научная статья по теме ТЕОРИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО АНОДНОГО ПАДЕНИЯ В РАЗРЯДАХ НИЗКОГО ДАВЛЕНИЯ Физика

Текст научной статьи на тему «ТЕОРИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО АНОДНОГО ПАДЕНИЯ В РАЗРЯДАХ НИЗКОГО ДАВЛЕНИЯ»

ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2013, том 51, № 1, с. 13-23

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛАЗМЫ

УДК 537.525.5

ТЕОРИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО АНОДНОГО ПАДЕНИЯ В РАЗРЯДАХ НИЗКОГО ДАВЛЕНИЯ

© 2013 г. Я. И. Лондер, К. Н. Ульянов

Всероссийский электротехнический институт им. В.И. Ленина, Москва Поступила в редакцию 03.04.2012 г.

Предложена кинетическая модель анодной области с отрицательным падением потенциала, в явном виде учитывающая отношение направленной скорости электронов в плазме v0 к их тепловой скорости в качестве параметра функции распределения электронов по скоростям. Получено трансцендентное уравнение для определения отрицательного анодного падения как функции отношения v0/VI-. Показано, что в отличие от известной формулы Ленгмюра анодное падение остается отрицательным при любом значении отношения v0/vT. При малых значениях v0/vт ^ 1 полученное выражение асимптотически переходит в формулу Ленгмюра. Показано, что зависимость концентрации электронов от потенциала отличается от закона Больцмана. В качестве примеров рассмотрены анодные области короткого сильноточного вакуумно-дугового разряда и классического разряда низкого давления. Для вакуумно-дугового разряда рассчитаны распределения плотности тока и анодного падения по поверхности анода в условиях сильной контракции тока. Для разряда низкого давления рассчитаны падения потенциала на области неоднородной прианодной плазмы и слое объемного заряда.

ВВЕДЕНИЕ

Для определения отрицательного анодного падения (АП) Ленгмюр предложил использовать формулу вольтамперной характеристики зонда при движении электронов в тормозящем электрическом поле [1]. Формула Ленгмюра относительно обезразмеренной величины АП ца = е^а/кТе может быть записана в виде

Па = 1П (1)

vT

где фа — величина АП, v0 — направленная скорость

потока электронов в плазме, Vт = ^8кТе/ пт — тепловая скорость электронов, к — постоянная Больцмана, е — абсолютная величина заряда электрона; Те и т — температура и масса электронов соответственно. При увеличении отношения абсолютное значение анодного падения уменьшается, и при v0| ут = 0.25 оно обращается в нуль. В этом случае электронный ток, втекающий из плазмы в анодный слой, достигает своего максимального значения (ток насыщения) у8а1 = 0.25епеут. При выводе формулы (1) авторами [1] был сделан ряд допущений. Во-первых, предполагалось, что электроны в тормозящем электрическом поле распределены по закону Больцмана. Это предположение справедливо только в том случае, когда у0/^ 0 (при этом фа ^ —да). При наличии потока электронов на анод отклонение от закона Больцмана будет тем больше, чем больше отно-

шение v0/ vт. Во-вторых, при выводе (1) авторы [1] предположили, что функция распределения электронов по скоростям (ФРЭС) является симметричной максвелловской функцией. Это предположение можно считать приемлемым только в приближении у0/ут ^ 0. Кроме того, в модели [1] неявно предполагалось, что при переходе через границу плазмы и анодного слоя концентрация электронов сохраняет свое значение. И это предположение является приемлемым только в приближении v0¡ ут ^ 0, когда попадающая на анод часть электронного потока составляет крайне незначительную часть от электронного потока, входящего в слой. В противоположном случае, например, при фа = 0, когда весь электронный поток достигает анода, в модели [1] при переходе через границу плазма—слой концентрация электронов должна уменьшаться в два раза. Для устранения такого рода скачков концентрации на границе необходимо вводить нормировочную функцию, обеспечивающую непрерывность концентрации электронов при переходе через границу слоя. Такая нормировочная функция была введена в работе Боксмана и Голдсмита [2], в которой также постулировался больцмановский закон распределения концентрации и использовалась симметричная максвелловская ФРЭС. В [2] для ца было получено выражение, отличное от формулы (1). Это выражение представляет собой неявное от-

носительно ца уравнение, которое может быть представлено в виде

Zi

vT

C

Box

exp(na), Cbox

1 + erf(V-ny

(2)

Здесь CBox — нормировочная функция из работы [2], erf(x) = (/л/я) Jj)" exp (-t2 ")dt — интеграл вероятности. Формула (2) переходит в (1) когда функция erf ^ 1, (например, при -ефa/kTe = = 3erf (V3) = 0.985), при этом vo/vT = 1.2 х 10-2. Однако, в отличие от (1), ца = 0 достигается при vol vT = 0.5.

Таким образом, как формула Ленгмюра (1), так и формула (2) справедливы только при v0/vT ^ 0, причем область применимости этих формул при v0lvT Ф 0 не определена. В настоящей работе предложена теория отрицательного АП, свободная от сделанных в [1, 2] и указанных выше допущений. Показано, что при любых значениях v0/vT величина АП отрицательна, а закон зависимости концентрации электронов от потенциала отличен от закона Больцмана.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Будем предполагать, что ФРЭС в плазме является максвелловской и в общем случае имеет вид

fpl (v) =

= Npl (m/2nkTe)2 exp[-(ml2kTe)(v- vo)2].

(3)

Здесь — концентрация электронов в плазме, v0 — вектор направленной скорости потока электронов. Концентрацию и направленную скорость потока можно выразить через первые два момента функции распределения:

да да

N1 = | /р1 (V) йг, VoNpl = | / (V) й^.

—да —да

Направим ось Z декартовой системы координат в сторону анода и далее будем считать, что вектор V) имеет только ^-компонент, который обозначим как V) Предполагая задачу одномерной, проинтегрируем (3) по поперечным скоростям vx и vy в пределах от —да до +да. В результате выражение (3) примет вид

fpl (vz) =

= Npl (m/2nkTe)2 exp[-(mj2kTe)( - vo)2].

(4)

Используя (4), вычислим плотность потока электронов П р1, падающих на границу плазмы с анодным слоем в направлении оси ^

П>1 = N>1 (т/2пкГе)1/2 х

х J exp | -

o

NpiVT ^

vT

4

2 Vi

[-(m/2kTe)(vг - vo)2yv

_I

4nvT )_

(5)

1 + erf I 2 vo

2

+ exp

4 vo 2

П vT )

Сравним поток П р1 с дрейфовым (направленным) потоком электронов к аноду Рассмотрим

отношение этих потоков. Непосредственно из (5) следует:

Npiv o = 4vo _ П p

1

vT

exp

и 2Л

4 vo

nv

T

+ 2 vo

vT

1 + erf I

2_ v,

vT J_

. (6)

Правая часть (6) зависит только от параметра v0/ vT. Согласно (6) при любом значении этого параметра дрейфовый поток Np1v0 меньше потока П р1. Это означает, что в стационарном режиме часть электронов должна отражаться потенциальным барьером обратно в плазму, т.е. анодное падение не может быть положительным.

Рассмотрим теперь поведение электронного газа в узком слое между плазмой и анодом. В этом слое движение электронов можно считать бес-столкновительным. В предположении, что электрическое поле в слое зависит только от координаты г, ФРЭС удовлетворяет одномерному бес-столкновительному кинетическому уравнению Больцмана, имеющему следующий вид:

dfsh _ e dfsh = o dz m dvz

(7)

Здесь fSh — ФРЭС в слое; Ez = - d ф/dz — электрическое поле; ф(г) — потенциал, отсчитываемый от границы слой—плазма. Выражение

mv^/2 - еф = const является интегралом уравнения (7), следовательно, общее решение (7) можно записать в виде

fsh = Ф (v2 - 2еф/m),

(8)

где Ф — произвольная функция аргумента. Непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что функция (8) действительно является решением уравнения Больцмана (7). На границе слой-плазма (при ф = 0) функция /кЬ для скоростей ^ > 0 должна совпадать с функцией /р1, а для скоростей vz < 0 вид функции/^ определяется отраженным от потенциального барьера электрон-

4

V

ным потоком. Такой функцией/^, удовлетворяющей указанным условиям, является функция

fsh (ф, v,) = CNр1 (ml2nkTe)2 х

х exp

(m/2kTe)(( -2еф/.

m - v(

(9)

х H( 2e(ф-фа)/m).

Здесь Н(х) — ступенчатая функция Хевисайда: Н(х) = 1 при х > 0 и Н(х) = 0 при х < 0; С1 — нормировочная функция, зависящая от параметра V0/Vт. Следует отметить, что в слое направленная скорость потока электронов и их температура зависят от потенциала, а величины v0 и Те в выражении (9) являются внешними параметрами функции распределения /8Ь (ф, Vг), задаваемыми на границе плазмы со слоем. Выражение (9) можно записать в другом виде, используя в качестве параметра отношение V 0/ vт:

х exp

fsh г) = CNpi ((2/n)/vT) х

(4/n)vllVT -П -(A/") Vt)2

х H(((Jn) v,/Vt + л/п-П„).

х (10)

В (10) п = еф/кТе — безразмерный потенциал.

Приравнивая концентрации и направленные потоки электронов по обе стороны границы слой—плазма, получим два уравнения для определения С1 и фа (или па) как функций параметра v0/vт. Интегрируя /р1 () по ^ в пределах от —да до да, а /8Ь (0, Vг) по в пределах от =

= 2ефа/т до да и приравнивая результаты, получим выражение для нормировочной функции С1

C = 2 [i + sign (Р) erf в + 2erf ((2/л/Л) v0/vT)],

(11)

где Б^п(х) = 1 при х > 0 и 81§п(х) = —1 при х < 0. Отметим, что нормировочная функция С1 существенно отличается от функции СВох. Далее, приравнивая направленные потоки электронов по обе стороны границы слой—плазма, получим уравнение, связывающее у0/vт и па.

v0Npi = J vf (0,v, )dvz

v min

= CiNpi ^ {exp (-P2) + 2 V0 [1 - sign (p) erf Щ].

(12)

vT

Подставляя в (12) выражение для С1 из (11), получим трансцендентное уравнение, позволяющее определить зависимость па от параметра v0/ут:

v 0

1

exp 1-|

(-в2)

____(13)

Vt 4 erf ((^^л/Л) v„/vT) + sign (в) erf |р|'

Уравнение (13) записано в виде, удобном для его решения методом последовательных приближений. Сначала задавалось некоторое значение вспомогательного аргумента в, затем методом последовательных приближений решалось уравнение (13), найденное значение v0/vT подставлялось в выражение для в и, наконец, определялась величина АП (значение безразмерного потенциала анода na). Параллельно с ца рассчитывалась определяемая выражением (10) нормировочная функция С1.

В области малых значений v0/vT, предполагая дополнительно, что ((4/Vrc) v0jvT}<J-&pJkTe < 1 и используя разложение формулы (13) в ряд Тейлора, получим

I - ((4/УЛ) v0v

4 — = exp (n)-

vT

Ivt W -П

(14)

1 + (4/ п)vo| ^т ' Второй сомножитель в виде дроби в правой части выражения (14) является корректирующим множителем к формуле Ленгмюра в области значений

V0/Ут 1.

Получим зависимость концентраци

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»