ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2004, том 42, № 2, с. 287-290
УДК 536.24
ТЕПЛООТДАЧА ЭНЕРГОВЫДЕЛЯЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ В ВЕРХНЕЙ ЧАСТИ ЗАМКНУТОГО ОБЪЕМА
© 2004 г. Д. Г. Григорук, П. С. Кондратенко
Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН (ИБРАЭ РАН), Москва
E-mail: grig@ibrae.ac.ru Поступила в редакцию 25.06.2003 г.
Методом аналитических оценок определены характеристики стационарной свободноконвективной теплоотдачи жидкости с внутренними источниками тепла в верхней части замкнутого объема с различными условиями теплоотвода на верхней горизонтальной границе при числе Прандтля порядка единицы. Показано, что при адиабатическом условии на верхней границе объема максимум плотности теплового потока qmax, достигаемый в области пересечения верхней горизонтальной и вертикальной границ, зависит только от максимальной температуры в объеме Tmax и теплофизических характеристик жидкости. Являющаяся функцией вертикальной координаты г поправка к температуре в основном объеме (вне пограничных слоев) 5Tb ~ г1/4 существенно преобладает над возмущениями в горизонтальном сечении. С возникновением турбулентной конвекции Рэлея-Бенара (RB) теплоотвод через верхнюю границу определяется только энерговыделением в RB-слое. При фиксированной мощности тепловыделения Q толщина RB-слоя с ростом плотности теплового потока через верхнюю горизонтальную границу q увеличивается по линейному закону h = q/Q.
ВВЕДЕНИЕ
При рассмотрении тяжелых аварий на АЭС с корпусными ядерными реакторами возникает задача о свободной конвекции энерговыделяющей жидкости в замкнутом объеме. Цель представленной работы состоит в нахождении характеристик стационарной свободноконвективной теплоотдачи жидкости с внутренними источниками тепла в верхней части замкнутого объема с различными условиями теплоотвода на плоской верхней горизонтальной границе при числе Прандтля порядка единицы. В процессе решения используется метод аналитических оценок, вытекающих из свойств симметрии, законов сохранения физических величин, а также соображений подобия и размерности [1, 2, 4, 5].
Постановка задачи. Будем считать, что жидкость находится в объеме, симметричном относительно вертикальной оси, с характерным вертикальным размером Н и горизонтальным Я. В качестве начала отсчета Т принимается температура боковой границы, являющейся изотермической. Вертикальная координата г отсчитывается от плоской верхней границы. Определим распределение теплового потока в верхней части объема (г < Н). Геометрия задачи показана на рис. 1. Отдельно рассмотрим случаи адиабатической верхней горизонтальной границы и малых тепловых потоков на верхней границе, а также относительно больших потоков с возникновением конвекции ЯВ.
Адиабатическая верхняя горизонтальная граница. Запишем уравнения движения для вертикального пограничного слоя в области г ^ Н (см. [4])
д и ди д2 и /1Ч
у эГ " Ту- V дуу = §а( Ть - т), (1) дУ + ^ = 0, (2)
дг д у
дТ д Т д2Т п ...
и Т" + ^ а-- X ТТ = 0. (3)
дг ду ду2
Здесь и, V - соответственно продольная и поперечная компоненты скорости в пограничном слое, у - координата, нормальная к боковой границе, V - кинематическая вязкость, g - ускорение
R
Область застоя
у 5h
/ z 1
T = 0
Горизонтальный
пограничный слой ,-г „
1 Пограничный слой на
вертикальной охлаждаемой
Рис. 1. Геометрия задачи.
стенке
свободного падения, а - коэффициент объемного расширения, Ть - температура в основном объеме (вне пограничных слоев) при заданном значении координаты г, X - температуропроводность.
Благодаря адиабатическому условию на верх-
= 0,
г = 0
ней горизонтальной границе q\г = 0 = -X ^
д г
где q - плотность теплового потока, X - теплопроводность, и температурной стратификации в основном объеме (см. [1, 4]), температура достигает своего максимума Ттах при г = 0, поэтому в области г ^ Н температуру в основном объеме для оценок характеристик пограничного слоя (ПС) будем считать постоянной и равной Ттах. Таким образом, течение в рассматриваемом ПС на вертикальной стенке будет развиваться в условиях изотермической окружающей среды [3], и поэтому характеристики ПС могут быть представлены в виде
ч н
1/2
5,
N 1/4
'501Н)
ч Н
1/4
(4)
5 * = 5,(5 *)
-4/3 „-1/3 50 н •
(5)
Вводя число Рэлея Яа =
Я а^тах# X V
и воспользо-
5* ~ НИа
-1/3
?т
X Т т
н
х
Иа
1/3
?тах/?0 ~ Иа
1/12
(6)
Здесь Уг - вертикальная компонента скорости в основном объеме, Ть - температура в основном объеме, Q - мощность объемного тепловыделения, р - плотность среды, с - удельная теплоемкость.
Вертикальные компоненты скорости в основном объеме и в ПС на вертикальной стенке связаны балансом масс [4]
Уг ~ •
(8)
Из уравнений (4), (7), (8) для температурной поправки в основном объеме при 5к < г Н, где 5к - толщина пограничного слоя на верхней горизонтальной границе, получаем следующую оценку:
5ТЪ — Ттах - ТЬ = РТт
1/4
■(н) •
(9)
где и, 55, qs - соответственно продольная компонента скорости, толщина ПС на боковой стенке, плотность теплового потока к боковой границе, а и0, 50, q0 - их значения при г ~ Н. Плотность теплового потока растет с уменьшением координаты г. Максимальное значение плотности теплового потока к боковой границе q = qmax, как следует из (4), достигается при значениях г ~ 5*, где приближения пограничного слоя перестают быть справедливыми. В соответствии с определением величины 5* и соотношениями (4) имеем
в которой в - численный коэффициент порядка единицы.
Рассмотрим течение в верхнем горизонтальном ПС, относящееся к области малых значений г, где существенны вязкость и теплопроводность. Уравнения движения в этом случае имеют вид
д V д V V ------ + и -=:--V
д г
Эг2
= £а Т -
1 дР рЭг'
Э V + 1Э(иг) = 0 дг г д г
дТ д Т
д2Т
й
V --- + и------X —2- = —•
дг дг г2 р с
(10)
(11)
(12)
вавшись оценкой для 50 из работы [1] (50 ~ НЯа1/4), для предельных характеристик теплоотдачи на боковой границе при г —»- 0 получим
где Р - превышение давления над гидростатическим значением, г - радиальная координата.
Из уравнений (1) и (10) с учетом условия неразрывности нормальной компоненты скорости на свободной границе ПС (V = Уп при г ~ 5, где Уп -нормальная к границе компонента скорости в основном объеме, 5 - толщина ПС) для области г ~ 5к, следуют оценки (см. [4])
Как видно из соотношения (6), максимальное значение плотности теплового потока к боковой границе зависит только от температуры на верхней границе и теплофизических характеристик жидкости.
Найдем теперь зависящую от координаты г поправку к температуре в основном объеме. Для этого воспользуемся уравнением баланса энергии (см. [1, 4])
х V
~ у" •
г
Уг
(13)
(14)
Здесь Уг - радиальная составляющая скорости в основном объеме. Баланс массы в основном объеме для области г ~ 5к дает соотношение
йТЪ йг
й Р с.
(7)
5Л
у ~ у —
г
(15)
5
5
ТЕПЛООТДАЧА ЭНЕРГОВЫДЕЛЯЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ
289
Комбинируя (13), (14) и (15), для толщины горизонтального ПС получим
5Л (16)
Из этой оценки видно, что 5к > 55.
Как было показано в работе [4], характерная величина изменения температуры в горизонтальном сечении основного объема определяется следующим образом:
№}
Ы ho
< I
(17)
Из соотношений (4), (9), (17) следует, что поправка к температуре за счет стратификации существенно больше вариации температуры в горизонтальном сечении при г ^ 5к:
5Tb ( z ) > {lTb }
hor >
(18)
т.е. подтверждается правомерность формулы (9).
При достаточно малых значениях вертикальной координаты г 5* существует застойная область, где конвективными слагаемыми в уравнениях движения можно пренебречь. Уравнение энергии в этом случае имеет вид
A T = 0.
(19)
Вводя цилиндрическую систему координат (см. рис. 2), получим следующее уравнение:
1д(а дТ) + 1д!т = 0
адаI да) 2^-2
2 ^ 2 а дф
с граничными условиями
1ф = 0
= 0,
д T дф
п
ф = 2
= 0.
(20)
(21)
Решением (с точностью до членов первого порядка по малому отношению а/5*) уравнения (20) с учетом (21) является выражение
Т = Т
( а
\5*
sin ф.
(22)
Область малых тепловых потоков на верхней горизонтальной границе. Образование КБ-слоя.
В случае неадиабатической верхней границы (д > 0) максимальное значение температуры Т = Ттах достигается не при г = 0, а при г = гтах, которое при достаточно малых значениях д находится внутри горизонтального ПС. Уравнение баланса энергии для области г < 5к имеет вид
- а.
(23)
I*
Рис. 2. Область застоя.
Проинтегрировав один раз уравнение (23) по z от 0 до zmax, получим выражение
z - q,
^max — а
(24)
согласно которому гтах линейно возрастает с увеличением д. Величина д определяется условиями теплоотвода с верхней границы и потому в определенном смысле является независимой. При некотором значении д = дсг модифицированное число Рэлея, вычисленное по плотности теплового
потока, Ra„ =
g aqzn
g a q
сравнивается с
критическим числом Иа^, отвечающим за возникновение конвекции ЯВ. Обычный вязко-теплопроводный ПС при этом перестает существовать, и образуется ЯВ-слой толщиной к.
Согласно балансу энергии тепло, поступившее через нижнюю границу ЯВ-слоя и выделившееся в этом слое, отводится через боковую и верхнюю его поверхности. При турбулентном режиме конвекции температуру в яВ-слое можно считать постоянной. Отсюда с учетом баланса массы следует, что отвод тепла, поступившего в ЯВ-слой через нижнюю границу, осуществляется через вертикальный пограничный слой и полностью происходит через боковую поверхность ЯВ-слоя. Это в свою очередь означает, что теплоотдача через верхнюю горизонтальную поверхность обусловливается только энерговыделением в ЯВ-слое. Следовательно, толщина слоя определяется уравнением
* = Q.
(25)
Максимальная температура в ЯВ-слое достигается на нижней горизонтальной границе, т.е. при г = к,
поэтому уравнение (25) имеет такой же смысл, как и выражение (24). Согласно (25) толщина ЯВ-слоя при фиксированной мощности энерговыделения Q увеличивается с ростом q. При этом температура верхней горизонтальной границы уменьшается (см. [1, 2, 5]) до тех пор, пока не сравняется с температурой ликвидуса Т = ТИч тепловыделяющей жидкости.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.