УДК 539.3
© 2011 г. С.О. Саркисян ТЕОРИЯ МИКРОПОЛЯРНЫХ УПРУГИХ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
Для тонкой оболочки рассматривается краевая задача трехмерной микрополярной, несимметричной, моментной теории упругости со свободным вращением. Считается, что общее напряженно-деформированное состояние (НДС) складывается из внутреннего НДС и пограничных слоев; для их приближенного определения применяется асимптотический метод интегрирования трехмерной граничной задачи микрополярной теории упругости со свободным вращением. Для этой задачи в зависимости от значений безразмерных физических параметров материала оболочки построены три различные асимптотики. Исходное приближение для первой асимптотики приводит к теории микрополярных оболочек со свободным вращением; для второй — к теории микрополярных оболочек со стесненным вращением; для третьей — к так называемой теории микрополярных оболочек "с малой сдвиговой жесткостью". Построены микрополярные пограничные слои. Изучена задача сращивания внутренней задачи и пограничных слоев. Определены двумерные граничные условия для указанных теорий микрополярных оболочек.
Для построения математически обоснованных теорий микрополярных упругих оболочек, пластин и стержней [1—15] наиболее эффективный подход — применение асимптотических методов, которые позволяют выполнить сведение трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории оболочек и пластин и одномерным уравнениям теории стержней без принятия гипотез [16—19]. Асимптотическим методом интегрирования уравнений микрополярной теории упругости со свободным вращением в зависимости от значений безразмерных физических параметров материала были построены теории изгиба микрополярных пластин и стержней со свободным вращением и со стесненным вращением, а также теории "с малой сдвиговой жесткостью" [20, 21]. Ниже обобщаются полученные ранее результаты [22, 23].
1. Постановка задачи. Рассмотрим оболочку постоянной толщины 2h как трехмерное микрополярное упругое изотропное тело. Тензорные уравнения статической задачи микрополярной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений имеют вид [1—3]
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА Том 76. Вып. 2, 2012
V7 тп П V7 тп , nmk п
V mG = 0, V + е а тк = 0
а тп = (Ц + а) Y тп + (Ц - а) Y nm + ^Y kk$ nm>
Ц mn = (Y + s )к mn + (Y-£) K nm nm
У mn = ^ mVn — ekmn® , K mn = ^ m® n
(1.1) (1.2) (1.3)
Здесь (1.1) — уравнения равновесия, (1.2) — соотношения упругости, (1.3) — геометрические соотношения; атп и цтп — контравариантные, а атп и цтп — ковариантные компоненты силового и моментного тензоров напряжений; утп, ктп - ковариантные компоненты тензора деформации и тензора изгиба—кручения; Уп - ковариантные компоненты вектора перемещения; шп - ковариантные компоненты вектора независимого
поворота; X, ц, а, Р, у, £ - физические константы микрополярного материала оболочки. Индексы т,п,к здесь и в дальнейшем принимают значения 1, 2, 3.
Будем считать, что на лицевых поверхностях оболочки заданы граничные условия первой граничной задачи, а на поверхности края оболочки £ — в общем случае граничные условия смешанного типа микрополярной теории упругости.
Запишем определяющую систему уравнений (1.1)—(1.3) в ортогональных криволинейных координатах ап, принятых в теории оболочек [16] (для физических составляющих тензоров и векторов сохраним прежние их обозначения): уравнения равновесия
Ц + + ^ = 0, ^ + ^^ + + Ну / - ) = 0
К да3 К да3
-Ц + Г + ^ = 0, - К + + с12-о21 = 0 (1.4)
да3 да3
физико-геометрические соотношения
№ = 1 0« ц -У033), = 1 (о33 -У°П -У022)
2 (1 + у) да3 2 (1 + у)
- (-1У ©э) = ^ (а, + ал) + 4а (а, - ал)
303- (-1) щл )=1 (+а°)+4а (-а°)
Ц(8< + (-1) Юу) = -(с^- + 0,3) + Ой - О*) (1.5)
4 4а
Ук- = Р1Ци - в2^л - Р2Ц33, У""3 = Р1Ц33 - Р2Ц11 - Р2Ц22
да3
+ - а + - дю, + -
уп = у |у, - у у9,- = у |;3 - у Цэ;■, у —= у |3, - у |в
да3
Р1 = _Р±Г, в2 = —^, у± =1±!
+ 2у 2 (3в + 2у) 4е
Граничные условия на лицевых поверхностях оболочки имеют вид
«3 = : °3т = -q±m, И3т = +тт (1.6)
Здесь приняты следующие обозначения:
т 1 , , ч 1 да у, , ,
Ц = а да+кл(-а лл)+А дау+к (,}
Ц = £11 +£22 , Г = ±^ + к2си + ^^^23 + к1^23 (1.7)
К1 К2 А1 да1 А2 да2
1 1 дК, „ 1 дК К,, 1 дА
А, да, К А: да, А{ да, К А{А, да,
Формулы для К,-, К и Ф получаются из выражений для Ц, Ь и Г заменой а на р; выражения х, Щ и 9,- соответствуют выражениям вь II и g¡ при замене V на ш. Индексы ,, у здесь и в дальнейшем принимают значения 1, 2, причем , ^ у.
При построении теории оболочек будем пренебрегать малыми величинами 0(к/Я) (Я — характерный радиус кривизны срединной поверхности оболочки), поэтому в исходных уравнениях (1.4), (1.5) отброшены члены а3/Я,.
2. Асимптотический метод. Предполагаем, что толщина оболочки мала по сравнению с характерными радиусами кривизны срединной поверхности оболочки. По аналогии с классической линейной теорией оболочек будем считать, что напряженно-деформированное состояние (НДС) оболочки состоит из внутреннего НДС, охватывающего всю оболочку, и пограничных слоев (ПС), локализующихся вблизи поверхности края оболочки.
При определении как внутреннего НДС, так и краевого НДС оболочки большую роль играют значения физических констант микрополярного материала оболочки. Введем безразмерные параметры
а, -Ъ ^Г (2.1)
Ц Я 2ц Я 2ц Я 2ц
Для построения внутреннего НДС введем новые независимые переменные, положив [16]
а, = ЯХ а3 = ЯХ- £ (2.2)
где р, 1 - целые числа, удовлетворяющие неравенствам 1 > р > 0, а X - большой посто-ный безразмерный геометрический пар Введем также безразмерные величины
янный безразмерный геометрический параметр, определяемый формулой к = ЯХ 1.
V ± ± Я
тт _ _ _ ®тп Л. _ Цтп р± _ Цп ^± _ тп г _ Я (2 3)
и п „ > т тп > у тп „ , Рп > Ы „ , Ч „ У^--3/
Я ц Яц ц Яц Я
Используя формулы (2.1)—(2.3) в уравнениях (1.4), (1.5), получим следующую систему: уравнения равновесия
х р-1Ц + X-11*±1й + 513- = 0, - х -1Ц + х р-1Г + д133 = 0 - п дС д£
хр-1К + X-1 + ^ + (-1)1 X-1 (ту3 - Т3у) = 0,
П дС (2.4)
- X-1К + Xр-1 Ф + ди33 + X-1 т12 - X-1 т21 = 0 дС
физико-геометрические соотношения
Xр — ^ + к{и, + = —1—- (ти - ит,, - ит33), Л дЪ 1 п 2 (1 + и) 11 33'
11 ди3 1 ( ^ ^ Ч
= 2(Г+\о (Т33 + УТ11 + УТ22}
Т -т - (-У ю3 = 1 с)+4а с )
^ д-и - (-1) ®л = 1СТ3, +Т3) + 4а (и -Т3)
хр\ !т - и+(-1у' щл=1(+т*)+4а( - т*)
, П 2 а (2.5)
^+ Т7дА= —^и -р2ул ^33) А ААу д£ у г, у
Х1 = (Р1У33 -Р2У11 -Р2У22)
дС, у
1 д®, , Я2ц, + - ч .1 дщ Я 2ц, + - ч
1 — -клщл =— (У vл -У V'ЛЬ 1 = — (У VЭ'■ -У vп)
Алд£ л У дС У
Л р 1 дю3 щ Я2ц, + - ч 1 р — тг3 —1 = — (У V3 - у V3,)
А,, д^ г, у
Формулы для выражений Ц, Ц, Г (К¡, К, Ф) получаются из соотношений (1.7), в которых выполнены замены величин (2.1)—(2.3) [16].
При помощи решений внутренней задачи будем удовлетворять граничным условиям (1.6) на лицевых поверхностях а3 = ±к оболочки.
Рассмотрим ПС на крае а1 = а10 и введем замену независимых переменных по формулам [16]
а1 - а10 = Як- а 2 = Як ~р^2, а3 = Як- С, (2.6)
Величины Я, X, 1, р имеют тот же смысл, что и при изучении внутренней задачи.
Будем считать, что искомые величины ПС не меняют своего асимптотического порядка при дифференцировании по
Выполняя замену (2.6) в уравнениях (1.1)—(1.3), получим
±^ + Xр-1 1+ д-!ж + ЯХ-1кл ( - тлл) + ЯХ-1к1 (тл + т и) + X-1 = 0
А1 - ^ А2 - - С П 1Л' К Л 1' г
± 5x13 + хр-1 ± 5x23 +^133 + ЯХ~1к2т13 + ЯХ~1к1т23 - Х-1 Г^ +122^ = 0
А1 А2 5^2 V г1 г2 )
1 % ^ Р-Ч % ^ + Я^ ^22 ) +
+ ЯХ^ + Н)Л X-1 „13-т3 л )= 0
±^ + Хр-11 ^ + Кк-1к у + ЯХ~1к1у23 -Х-1 ^ + Ц + х-1 т12 -Х-1т21 = 0
А1 А2 5^2 V г1 г2 У
X1 — + Як1и2 + — = —^—- (т11 -^г22 -^г33) А11 2 г1 2 (1 + V) 11 22 337
(2.7)
X"+ Як2 Т + -3 = —Ц(Т22 - УХИ - УХ33) Р2 ^2 Г2 2(1 + У)
XI ^^ = —-—- (т33 -vт22)
дС, 2 (1 + V) 33 11 '
"Т ^ - Як1^1 - ®3 = 1 (Т12 + Т21) + -£■ (Т12 - Т21) Л1 д^ 4 4а
Хр 4" ^ - Як2Т2 + ®3 = 1 (Т21 + Т12) + (Т21 - Тп) Л2 д^2 4 4а
^ ^ - (-1)' « = 1 ( +Т-3) + 4а (-т-3)
. 1 1 ди3 и 1 / ч ц / ч
^ — "гг3--1 + ®2 = "(Т13 +Т31 ) + (Т13 -Т31)
Л1 д^1 г1 4 4а
. р 1 ди3 и2 \ ц / \
ХА ^Г - Ъ -®1 =7 (Т23 +Т32 ) + 71 (Т23 -т32 ) Л2 д^2 Я2 4 4а
XII 5? + Як1«2 + ■■ = ^ (11 - Р2^22 - Р2^33)
Л15^1 Г1 у
Xр т5Г + Як2®1 + ■ = ^ (22 - Р2^1 - Р2^33) Л2 5^2 Г2 у
Х1 = Лц (^1У33 _ в2Уц _ Р2У 22)
дС, у
-1 1 дю2 ш Я+ - . р 1 5ю1 Я2ц + -
X— - Як1®1 =-^ (у Vl2 -у V 21), - —1 - Як2®2 =-- (у V 21 Vl2)
Л1 5^1 у Л2 5^2 У
2 2
л 1 да, Я и, + - ч . 1 1 дю3 ю1 Я и, + - ч
X =-- (у V*, - у V,-3), X — —3--1 = —£ (у V13 - у Vзl)
дС У Л1 д^1 п у
- р 1 дю3 ю2 Я и, + - ч Х —^--2 = V23 - У V32)
Л2 д^2 Г2 у
Потребуем, чтобы решение ПС задачи (2.7) при удалении от торца а1 = а10 в глубь трехмерной оболочки было затухающим и найдем условия существования такого решения.
Общее НДС в оболочке определим как сумму НДС внутренней задачи и задачи для ПС. Определяя общее НДС, удовлетворим трехмерным граничным условиям на поверхности края оболочки а1 = а10. Используя условия затухания решений ПС, получим отдельные граничные условия на граничном контуре Г срединной поверхности оболочки для внутренней задачи и граничные условия на поверхности края оболочки Ъ для ПС.
Теории оболочек и ПС будем строить с точностью до величин порядка е , где
£ = 0(А,р-1)
(2.8)
3. Теория микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений. Предположим, что безразмерные физические параметры (2.1) имеют значения порядка единицы.
Проинтегрируем систему уравнений (2.4),(2.5) по независимой переменной Z при учете граничных условий (1.6) на лицевых поверхностях. В результате с асимптотической точностью (2.8) получим следующие асимптотические разложения для величин внутреннего НДС:
V = ш!-p(U0 + X—l+CZ ü]), a¡ = Xl —p—c(ra° + X—l+cZra))
V3 = RXl-2p+c(U3° + X-l+2p-cZ U]), Юз = Xl—2p(®0 + ю—l+2p-cZ®3)
Л h 0 л —l1 \ T-» л l —c / 0 л —l1 \
Gu = pX (Tii + X ZTii), P-ii = RpX (vii +X Zvii) (31)
Л l / 0 Л —l + 1 \ T-» Л l — c/ 0 Л —l +c 9" 1 \
Gij = pX (Tij + X ZTij), Pij = RpX (Vij + X Zvij)
Gi3 = pXl—p+c(TÍ3 +X—l+2p—cZt]3) (i o 3), Pi3 = RpXl—p(vÍ3 + X—l+2p—cZvL) (i o 3)
л o 0 (-1 л — l+2 p—c^
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.