ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2011, том 45, № 6, с. 709-712
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ =
УДК 66.021.4
ТЕПЛООБМЕН В ТРУБЧАТОМ АППАРАТЕ С ПЕРЕКРЕСТНЫМИ ПОТОКАМИ С ОГРАНИЧЕНИЕМ ТЕМПЕРАТУРЫ СТЕНОК
© 2011 г. В. И. Емекеев, В. А. Каминский*, Е. Я. Лапига**, С. Д. Шувалова**
ОАО "ТАИФ-НК", г. Нижнекамск *Московский государственный горный институт **ООО "НПФ ЭИТЭК", Москва
kamin@nifhi.ru Поступила в редакцию 29.03.2011 г.
ВВЕДЕНИЕ
Распространенным процессом теплообмена является нагрев воздуха, поступающего в печи, отходящими дымовыми газами. При этом кроме обеспечения эффективности теплообмена требуется не допустить снижения минимальной температуры стенок аппарата ниже критической, при которой происходит конденсация на стенках компонентов дымовых газов и которая находится в пределах 115—120°С. Для теплообмена с прямотоком или противотоком имеются достаточно простые расчетные формулы [1]. При расчете теплообмена в аппарате с перекрестными потоками, как показано в [2] для характерных условий подогрева воздуха, хорошим приближением является расчет с постоянными коэффициентами теплопередачи. При этом получено аналитическое решение при постоянных значениях входных температур теплоносителей. Целью данной работы является анализ теплообмена в аппарате с перекрестными потоками без ограничения постоянными температурами теплоносителей на входе и представление процедуры решения уравнений теплообмена, причем все действия такой процедуры могут быть выполнены с помощью вычислительной системы "Maple".
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛООБМЕНА
Уравнения теплообмена в аппарате с перекрестными потоками имеют вид
С, л ЩШ=ш T - т),
д X Lo
С дШП = KF ( - )
р dY L
(1)
воздуха по межтрубному пространству направлен вдоль оси х, поток газа по трубкам — вдоль оси у): = п й0ЬуИ, = пй1ЬуК, где N — полное число трубок. При этом величина КШ определяется соотношением Ш = ((К0Г0) + 1/(К/;))-1, где К0 и К1 — коэффициенты теплоотдачи для потока воздуха и дымовых газов.
Для решения уравнений (1) удобно перейти к безразмерным переменным и температурам. Принимая коэффициент теплопередачи постоянным, имеем
to (x, y)
= KFX
Cp0G0L0 To - Too Tio - Too
y
KFY
ti (x, y)
c,iGiLi
Ti - Too
(2)
Tio Too
— to ti,
(3)
где С'р! — удельная теплоемкость, О^ — массовый расход, К — коэффициент теплопередачи, Ц — размеры каналов, индексы 0 и 1 относятся к потокам воздуха и дымовых газов, соответственно, Ш — полная площадь поверхности теплообмена. Для трубчатого аппарата поверхности теплообмена (поток
Уравнения в безразмерных переменных имеют вид
д ¿о _ . . д ^
д х д у
с граничными условиями
¿о (0, у) = 0, ¿1 (х,0) = 1. (4)
Уравнения (3) описывают не только теплообмен между перекрестными потоками теплоносителей, но также межфазный массообмен в абсорбционной колонне. Аналогия между этими процессами, некоторые методы решения уравнений (3) и ранние работы, в которых решалась эта задача, приведены в [3]. При описании динамики сорбции газа решение уравнений (3) рассматривалось в [4].
Вместо системы уравнений (3) можно рассматривать одно дифференциальное уравнение второго порядка, например, для 10(х, у), выразив ^ из первого уравнения (3). Получающееся при этом гиперболическое уравнение с данными на характеристиках х = 0, у = 0 является известной задачей Гурса:
д \\(дхду) + д*0/дх + д10]ду = 0. (5)
Заметим, что, в отличие от задачи Коши для волнового уравнения с заданием функции и ее
710
ЕМЕКЕЕВ и др.
производной, решение задачи Гурса мало освещено в справочной математической литературе. Решение для ^ и ^ является универсальным, не зависящим от параметров, а безразмерные температуры на выходе зависят от двух безразмерных параметров /0, 11, которые определяют температуру на выходе каждого канала:
1о = Ю/ (С^о), А = Ю/ (Ср1Ох), (б) ¿о/ (У) = ¿о (/о,У), ¿1 / (х) = к (х, /1). Средняя безразмерная температура на выходе дается соотношениями
(¿о) = 1 Г 'о (х, У )йу, = 1 (¿1 (х, У )йх. (7)
/о
1 о о о
Для уравнений (3) с граничными условиями (4) аналитическое решение можно получить, выполняя преобразование Лапласа по одной из переменад
ных, например, по х: /(я,у)= |ехр (-х) (х,у)йх.
о
Решение системы уравнений для / (я, у), которая получается из (3) преобразованием Лапласа, дает
/1 У) = еХР (-Тг)/',
/о (я,у) = ехр(-(я + 1)). Делая обратное преобразование, получаем ¿1 (х, у) = ехр (-у) X
х
ехр (-х) 1о ) + ехр (-Ё,) 1о (2^)
exp (-x) /1 - +
t0 (x, y) = exp (-y)
x Г
+ Jd$ exp (-4)/! (V^)
(8)
где 1о (г), 11 (г) — функции Бесселя мнимого аргумента.
В [3] приведено изящное решение уравнений (3) с граничными условиями (4), которое легко находится, если /1 (я, у) представить в виде
у
/1 (я,у) = 1 - [ехрЮехр(( + 1)) ^ (9) я •> я + 1
о
В результате имеем
у
¿1 (х, у) = 1 - |ехр (-(х + о (ЩйЪ
to (-, y) = 1 - exp (- (x + y)) /0 (l^-y) -
y
- J exp (-(x + £))/ 0 (2^xi)d £
Заметим, что в [4, 5] решение приведено в виде (8). Для практических расчетов вместо аналитических выражений (8) или (10) более удобно использовать представление решения в виде ряда по х. Так как в реальных теплообменных аппаратах ¡1 < 1, при разложении решения в ряд можно ограничиться небольшим числом членов. Решение в виде ряда можно получить непосредственно из выражений (8), (10) или разлагая f (s, y) в ряд по степеням 1/s и пользуясь правилом восстановления оригинала для функции f(s), представимой в виде ряда по степеням 1/s: если преобразование
Лапласа записывается в виде f(s) = ^ A J'sn+1, для
n=0
оригинала получаем t(x) = ^ Anxn. Выражения для
n=0
коэффициентов ряда здесь не приводятся, так как они достаточно громоздки и легко находятся с помощью стандартных вычислительных систем, например, Maple. Безразмерная температура стенки
. K0t0 + K,t, определяется соотношением tw = ——-—, а ми-
K0 + Ki
нимальная безразмерная температура стенки соот-t1 (0, l1) ^
ношением tw min =--—-г—. Следует учитывать за-
1 + K0/Ki
висимость безразмерной критической температуры, определяющей условия конденсации, от
Tcr — T00
значений температур на входе: tcr =
T10 T00
Вид-
но, что ^ тЬ зависит от двух величин: температуры ?х(0, 11) и отношения коэффициентов теплоотдачи. Коэффициенты теплоотдачи для турбулентных потоков определяются выражениями [6, 7]
K 0 = 0.41 — Re0.6Pr038, d0
K1 = 0.021^iRe0'8Pr0'4. d1
(11)
При вычислении числа Рейнольдса по воздуху определяющим размером является диаметр трубки, а скорость относится к наиболее узкому поперечному сечению канала. На рис. 1 распределение безразмерных температур t ¡(х, y) показано линиями равного уровня tt = const. Определив значения коэффициентов теплоотдачи и зная распределение температур t ¡(х, у), легко получить распределение температуры стенки.
Повысить минимальную температуру стенки можно, например, используя трубки большего диаметра и уменьшая эффективную скорость воз-
0
ТЕПЛООБМЕН В ТРУБЧАТОМ АППАРАТЕ С ПЕРЕКРЕСТНЫМИ ПОТОКАМИ
711
(а)
(б)
Рис. 1. (а) — кривые распределения безразмерной температуры соответствующие разным значениям Г0: 1 - 0.05, 2 - 0.1, 3 - 0.2, 4 - 0.3, 5 — 0.4, 6 - 0.5, 7 - 0.6. (б) — кривые распределения безразмерной температуры соответствующие разным значениям 1 1 - 0.95, 2 - 0.9, 3 - 08, 4 - 0.7, 5 - 0.6, 6 - 0.5, 7- 0.4.
духа за счет увеличения расстояния между трубками, но при этом снижается эффективность теплообмена. Для повышения минимальной температуры стенок при обеспечении достаточной эффективности теплообмена можно использовать аппараты с переменными диаметром трубок и расстоянием между ними по ходу потока воздуха. В простейшем случае можно рассмотреть двухсекционный аппарат, в котором первичный подогрев воздуха осуществляется в первой секции, в которой обеспечивается требуемая минимальная температура стенок, а затем поток воздуха без перемешивания поступает во вторую секцию с другими характеристиками и, соответственно, другими значениями коэффициентов теплоотдачи. Соотношение скоростей потока и, следовательно, расходов в секциях определяется заданием полного расхода дымовых газов 01 и условием равенства гидравлических сопротивлений в секциях: Ар =
to(lo, 0.40
= Z U
, где Z — коэффициент сопротивления,
учитывающий сопротивление трения z, изменение напора в результате изменения объема при изменении температуры zT и локальное сопротивление входа и выхода, zin и z0u,: Z = z + Zt + zin + Zou. Для
турбулентного потока z = 0.316/Re1/4 (L/di), ZT =
= 2(ToUt - Tn)/«T) + 273), ziB = 0.5(1 - S/(LxH))3/4,
Zout = ( - S(LxH))2 [7]. Здесь S и H — проходное сечение и поперечный размер секции для потока дымовых газов.
Особенностью задачи для второй секции является неоднородное распределение температуры воздуха на входе. Выше при решении уравнений (3) использовались однородные граничные условия (4). Распределение температуры воздуха t0(l0, y)
Рис. 2. Распределение безразмерной температуры воздуха tQ на выходе первой секции при разных значениях параметра 1 - 0.1, 2 - 0.2, 3 - 0.3, 4 - 0.4, 5 - 0.5.
на выходе первой секции дается довольно громоздким выражением, что осложняет получение аналитического решения для второй секции, удобного для практических расчетов. Поэтому задача получения решения для двухсекционного аппарата сводится к аппроксимации зависимостей ^(/0, у) на выходе первой секции от у при разных значениях /0 простыми функциями, и затем использование приближенной зависимости для ^(/0, у) в качестве граничного условия для потока воздуха на входе второй секции. Зависимость ^(/0, у) от у для характерных значений 10 достаточно хорошо описывается функцией аехр(-Ьу). На рис. 2 показано распределение безразмерной температуры на выходе пер-
У
У
712
ЕМЕКЕЕВ и др.
Параметры функции аехр(—Ьу), аппроксимирующей распределение безразмерной температуры воздуха ?о(/о, У)
lo а b
0.1 0.095 0.91
0.2 0.18 0.86
0.3 0.26 0.84
0.4 0.33 0.83
0.5 0.395 0.79
вой секции при разных значениях параметра 10. Кривые, рассчитанные с функцией а ехр(—Ьу) и с параметрами а и Ь, приведенными в таблице, в масштабе рисунка полностью совпадают с точным расчетом. Хорошее совпадение позволяет использовать эт
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.