ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2011, том 45, № 6, с. 641-647
УДК 542.47
ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС ПРИ СУШКЕ В ОСЦИЛЛИРУЮЩЕМ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
© 2011 г. С. П. Рудобашта, Э. М. Карташов*, Н. А. Зуев
Московский государственный агроинженерный университет им. В.П. Горячкина *Московская государственная академия тонкой химической технологии
rudobashta@mail.ru Поступила в редакцию 07.02.2011 г.
Сформулирована и аналитически решена задача, описывающая тепломассоперенос при сушке плоского тела (или слоя материала) в осциллирующем электромагнитном поле при граничных условиях тепло- и массообмена третьего рода. Проведен численный анализ процесса.
ВВЕДЕНИЕ
В последние годы все чаще для проведения процесса сушки используются осциллирующие и импульсные режимы [1—8], которые в зависимости от решаемой технологической задачи проводят путем: 1) осцилляции скорости сушильного агента, продуваемого через слой материала в режиме, например, псевдоожижения [1]; 2) чередования процессов конвективного нагрева материала и последующей вакуумной сушки [2, 3], чередования стадий нагрева и остывания слоя материала при его облучении электромагнитным полем [4—6], при импульсном энергоподводе, вызванном, например, ударным нагру-жением материала [7, 8]. Осциллирующий режим создает щадящие условия сушки, что чрезвычайно важно для термолабильных материалов — в целях сохранения их кондиционных свойств. При сушке материалов в электромагнитном поле необходим осциллирующий режим, при котором стадии облучения материала чередуются со стадиями обдува материала газовой средой с невысокой температурой — во избежание перегрева материала. Это может быть сушка с подводом энергии только с помощью электромагнитного поля, когда материал обдувается холодным газом (например, атмосферным воздухом), либо комбинированная конвективно-электромагнитная сушка, при которой для повышения энергетической эффективности процесса часть энергии, затрачиваемой на сушку, подводится конвективно.
При проведении процесса сушки термолабильного материала в осциллирующем электромагнитном поле важно знать динамику температурного поля материала для того, чтобы можно было выбрать правильный технологический режим и оценить возникающие в материале температурные градиенты, способные вызывать термодиффузию и молярный перенос влаги. Для получения информации о температурном поле материала, высушиваемом в осцил-
лирующем электромагнитном поле (это может быть инфракрасная сушка или сушка материала токами высокой или сверхвысокой частоты), ниже сформулирована и аналитически решена задача взаимосвязанного тепломассопереноса при сушке плоского материала (пластина или плоский слой высушиваемого материла), обдуваемого потоком газа (сушильного агента).
ПОСТАНОВКА И АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
При формулировке задачи приняты следующие условия и допущения:
— тело имеет форму неограниченной пластины толщиной Я и находится на поверхности, непроницаемой для потоков теплоты и влаги;
— противоположная поверхность тела участвует в процессе тепломассобмена с потоком газа по законам тепло- и массотдачи;
— термодиффузия и молярный перенос влаги в теле отсутствуют (это условие правомерно, поскольку рассматривается низкотемпературная сушка термолабильных материалов);
— электродиффузией согласно [9] также пренебрегаем, следовательно, внутренний массоперенос осуществляется только путем массопроводности;
— при формулировке задачи теплопроводности принимаем допущение об отсутствии внутренних фазовых превращений (сток теплоты на испарение влаги имеет место у поверхности тела);
— поглощение лучистой энергии происходит согласно закону Бугера—Ламберта—Бера;
— коэффициент проницаемости тела равен нулю;
— циклы "нагрев—остывание" тела одинаковы по длительности с одинаковыми значениями в них длительностей стадий нагрева и остывания;
Л(т)
"nag
Т, С
Рис. 1. Периодическая функция /[(т) в уравнении (9).
— все теплофизические и электрофизические характеристики материала, кинетические характеристики процесса, а также температура сушильного агента и концентрация пара в нем постоянны.
С учетом вышеизложенного сформулируем сначала задачу массопроводности, поместив начало координат в основание пластины — в виде
^^ = кд\ 0 < х < R, т> 0; дт дх
и (х, т) = unach (х), 0 < х < R, т = 0;
и (х, т) = ß c (Cs,p - Cs), x = R, т> 0; du (х, т)
дх
= 0, х = 0, т> 0.
(1)
(2)
(3)
(4)
E =
и - и*
*nach
- Ur
Z Бк exp (-ß2kFom),
(5)
к=1
Б к =
Bl m
2Bii
(6) (7)
ßк (Bim + ßк + Bim )' На основе (5) найдем интенсивность сушки i (т):
i (т) = - d-U Rp 0 d т
^Zк exp(-ßкFOm
R
к=1
U и - ur
nach
(8)
и влагосодержания материала: к = /(и, 1), но применение зональной методики расчета [10] позволяет учесть это изменение.
Зная интенсивность сушки /(т), сформулируем задачу одностороннего нагрева пластины в осциллирующем электромагнитном поле с учетом стока теплоты на испарение влаги следующим образом:
• 1 ц*?оехр[-ц* (Я - х)](1 - Я *) (т),(
дт
д 2t ^ a—2 +'
дх cp
т> 0, 0 < х < R; t (х, т) т_0 = f2 (х), 0 < х < R; dt
дх
= 0, т > 0;
х=0
X*
дх
= а(ts -1(R))- r*i(т), т> 0,
(9)
(10) (11)
(12)
Решение задачи (1)—(4) применительно к средне-объемному влагосодержанию в теле й при k, вс, unach, cs = const имеет вид [10]
где р k — корни характеристического уравнения (в k > 0)
где a, c, ро, ||*, q0, A, X, a, R, tc, r* = const; f (т) — единичная периодическая функция, отражающая цикличность облучения (рис. 1):
да
f (т) = X П (т - nTts ) - П [т - (nxts + т nag )] , (13)
n=0
где п — единичная функция Хевисайда. При n = 0 имеем один цикл:
fl (т) = П (т) -П (Т-Т nag ) .
Выражение q(x) = ^*q0exp[-^* (R - x)] в (9) описывает количество тепловой мощности, выделяющейся в единице объема пластины в плоскости с координатой х — в соответствии с законом Бугера— Ламберта—Бера, Вт/м3. Как видно из (12), математическая формулировка задачи предполагает, что сток теплоты на испарение влаги происходит у поверхности тела. В целях общности постановки задачи сделано предположение, что начальная температура в пластине распределена неравномерно — согласно функции f2 (x) в (10).
Введем обозначения
Wo ; ф(т) = ; h = a,
cp а X
тогда задача (9)—(12) примет вид
dt
a I2! + Wfi (т) exp [-ц* (R - х)], дт дх
0 < х < R, т > 0, t (х, т) т_0 = f (х), 0 < х < R, dt (х, т)
дх
= 0, т> 0;
(14)
(15)
(16)
х=0
dt (х, т)
дх
х=R
Коэффициент массопроводности к в процессе сушки изменяется, являясь функцией температуры
-h[t(x,т)=R + ф(т) - tc], т> 0. (17)
Введем новую функцию
tx (x, т) = t (x, т) + Ф (т), (18)
Т
0
0
Т
ts
да
и перепишем задачу (14)—(17) в виде
| = а0 + Ц/ (т) ехр [-ц*(Я - х)] + & (19)
0 < х <Я, т > 0;
h (х> Т)т=0 = /з (х0 ^ х ^ Я;
dti (х, т)
дх
= 0, т> 0;
х=0
дь (х, т) , г / м т
-Ш = -П[[ ^т)х=я - К] т> 0. дх х=я Здесь
/ъ (х) = / (Х) + ф (0) ,
йф _ г* й! (т) й т а й т Переходим к безразмерным величинам:
(23)
£ = х; Fo = Ц; Я Я2
_ АЯ2
КЯ2
a (nach ts )
КЧАЯ2 ,
Сра ((пасП ) ^ ((пасП )
в _ ПЯ м*-м*Я т* _Ъ£• т* - Тпа£а
в _ ПК, м0 _ м Я, тц _ 2 , тnag _ 2 ,
Я Я
где ^асЬ— масштабная начальная величина;
/0 Ю
_ /з (х) - ts _ [/2 (х) - ts ] + ф (0) _
tnach ts
tnach ts
Vh (х) - tc] + Иa)i(0)
tnach ts
Ф0(Fo)
Я2
^Ф (т) _
Я 2r*
di (т)
'(nach - ts) d T aa (nach - ts) d T
Л* (Fo) = X n (Fo- nT* ) -n
n=0
Fo- |ЛХ* +T*ag
W (2,,Fo)
= fr (х, т) - ts = [t (х, т) - ts] + Ф (t) =
tnach ts ^ nach ts
= [ (х, т)-] + (г*/ а) (т)
1пасП
Все безразмерные величины записаны через ис ходные данные задачи, что удобно для расчетов. Теперь исходная задача приводится к виду
+ 00/* (Fo) exp
-Ио (1
dW = д W dFo д^2
0 <£< 1, Fo > 0; W(%,Fo)Fo=0 = /0®, 0^1; dW {%, Fo)
+ Ф0 (Fo)
= 0, Fo > 0;
dW fe Fo)
= - Bi W ( Fo) .=1, Fo > 0. (32)
5=1
Задачу решаем с помощью таблиц Карташо-ва [11] методом конечных интегральных преоб-
(20) разований. Выпишем все формулы.
1. Изображение функции:
(21) (22)
W (цn, Fo) = J W ( Fo)cos ц n^ d
0
2. Изображение d 2Wjd 12:
(33)
Cd 2W ,,,
J ^T^cos ц n%d % =
3%
x cosЦn
dW
.3%
+ BiW
5=1
dW
d%
(34)
-Ц 2nW = -ц iW (ц n,Fo).
5=0
3. Формула обращения:
" (uI + Bi2)cosunE— W ( Fo) = 2X n 2 -2 J. W(u n,Fo), (35)
u n + Bi + Bi
(24) где Ц n > 0 — корни уравнения
И
ctg^
Bi
(36)
В пространстве изображений задача (29)—(32) пе-(25) реходит в задачу Коши:
dW ..2
d Fo
+ и2nW = 00/Г (Fo) А (и* ) + Ф0 (Fo) А (0),
, (26)
, (27)
(28)
Fo>0, W(иn,Fo)|FQ=0 = /0 (иn). Здесь
An (^0) = X exP ((1 cos ^
(37)
(38)
An (0) = An U
Ц0 =0
/0 (Цn) = J/0 ©cos Цn\d% (39)
Решение задачи Коши (37) имеет вид
(29)
(30)
(31)
Fo
W(^n,Fo) = /0 (^n)eFo + 00An [ц* j Je
-Ц n(Fo-y)
Fo
(40)
X /1* (y)dy + An (0) JФ0 (y)e-^n(Fo-y)dy.
5=0
0
30
0
0
0
0
rFo ,, 2
шение:
J'Fo 2 (F - )
e 0 у'ф0 (y)dy в
0
третьем слагаемом выражения (41). Перепишем для + Bi2) cos цл ^ * этого (8) в виде -2—n.2 n. e If0 Isjx / л
=1 цп + Bi + Bi 0 P0\Unach - Ur )a Lu» * _
i (T) = --У Bke -pkLuFo, (46)
R k=i
W(S,Fo) =2Z ■■ n + Bi2 + Bi e Jf0(S)
n 0
n + Bi2) (■*)cos ■ nS
cos ■ nSdS + 200£ 2 B.2 - * 2
n=i ■ n + Bi + Bi (41) где ßк > 0 корни уравнения (6); Бк = B^ßк.
Fo Из (26) получим:
X J в(y )dy + ^ (Fo) = R 2r* di(T) = R 2r* di (Fo) a
0 aa((nach - ts) dT aa(tnach - ts) dFo R2
^(■n + Bi2)An(0)cos^nSFг (Fo-y)
2Z-2-Je фо(y)dy. Л (u -u*)aLu2
■ n + Bi+ Bi 0 r Po \unach %)a Lu zß2B-P2LuFO
■ n + Bi2 + Bi J Г P0 (unach - up)a Lu
Рассмотрим частный случай. Пусть a (tnach - ts )R
}к
в
к=1
t(x, т)t_0 = tnach, 0 < x < R, т.е. в (10)
f2 (x) = tnach = const. Из (25) находим = Ny p2 B*e -PkLuFO,
f (£) = (tnach - ts) + (r*/«>' (0) = ^ (42) k=1
tnach - ts где
Тогда первое слагаемое в (41) примет вид / л 2
11 Г*Р0 (Unach - Ur)a Lu
W ( F ) 2N V n + Bi2) An (0)cOS И n^ 2 Fo (43) N1 =--L-1-
W1 (^,Fo) = 2N0 ^-n2 Bi-^ • (43) 1 a (tnach - ts )R
n=1 И n + Bi + Bi „
Второе слагаемое в (41) остается без изменения, Отсюда искомый интеграл равен перепишем его в виде
(47)
Тх, ^ Ч ^ (Ц2n + Bi2)An(Hi0)CoS ЦJ, W2 (%,Fo) - 200 Z-=-=-- х
JФ0 (y)-^"(Fo-y)dy = Dne(48)
n=i
Fo
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.