ЭЛЕКТРОХИМИЯ, 2004, том 40, № 6, с. 750-754
УДК 541.13:519.21
ТЕОРИЯ ЛАПЛАС-АНАЛИЗА НЕГАУССОВСКОГО ШУМА
© 2004 г. Б. М. Графов1, И. Б. Графова*
Институт электрохимии им. АН. Фрумкина РАН, Москва, Россия 119071, Москва, Ленинский просп., 31, Россия *Отделение экономики, Университет Мичигана, Анн Арбар, Мичиган, США Поступила в редакцию 16.09.2003 г.
Найден алгоритм прямого вычисления шумовых операционных спектров 3-го порядка. Существенно, что найденный алгоритм не включает в качестве предварительного этапа оценку корреляционной функции 3-го порядка. Для цепи Эршлера-Рэндлса найдено соотношение, связывающее между собой биспектры флуктуаций потенциала равновесного электрода, определенные соответственно на мнимой и действительной осях плоскости Лапласа. Обсуждаются достоинства использования пространства Лапласа для изучения тонкой негауссовской структуры случайных временных рядов.
Ключевые слова: негауссовский шум, биспектры, преобразование Лапласа.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время происходит быстрое развитие информационных технологий, связанных с измерением и анализом собственных шумов систем самой различной природы, имеющих важное значение не только в современной электронике, но и во многих других областях науки и техники, включая биофизику и диагностику усталостного разрушения материалов [1-10]. Начинает уделяться повышенное внимание тонкой негауссовской структуре собственных шумов [11-17]. Развитие шумовых информационных технологий происходит и в электрохимии [18-28].
Цель данной работы состоит в том, чтобы построить теорию анализа в пространстве Лапласа [29] негауссовских шумов. Речь идет об измерении операционных спектров 3-го порядка или, что то же самое, об измерении операционных би-спектров [30-32]. Будут рассмотрены случайные временные ряды как с непрерывным, так и дискретным временем. Отметим, что теорию операционных спектров 2-го порядка можно найти в работах [24, 33-35].
БИСПЕКТРЫ ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА
Определением биспектров Фурье У _ юуюу*)
(они зависят от дух частот ю и V) служат уравнения (1) и (2), соответственно для непрерывного г и
дискретного г = тг0 времени (г0 - интервал дискретизации) [36]:
<Уv-юУюУ*) =
= 41 йгх | ^ехр(-/юг1 + /Vг2)<у(0)у(гх)у(г2)),
(1)
<Уv-юУюУ*) =
(2)
= 4 ее г^ехР (- ]юг1 + /V г2 )< у( 0) у (г 1) у (г2)),
т = -1эо п = -э
где / - мнимая единица, а через <у(0)у(гх)у(г2)) обозначена корреляционная функция 3-го порядка случайного стационарного процесса у(г), имеющего нулевое среднее. Под у(г) будут пониматься либо флуктуации электрического тока, либо флуктуации напряжения. В уравнении (2) гх = тг0 и г2 = пг0.
Операционные биспектры соответствуют замене частот Фурье ю и V на частоты Лапласа р и ц: /ю —- р и (-/V) —- q. Кроме того, изменяется область интегрирования (суммирования) - вместо двусторонней операции возникает односторонняя. Исходя из уравнений (1) и (2) для биспектров Фурье, определим операционные биспектры <у0уруц) следующим образом:
<У0УрУц) = 16K(P, q),
(3)
1 Адрес автора для переписки: vek@elchem.ac.ru (Б.М. Графов).
где К(р, ц) - образ Лапласа от корреляционной функции 3-го порядка <у(0)у(гх)у(г2)). Определени-
ем K(p, q) служат уравнения (4) и (5) соответственно для непрерывного и дискретного времени:
K(p, q) =
= J dti J dt2exp (- pti- qt2 )< y( 0) y (11) y (t2 )>,
K(p, q) = £ to £ to <y(0)y(ti )y(12)>x
(4)
! = 0
x exp(- pti - qt2) - 2to £ to <у(0)y(11)y(0)> x
m =0
x exp(-pti) - 210 £ t0 <y(0)y(0)y(12)>exp(-qt2) ■ =0
+ 1 t0 < У (0) y( 0) y (0 )>.
Y(p) = j dtexp(-pt)y(t).
(7)
Величина У(р) является случайной. Образуем с ее помощью кумулянт третьего порядка:
+ ^ + ^ + ^
(8)
ности. По этой причине операцию усреднения можно понимать как усреднение по ансамблю идентичных стохастических систем, так и как усреднение по ансамблю достаточно больших временных интервалов наблюдения за отдельной стохастической системой.
Интеграл в правой части (8) можно записать в виде суммы трех интегралов:
+ ^ + ^ + ^
j dt1 j dt2 j dt3[...] = J1 + J2 + J3, (9)
»2 j "»3
000
где
+ ^ + ^ + ^
J1 = j dt1 j dt2 j dt3 [... ],
0 t1 t1 + ^ + ^ + ^
J2 = j dt2 j dt1 j dt3 [... ],
В уравнении (5) = т^ и г2 = пг0. Здесь и далее считается, что операционные частоты р и д являются действительными положительными числами. Из определения величины К(р, д) следует ее симметрия по отношению к частотам р и д:
К(р, д) = К(д, р). (6)
Известно [36], что кумулянтную функцию третьего порядка (у^уО-^уО^) достаточно знать в первом квадранте временной плоскости чтобы получить значения этой функции во всей плоскости t2). По этой причине образ Лапласа кумулянтной функции К(р, д) (с двумя лапласов-скими частотами р и д) однозначно определяет исходную кумулянтную функцию {у^у^^у^)).
СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ
Введем в рассмотрение трансформанту Лапласа У(р) исходного случайного процесса у(0:
' 2 ~ j "'2 j и'1 j и'3
0 t2 t2 + ^ + ^ + ^
(10)
j3 = j dt3 j dt1 j dt2 [... ].
0 t3 t3
Вычислим прежде всего интеграл J1. Имеем:
+ ^ + ^ + ^
J1 = | ^ | dt21 х
0 t1 ^
х [ехр(){у(0)у(12 - tl)у(13 - tl))]
или после замены переменных интегрирования: t4 = t2 — t1, % = Ь — t1:
J1 = | ¿^ехр(-pt1-дt1-rt1) х
x j dt4 j dt5[exp(-qt4-rt5)<y(0)y(t4)y(t5)>].
'4 j "'5 00 Тем самым
J1
_ K(q, r)
(11)
{ У( р) У( д) У( г)) = | 1 1 ^з х 000 х [ехр(-){у(11)у(12)у(tз))],
где р, д и г представляют собой операционные частоты, а угловые скобки обозначают усреднение по ансамблю реализаций. Здесь и далее будем исходить из того, что рассматриваемые стационарные случайные процессы обладают свойством эргодич-
р + д + г
Аналогичным образом вычисляются интегралы J2 и Jз:
= К(р, г) = К(р, д)
•> 2 = ' •> 3 = •
р + д + г р + д + г
В итоге приходим к искомому выражению для кумулянта 3-го порядка {У(р)У(д)У(г)):
< Y (p) Y (q) Y (r)> = = [K(p, q) + K(p, r) + K(q, r)]/(p + q + r).
0
0
0
n
0
0
Положим в (12) все операционные частоты равными друг другу: д = г = р. Это приводит к алгоритму вычисления операционных биспектров при совпадающих операционных частотах:
У у2 > = 16К(р, р) = 16р(У3(р)). (13)
Положим теперь в (12) г = д. Тогда:
<У(р)У2(д))(р + 2д) = 2К(р, д) + К(д, д). (14) Объединяя уравнения (13) и (14), приходим к искомому общему алгоритму вычисления операционных биспектров:
ЬоУрУд) = 8[(р + 2д)<У(р)У2(д)> - д<^(д)>]. (15)
Уравнение (15) пригодно для вычисления операционных биспектров, зависящих от двух независимых частот Лапласа р и д. Из-за быстрой сходимости интегралов с экспоненциальными функциями конечный интервал реализации случайного процесса у(г) может рассматриваться как бесконечный.
ОПЕРАЦИОННЫЕ БИСПЕКТРЫ ЦЕПИ ЭРШЛЕРА-РЭНДЛСА
Одной из распространенных электрохимических цепей переменного тока является цепь Эрш-лера-Рэндлса [37, 38], состоящая из параллельно соединенных между собой сопротивления фара-деевского процесса Я и емкости двойного электрического слоя С. Комплексная проводимость ОЮ и операционный адмиттанс Ор цепи Эршлера-Рэндлса определяются уравнениями:
вю = Я 1 + ;шС, вр = Я 1 + рС, (16)
а функция отклика по потенциалу ИЕ(г) экспоненциально зависит от времени:
ИЕ(г) = С-1ехр(-?Я-1С-1). (17)
Собственно фарадеевский процесс обладает высокой нелинейностью и характеризуется белым шумом. Поэтому в линейном стохастическом уравнении Ланжевена [17]
е (г) = | йг1 ИЕ( г - г 1) г (г 1),
(18)
ента пропорциональности приходим к следую щим выражениям:
1
< ео е»>---
< ео ер
[ 1 + (юЯС)2 ] 1
(20)
(21)
(1 + рЯС )
Обращает на себя внимание разная функциональная зависимость соответствующих биспектров от частоты Фурье ю и частоты Лапласа р. Уравнение (21) интересно в том отношении, что представляет собой первый пример моделирования операционных спектров 3-го порядка. Расчеты, выполненные на основе уравнения (19), позволяют утверждать, что биспектры, определенные на мнимой оси плоскости Лапласа (биспектры Фурье), и биспектры, определенные на действительной оси плоскости Лапласа (операционные биспектры), в случае цепи Эршлера-Рэндлса связаны между собой простым соотношением:
< ео еЮ) = 3 ( 1 + рЯС)2 <ео е р> 4 [ 1 + ( юЯС) 2 ]'
(22)
которое может быть переписано с использованием операционного адмиттанса Ор и обычного ад-миттанса ОЮ в следующей форме:
4 < еоеЮ>| вЮ2 = 3 < ео е\)2
(23)
записанном для флуктуаций потенциала равновесного электрода е(г), флуктуационный ток г(г) имеет характеристики нелинейного белого шума. В итоге корреляционная функция 3-го порядка <е(0)е(гх)е(г2)>, соответствующая флуктуациям потенциала равновесного электрода е(г), пропорциональна интегралу от произведения трех функций отклика [30, 39]:
< е(0)е(г 1)е(г2)>~]ЧИЕ(0иЕ(г + г 1)иЕ(г + г2). (19)
На основе (19) для Фурье-биспектра с равными частотами и Лаплас-биспектра с равными операционными частотами с точностью до коэффици-
-р/1~р| •
Видно, что как левая, так и правая части уравнения (23) равны некоторой константе, которая характеризует шумовые свойства цепи Эршлера-Рэндлса.
СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
Аналогичный анализ может быть проведен и для случайного процесса с дискретным временем. При этом под образом Лапласа У(р) исходного случайного процесса у(г) следует уже понимать результат применения дискретного преобразования Лапласа:
¥(р) = £ гоехр(-рг)у(г), (24)
т = о
где г = тг0. Уравнение (12) принимает модифицированный вид:
< У( р) У( д) У{ г)> =
го
■[К(р, д) + К(р, г) + К(д, г)],
(25)
1К ( р д) + К ( р г) + К ( д, г)]
1 - ехр (-а го)
где а = р + д + г. Дискретным аналогом уравнения (13) служит уравнение (26):
<Уоу2> = 16К(р, р) = 16 1 - еХР( аго- < У3(р)>.(26)
Наконец, вместо уравнения (15) можно записать его дискретный аналог в следующем виде:
< УаУрУа) = 8
1 - eXP ( - Pt0 - 2qt0) < F(р) F2(q)> -
1 -exp (-3 qto )/л 7з
(27)
3to
< F3 ( q )>
F(p) = E toexp(-pt)y(t),
(П.1)
m = 0
рядка <F(p)F(q)F(r)). Здесь, как и ранее, угловые скобки обозначают усреднение по ансамблю реализаций случайного процесса у(г), а р, ц и г - положительные частоты Лапласа. Для ^(р^(ц^(г)) получим тройной ряд:
Подробный вывод выражения (25) для опера
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.