сразу для всех углов зондирования и визирования, что необходимо при расчете многослойных систем.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТРАЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ОТ СЛОЯ ВЕЩЕСТВА
Многие ситуации, которые будут рассмотрены в настоящей работе, не имеют экспериментально подтвержденных результатов, что вызывает необходимость создания независимых способов ана-
а < X — упругое, а > X — неупругое.
При упругом рассеянии косинус угла рассеяния определяется по нормированному на единицу сечению упругого рассеяния хе1(ц), в дальнейшем функцию хе1(ц) мы будем называть индикатрисой рассеяния:
а I 1
Р(а) = Jxei(|i)d|i / J"xei(|i)d|i, | = P_1(а). (11)
-1 / -1 Упругое рассеяние считается цилиндрически симметричным, таким образом
Ф = 2яа. (12)
При моделировании энергетического распределения отраженных частиц потеря энергии в акте неупругого рассеяния определяется из нормированного на единицу сечения неупругого рассеяния xin (А), аналогично косинусу угла упругого рассеяния:
а /Ео
G(a) = Jxin(A)dA / Jxin(A)dA, А = G_1(a). (13)
о /о
Моделирование может проходить без расчета энергетического спектра, в этом случае хранится только число неупругих рассеяний.
Обрыв
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.