ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2004, том 42, № 4, с. 594-600
УДК 621.1.016:536.25
ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ОБТЕКАНИИ ХАОТИЧЕСКИ РАСПОЛОЖЕННЫХ ЦИЛИНДРОВ ЛАМИНАРНЫМ ПОТОКОМ
© 2004 г. А. П. Можаев
Москва
Поступила в редакцию 16.06.2003 г.
Аналитически исследуется изменение интенсивности теплообмена в системе параллельных, продольно обтекаемых ламинарным потоком тепловыделяющих цилиндров при переходе от упорядоченной структуры к хаотической.
ВВЕДЕНИЕ
Моделирование теплового состояния продольно обтекаемых ламинарным потоком хаотически расположенных цилиндров в стационарном стабилизированном режиме течения допускает аналитическое решение, которое возможно распространить на другие неоднородные проницаемые структуры. Кроме того, представленный анализ может использоваться при расчете компактных теплообменников или активных зон ядерных реакторов в аварийном режиме работы.
УПОРЯДОЧЕННАЯ СИСТЕМА
Для упорядоченной системы (рис. 1а) рассматриваются два варианта теплообмена: с пуазейлев-ским и равномерным (стержневым) профилями скорости охладителя.
Пуазейлевское течение. В работах [1, 2] совместно решались гидродинамическая и теплообмен-ная задачи для упорядоченной системы равномерно нагреваемых цилиндров. Решение было получено в виде быстросходящихся рядов. Определено число Nu для 1.001 < h/dp < 4.0. Показано, что при h/dp > 1.5 любую упорядоченную конфигурацию (треугольную, квадратную, шестиугольную) системы цилиндров можно заменить эквивалентным кольцевым каналом, окружающим цилиндр. Ошибка при расчете числа Nu в этом случае не превышает 5%. Для пористости П справедливо равенство
П ='-271 ( h
(1)
1 = 1- П.
(2)
Несмотря на геометрическую простоту исследуемой ячейки критерий № рассчитывается по очень громоздкой формуле, которая здесь не приводится. Ниже будут графически представлены результаты расчета Ш, полученные в работе [2]. Структура однородная, поэтому среднее значение (Ш) = Ш, средняя пористость П = П. Характерным размером является йр, гидравлический
из которого следует условие существования ячейки с кольцевым каналом: П > 0.6. Размер ячейки ^ определяется соотношением
Рис. 1. Упорядоченная (а) и хаотическая (б) система цилиндров.
2
диаметр для системы стержней при ламинарном течении не применяется [2, 3].
Стержневое течение. Используется ячейка с кольцевым каналом П > 0.6, но с равномерным профилем скорости. На рис. 2 представлена схема ячейки. В работе [4] при исследовании теплообмена в микроканалах приводится обоснование применения стержневого течения для малых Ре. В основном это связано с тем, что для условий с интенсивным влиянием теплопроводности по стержню и теплоносителю конвекция дает относительно небольшой вклад в общий теплоперенос.
Определение критерия № для ячейки на рис. 2 можно проводить обычным методом: решаются простейшие одномерные уравнения переноса тепла отдельно для стержня и жидкости, используются условия сопряжения на границе фаз, теп-лоизолированность внешней границы кольцевого канала и т.д. Но можно рассчитать Ки другим способом, используя ступенчатый характер тепловыделяющих и скоростных полей. В этом методе используется математический формализм внутреннего теплообмена в пористой среде.
Введем характеристическую функцию 0(г):
0( r) =
1, если г находится в жидкой области, 0, если г находится в твердой области.
Тогда уравнение теплопереноса для всей ячейки 0 < г < гI = 2г) имеет вид (направление оси X противоположно вектору скорости)
Рис. 2. Схема тепловой ячейки в однородной структуре параллельных тепловыделяющих цилиндров при стержневом течении охладителя.
1 3^3 п 1 - 0 0 . dt n
ГэГГ Tr J + Г-п qv + п cmdX = 0 (3)
Проинтегрируем уравнение (3), тогда с учетом (4), (5) получим
здесь X = (1 - 0)Х. + 0^; т - удельный расход охладителя; с - удельная теплоемкость; т = ри. Ус. дг
ловие стабилизированного режима - ст-т- = qv.
д х
Граничные условия X^L д r
= 0.
r = 0, r = ri
Уравнение конвективного теплообмена • д t
cm=— = av(t - T). д x
(4)
= 2rdr ff 1 av = r2JX r J11
nr -,2
1 0 - 0 I rdr
-п п
0
(6)
Выражение (6) является аналогом интеграла Лайона (Lyon R.N.) для коэффициента внутреннего теплообмена.
Учитывая, что удельная поверхность цилиндров Sv = 4(1 - n)/dp, av = Sva и Xs > Xg, из (6) имеем
J_ = ln ( 1 - П ) _ J__1 Nu = 4 п2 4П 8.
(7)
r
0
Определение средних температур
r r
T = r2J f-ПTrdr•'' = 2 JnTrdr- (5)
0 0
Согласно [4] при стержневом течении в трубах вычисляемая интенсивность теплоотдачи максимальна, аналогичное утверждение справедливо и для продольного ламинарного обтекания цилиндров.
Рис. 3. К выводу уравнения теплообмена в хаотической системе параллельных цилиндров.
ХАОТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Неоднородность структуры (рис. 16, рис. 3) предполагает использование вероятностных методов для определения средних значений физических величин, в том числе критерия (№).
Постановка задачи. В системе неупорядоченных цилиндров справедливы обычные стационарные уравнения теплообмена
12
10
(Кц)
п
0
0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
Рис. 4. Интенсивность теплообмена в хаотической и однородной системах цилиндров: штриховые кривые - упорядоченная система, сплошные - хаотическая система, 1 - стержневое течение охладителя, 2 -пуазейлевское течение.
У(срит + q) = , q = -X—т,
(8)
где т - непрерывное температурное поле системы.
Теплопроводность X структуры определяется через характеристическую функцию б(г). Теплообмен стабилизирован, поэтому рассматривается плоская задача и все усреднения проводятся по площади сечения, поля скоростей и тепловыделения являются равномерными, такими же, как при стержневом течении в упорядоченной системе.
Усредним уравнения (8) по кольцу = 2пгАг с центром в любой точке системы (рис. 4), применяя метод усреднения [5]. Толщина кольца Аг < г, но при г > Я0, где Я0 - сколь угодно большой фиксированный радиус, в кольце содержится множество цилиндров. Поэтому из (8) получим
1Э_ Л ¡К
гдгI г дг
Пг д гг 1- Пг
+ сштг- +-т= а„ = 0,
П д х 1-П "
(9)
Условие стабилизированного режима имеет вид
дгг
-СГйТх = ^ ■
(11)
В уравнениях (9)- (11) и на рис. 3 используются следующие величины:
г + Аг 2п
П
= 1 I !0(г'Ф)г^Ф, (12)
г
г 0 г + А г 2п
гг = Пу | |е(г, Ф)т(г, ф)гйгйф, (13)
г0 г + Аг 2п
Тг (1- Пг ) $
П— I |[ 1- е(г, ф)]т(г, ф)гйгйф.(14)
1 - Пг
1 ПТ = г( Тг - гг) ■
(10) Усредненные параметры Хг и г будут определены ниже. Переменные Пг, гг, Тг позволяют вычис-
8
6
4
2
0
г
лить истинные средние значения П(В), г (В), Т (В). Действительно, для Аг < В0 легко показать, что
В 2п
П( В) =
п( В2- В2)
11 0(г, ф)гйгй§ =
Во 0 В
(15)
В2 - В20
| Пггаг,
Во
В 2п
г( В) = —
пП( В)(В2- В2)
П( В)(В2- В2)
110(г, ф)т(г, ф)гйгйф = В*° . (16) | Пггггаг,
Т( В) =
п[ 1- П( В)](В2-В2)
х
В 2п
х 11 [ 1 - 0(г, ф)]т(г, ф)г^ф = (17)
В0
способом, а усреднение проводится на заключительном этапе. Интегрируя (18), получим
= ^I ЯП-1
П 1- Пг, , =- \гаг
ВВ
-П
аг Хгг
+
(19)
+с +с2'
где Сх, С2 - постоянные интегрирования.
Температура цилиндров в кольце Тг определяется из (10)
Тг = гг +
(1-Пг)
, г (1 - П)'
Применяя (15)-(17), определим разность Т (В) -- г (В), используя, где необходимо, интегральную теорему о среднем
qv[ 1- Пг(го)]
т ( в ) - г ( в ) =
(1- П)а г (го)
[ 1- П( В)](В2-В2)
х
[ 1- П( В)](В2-В2)
|( 1 - Пг)Тггйг.
Вг
Х| ЯП -^Г-П] ^ |( 1- Пг) ^
ВВ
аг Хгг
Ясно, почему объектом усреднения выбрано кольцо 8г - в этом случае легко найти средние значения истинных температур цилиндров и охладителя.
Постановка и алгоритм решения задачи следующие: решаются уравнения (9), (10), определяющие температуры гг, Тг, затем по формулам (15)-(17)
находятся средние П(В) г (В), Т(В), вычисляется
разность Т (В) - г (В), которая усредняется по ансамблю для всей плоскости В —► ^ и по которой определяется среднее значение коэффициента внутреннего теплообмена(а^.
Решение задачи. Из уравнения (9) с учетом (11) получим
г дг у г дг) уП 1- П. г
2 С1
В
[ 1- П( В)](В2-В2)
II |( 1-Пг)гаг
аг X г г
Во Во
2 qv
(20)
П( В)(В2- В2)
В
г -П-) гаг |пг гаг
В В В
I ЯПК
аг Хг г
2 С1
В
\
П( В)(В2- В2)
III
Пг гаг
аг X г г
Во Во
где Во < го < В.
При усреднении по пористости, слагаемые с С1 (18) взаимно уничтожаются, поэтому в дальнейшем учитываться не будут. Для удобства вычислений введем следующее обозначение:
Уравнение (18) является стохастическим, потому что Пг является случайной величиной, которая зависит от радиуса г, т.е. случайной функцией. Уравнение (18) будет интегрироваться обычным
П(г) =
2
2 г>2
г - Вп-
Пг га г.
Г I- Г
г
г
г
В
о
о
г
В
В
о
о
+
+
г
В
о
Тогда для двух оставшихся интегралов в (20) получим
2 qv
П(R)(R2 - R)
■ х
ш
И(!
1—rdr I" Пrrdr
1-Ш J
Ro
_ 2qv х
[ 1- П( R)](R2-R2)
Г
1- rdr J( 1- nr) rdr
R
dr Xrr
1 - П
dr Xrr
= (21)
qv
2 П( 1 - П)( R2-R2)
х
2
х
[П( r ) ] - П П (r) - П (R ) П (r) + ПП( R) [1 - П ( R ) ] П ( R)
х
(r2 - R2 )2 dr Xrr
Усредняя (20) с учетом (21) имеем <T(R) -t(R)> = <T(R)> - <t(R)> =
(aF, r>
+
+
qv
2П2(1- П)2(R2- R2)<Xr>
х
(22)
х J(r2-R2)20[П(r)]
1=?/ Mdr r
П)
dr
4( r2- R0)
- согласно [6]. Заметим, что в ра-
< T>-<t> =
2
qv dD
qv
16П( 1- п)<хг> <av, r>'
(23)
ное (10), qv = <av>( < T> - < t>). Поэтому окончательно получаем
1
dD
+
1
<av> 16 П( 1- П)<Хг> <«v, r>'
(24)
Дисперсионный диаметр dD, формально введенный в работе [6] как линейный размер, характеризующий геометрическую дисперсию пористости D[n], приобретает физический смысл - от этого параметра существенно зависит теплообмен в неоднородной проницаемой структуре.
Анализ результатов. Тепловая ячейка в хаотической системе себе подобных занимает всю плоскость в отличие от упорядоченной системы, где ячейка окружает каждый цилиндр.
Для поперечной эффективной теплопроводности (kr> наиболее надежной и распространенной является формула Максвелла-Винера (C. Maxwell-O. Wiener) [7, 8].
Теплопроводность нагревающих цилиндрических включений значительно превышает теплопроводность охладителя Xs > Xg. В этом случае формула Максвелла-Винера им
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.