ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2007, том 33, № 3, с. 239-246
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
УДК 621.385.6.01
теория нелинейных волн пространственного заряда в нейтрализованных электронных потоках: газодинамический подход
© 2007 г. А. Е. Дубинов
ФГУП "Российский федеральный ядерный центр - ВНИИ экспериментальной физики",
Саров, Нижегородская обл., Россия Поступила в редакцию 20.04.2006 г. Окончательный вариант получен 31.05.2006 г.
Получено и исследовано точное решение задачи о структуре и динамике продольных нелинейных волн пространственного заряда в нейтрализованном электронном потоке, когда поток представляется как электронный газ с уравнением состояния в виде адиабаты с произвольным показателем. Отдельно рассмотрен изотермический случай. Показано, что указанные волны могут реализоваться в виде быстрой или медленной волны пространственного заряда. Найдены граничные скорости и амплитуды этих волн. Исследовано влияние поперечной ограниченности электронного потока на структуру и динамику волны.
PACS: 29.27.Bd, 52.35.Fp, 52.40.Mj, 52.59.Sa
ВВЕДЕНИЕ
Продольные электростатические волны пространственного заряда (ВПЗ) в нейтрализованных, то есть скомпенсированных по заряду электронных потоках занимают важное место в ряду фундаментальных плазменно-пучковых взаимодействий. Они также играют определяющую роль в процессах, происходящих в плазменно-пучковых СВЧ-генераторах с длительным взаимодействием и коллективных плазменных ускорителях частиц.
Многочисленные эксперименты по исследованию ВПЗ в электронных потоках, ведущиеся в последнее время во многих лабораториях мира (например, [1, 2]), заставляют еще раз обратиться к существующим теориям, посмотреть, все ли там сделано, и остались ли невыясненными или нерешенными какие-либо отдельные вопросы.
Сегодня можно констатировать, что линейная теория для нейтрализованных электронных потоков создана, общепринята и широко освещена в многочисленных монографиях (например, [3, 4]).
Состояние дел в нелинейной теории представляет обзор [5]. Хотя этот обзор вышел в 1993 г., можно считать, что представленный в нем материал отражает современное состояние теории нелинейных продольных стационарных ВПЗ в электронных потоках, так как он практически без добавлений перенесен в недавно вышедшее учебное пособие [6].
Итак, в соответствии с [5, 6], подробно исследована задача о форме и динамике нелинейных стационарных ВПЗ в нейтрализованных холод-
ных электронных потоках, не ограниченных в поперечном направлении [7], рассмотрено влияние поперечной ограниченности электронного потока на характеристики ВПЗ [5], изучено влияние волноведущей структуры на форму и устойчивость ВПЗ [8, 9]. Во всех перечисленных работах рассмотрение велось в рамках гидродинамического подхода, что оправдано для холодных потоков.
В [10] была сделана попытка рассмотрения ВПЗ в теплом электронном потоке в рамках газодинамического подхода. Для этого авторы [10] использовали уравнение состояния электронного газа с показателем адиабаты у = 2. Но как отмечается в [5, 10], такой выбор у был физически не обоснован и связан только с определенным математическим удобством в получении аналитического решения.
В последнее время наметился заметный прогресс в теории нелинейных продольных электростатических волн в других физических системах -ионно-акустических [11] и пыле-акустических [12, 13] волн в плазме. В указанных работах получено решение задачи о динамике нелинейных волн в рамках газодинамического подхода, когда ионная (или пылевая) компонента плазмы представляют собой газ с уравнением состояния в виде адиабаты с произвольным показателем у. Основываясь на достижениях работ [11-13], мы поставили своей целью построение теории нелинейных стационарных ВПЗ в нейтрализованном электронном потоке в рамках газодинамического подхода, когда электронный поток также представляет собой газ с уравнением состояния в виде
адиабаты с произвольным показателем у. Для этого, как и обычно (см. [14]) для бесстолкнови-тельной плазмы, будем считать, что в электронном потоке успевает устанавливаться локальное термодинамическое равновесие за счет некоррелированных кулоновских взаимодействий между отдельными электронами.
Содержание нашей работы следующее. В разд. 1 представлено решение задачи о структуре стационарных ВПЗ в нейтрализованном электронном потоке для безграничного в поперечном направлении электронного потока при постоянной температуре (у = 1). Во-первых, этот наиболее простой случай полезен с методической точки зрения, так как здесь подробно разобран математический метод решения, а во-вторых, решение для изотермических нелинейных ВПЗ в электронном потоке интересно само по себе, и в литературе, насколько нам известно, не встречается. В разд. 2 изложено полное решение основной задачи о ВПЗ для безграничного в поперечном направлении электронного потока при произвольном значении у. Раздел 3 обобщает полученные результаты на случай ограниченного в поперечном направлении электронного потока. Везде считается, что нейтрализующий фон неподвижен и столкновения отсутствуют. В заключении кратко перечислены выводы, которые следуют из анализа полученных решений.
ставим в уравнение движение (2) уравнение состояния в виде
р = РГ.
Введем следующие обозначения
п = -, юр = 74плр0, ^г = ]—,
N т
(4)
т
и нормировки 1
т =
v 0
(5)
t = — t , X = — х , р = р0р
Ю
Ю р
(6)
v 0
v = "v о v, Ф = — ф.
Тогда после подстановки (4) и использования (5) и (6) исходные уравнения примут вид (штрихи у безразмерных переменных здесь и далее опущены):
др , д(р v) =
дt дх
= 0,
д V + " Эх) = Эф 1п р ) д t дх дх дх
(7)
(8)
1. ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ВПЗ
Рассмотрим безграничный стационарный однородный электронный поток с плотностью заряда р0, движущийся Вдоль оси х со скоростью v,) сквозь неподвижный нейтрализующий фон. Будем считать, что вдоль оси х приложено бесконечное магнитное поле, исключающее возможность поперечного движения.
Будем исходить из следующей стандартной системы уравнений для скорости электронов в потоке v, плотности пространственного заряда р, давления электронного газа Р и электрического потенциала ф:
Эр + Э( ру;> = дt дх
(1)
д ф = р 1
д х2
(9)
Будем искать решение этих уравнений в виде бегущей со скоростью и стационарной ВПЗ, для чего введем новую автомодельную переменную
С = х - Ш, — = -и -т), =- = -:). (10) ^ й йС дх йС
Тогда система уравнений в частных производных (7)-(9) сведется к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
ийр + й( р v ) = 0 dv + й V = йф й ( 1п р )
VЩ, = йс- Т'
(11) (12)
т
дv + дv Л = Эф е др дt д х) д х рЭ х'
^4 = 4п(р - Р0),
д х
(2)
(3)
где е и т - заряд и масса электрона. Считая, что электронный газ ведет себя изотермически, под-
йф
"Г2 = Р - 1.
й С2
(13)
Решения уравнений непрерывности (11) и движения (12) можно легко получить простым интегрированием с учетом условий р = 1 и V = 1 при ф = 0:
V = 1 (1 - и + ри), р г
(14)
2
Ф
0.04
0.02
-0.02 -
-0.04
Рис. 1. Графики зависимости ф(р) (16), отбрасываемые ветви показаны пунктиром: 1 - при и = 1.3, т = 0.2; 2 - при и = 0.5, т = 0.2.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
-(т - т 1п т - 1)
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-1.0
фтт
Рис. 2. График зависимости минимального значения потенциала в изотермической ВПЗ от скорости волны Фтщ(и) при т = 0.2.
В итоге получим
и - 1
тт
1 - и
т
при и > 1, при и < 1,
(18)
и( 1-V) + 1( v 2-1) = Ф - т 1п р. (15)
Подставим (14) в (15) и получим важную для дальнейшего рассмотрения зависимость ф(р).
Ф = и
1 - 1 (1 - и + ри) р
+1 2
-1 (1 - и + ри) - 1
(16)
т 1п р.
с1ф = р 2 т - (и - 1 ) - = о йр р3 .
(17)
Фп
12. . , (и - 1 --и + и + т 1п -—
2 ^ я
при и > 1,
12 , . (1 - и --и + и + т 1п ——
2 ^ тт
1
2
1
2
т-2
т 2
(19)
График этой зависимости имеет вид кривой, имеющей минимум. Кроме того, эта зависимость обязательно должна иметь корень р = 1, соответствующий квазинейтральности невозмущенной системы "электронный поток-фон". Типичные графики зависимости ф(р) представлены на рис. 1, причем у одного из примеров правая ветвь проходит через точку квазинейтральности, а у другого примера - левая ветвь. Ветви, которые пересекают ось абсцисс в другом месте, нефизич-ны, и их необходимо отбросить. Отбрасываемые ветви показаны на рис. 1 пунктиром.
Для определения положения минимума зависимости ф(р) найдем ее производную и приравняем ее нулю:
при и < 1.
Обратим внимание, что в плотности заряда в (18) использовался индекс тах, так как там, где электростатический потенциал имеет минимум, плотность электронов максимальна. В этом еще раз убедимся ниже.
В дальнейшем понадобится вторая производная (16):
/2ф р 2т - 3 ( и - 1) 2
(20)
й р р
На рис. 2 представлена зависимость фтщ(и) при не слишком большом значении т: (т < 1), т.е. для теплого электронного потока. Видно, что весь диапазон возможных значений скорости волны и разбился на четыре участка
1: 0 < и < 1 - Тт,
2: 1 - Тт < и < 1,
3: 1 < и < 1 + Тт,
4: 1 + Тт < и <
и
0
р
тах
и
Р,ф
1.5
1.0
0.5 0
-0.5
1.5 1.0
0.5 0 0.5
(а)
Р ф
10
20 (б)
30
10
20
30
40
С
40
С
йф = й ф й р + й ф {йр Л2
1С2 =йС2 Тр2 ,
± = /1 (р)р+/и(р)Ри
(23)
с компонентами
и = -1,
22 / (р) = 1 р Т - 3 ( и - 1 ) 1 Рр2Т - (и -1 )2
и /_! (р) = 2Р(Р - 1 ) 2 .
р т - (и - 1)
(24)
йф йр 2
-1.0 -0.5
Рис. 3. Структура изотермической ВПЗ (профили Р(С) и ф(С)) при и = 1.75, т = 0.2: а) - при малом начальном возмущении; б) - при предельно большом начальном возмущении.
два первых из которых соответствуют медленной ВПЗ (МВПЗ), а два других - быстрой ВПЗ (БВПЗ). Координаты характерных точек зависимости фтщ(р) показаны на рис. 2. Легко понять, как трансформируется график зависимости фтЬ(р) при росте Т. В случае Т > 1, когда систему "электронный поток-фон" уже можно считать плазмой с горячим и слегка дрейфующим электронным газом, область 1 исчезает, а нижняя граница области 4 сильно смещается вправо.
Рассмотрим теперь уравнение Пуассона (13). Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции
0.5
2.0 Ф, Р
-1
-2
Рис. 4. Фазовый портрет изотермич
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.