№ 5
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2014
УДК 532.135
ТЕПЛОПЕРЕНОС И ГИДРОДИНАМИКА ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ ФАН-ТЬЕН-ТАННЕРА В КОНВЕРГЕНТНОМ КАНАЛЕ
© 2014 г. Д.В. АНАНЬЕВ, А.А. КАЙНОВА
Исследовательский центр проблем энергетики Федерального государственного бюджетного учреждения науки Казанского научного центра Российской академии наук, г. Казань E-mail: Dima211083@yandex.ru
Приводятся результаты численного исследования гидродинамики и теплообмена при ламинарном течении вязкоупругой жидкости в конвергентном канале. Вяз-коупругие свойства жидкости описываются моделью нелинейно-вязкоупругой жидкости Фан-Тьен—Таннера. Установлено, что степень интенсификации теплообмена для вязкоупругой жидкости больше, чем для ньютоновской. Определено, что при течении вязкоупругой жидкости в конвергентном канале максимальный вклад температурного разогрева за счет диссипативного тепловыделения составляет ~11%. Выявлено, что вклад в диссипативное тепловыделение за счет вязкоупругих свойств заметно превышает вклад за счет вязкости. Определено, что значение продольной составляющей скорости в поперечном сечении и разности нормальных напряжений растет с увеличением угла наклона стенок конвергентного канала. Установлено, что происходит увеличение накопления упругой энергии в жидкости по мере ее приближения к выходной зоне конвергентного канала.
Ключевые слова: гидродинамика, теплоперенос, конвергентный канал, ламинарное течение, математическое моделирование, модель Фан-Тьен—Таннера, вязко-упругая жидкость, интенсификация.
HEAT TRANSFER AND HYDRODYNAMICS IN LAMINAR FLOW OF A PHAN TIEN-TANNER VISCOELASTIC FLUID IN A CONVERGENT CHANNEL
D.V. Ananev, A.A. Kaynova
Research center far power engineering problems Federal government budgetary institution of science Kazan scientific center Russian Academy of Sciences, Kazan E-mail: Dima211083@yandex.ru
In work results of a numerical study of the hydrodynamics and heat transfer in laminar flow of a viscoelastic fluid in convergent channel is studied. The model of nonlinear vis-coelastic fluid Phan-Tien—Tanner described the viscoelastic properties of the fluid. The degree of heat transfer intensification for a viscoelastic fluid is higher than for a Newtonian fluid. In the flow of a viscoelastic fluid in a convergent channel a maximum contribution of the heating of dissipation is approximately 11% is found. The contribution to the heat dissipation due to the viscoelastic properties significantly exceeds the contribution due to viscosity in a convergent channel. The value of the longitudinal component of velocity in the
cross section and normal stress difference increases with increasing a angle of inclination of the walls of a convergent channel is determined. There is an increase in the accumulation of elastic energy of the liquid as it approaches the outlet zone to the convergent channel is found.
Key words: hydrodynamics, heat transfer, convergent channel, laminar flow, mathematical modeling, Phan-Thien—Tanner model, viscoelastic fluid, intensification.
Введение
Применение разнообразных вязкоупругих сред в пищевой (томатная паста), химической (расплавы полимеров, лакокрасочные материалы), нефтехимической промышленности (нефти и нефтепродукты с большим содержанием смол) обуславливает возрастающий интерес к изучению гидродинамики и теплопереноса потока в каналах сложной геометрии, в т.ч. в конвергентных каналах, которые применяются в экстру-зионной технологии.
Течение вязкоупругих жидкостей в конвергентных каналах исследовалась учеными, которые изучали течения реологически-сложных сред [1—5]. Решение задачи течения вязкоупругой жидкости в конвергентном канале дает возможность проверить адекватность различных реологических уравнений состояния.
Одной из наиболее распространенных моделей нелинейно-вязкоупругой жидкости, хорошо зарекомендовавшей себя на практике, является модель Фан-Тьен—Танне-ра [6]. В литературе [7—10] были получены решения задачи о течении жидкости Фан-Тьен—Таннера в каналах и трубах в случае использования линейных или упрощенных случаев моделей жидкости. В данной работе рассматривается нелинейная модель вяз-коупругой жидкости Фан-Тьен—Таннера. Приводится сравнение численного и аналитического решения задачи.
Модель Фан-Тьен—Таннера является универсальной реологической моделью, позволяющей с высокой точностью прогнозировать аномалию вязкости раствора полимера и наличие продольной вязкости в течениях, обусловленных нормальными напряжениями, хорошо описывающая течение полимеров, пластмасс, резиновых смесей, т.е. тех жидкостей, для которых характерно наличие вязкоупругого эффекта [11—14].
С практической точки зрения, понимание особенностей течения вязкоупругих жидкостей в конвергентных каналах чрезвычайно важно для совершенствования различных процессов переработки, например экструзии, формования волокон и т.д.
Наличие конвергентных частей канала позволяет значительно интенсифицировать процессы теплообмена при течении вязкоупругих сред в тепломассообменных аппаратах. Одной из важных причин интенсификации теплообмена в конвергентных каналах является изменение конфигурации профиля составляющих вектора скорости в соответствии с наличием вязкоупругих эффектов поведения жидкости.
В связи с этим данная работа посвящена численному исследованию гидродинамики и теплообмена при ламинарном течении нелинейно-вязкоупругой жидкости Фан-Тьен—Таннера в конвергентном канале.
Постановка задачи
Геометрическая область течения представляет собой конвергентный канал, образованный наклонными пластинами, расстояние между которыми много меньше ширины канала, тогда можно предположить, что распределение основных гидродинамических характеристик в любом продольном сечении не меняется. Все вышесказанное позволяет свести задачу к двумерной постановке. Введем декартову систему координат, ось 0Х которой направлена по оси симметрии канала в направлении течения жидкости. Продольное сечение такой геометрической области показано на рис. 1.
K y A Li _ ' D p
H "" ^2a H >
L 0 " x
,_______ C F D
Рис. 1. Геометрическая область исследуемого конвергентного канала, где Н — наибольшая высота канала; Ьх — длина боковой поверхности канала; а — угол наклона пластин, образующих канал; хх — длина конвергентной части канала
Эллиптический характер используемых уравнений математической модели диктует необходимость постановки граничных условий на входе и выходе из канала. Рассмотрим вместо действительной геометрической области определения переменных задачи (ABCD на рис. 1) видоизменённую теоретическую область, полученную из данной увеличением длины канала (плоские границы) до входа (AK и DL на рис. 1) и после выхода (BE и CF). Причем BE и CF имеют длину, при которой происходит стабилизация скоростных полей. На входе в канал (LK) задается распределение скорости, являющееся решением стационарной задачи течения в канале, образованном двумя плоскостями, расстояние между которыми равно Н (где H — наибольшая высота канала). На стенках принимаются гидродинамические граничные условия прилипания U = 0. На продолженных границах принимаются гидродинамические граничные условия прилипания и = 0. В качестве граничных условий на выходе (EF) принимаются граничные условия стабилизации искомых полей по длине: д ux¡ дх = 0, uy = 0.
Гидродинамическая часть задачи
Постановка задачи течения вязкоупругой жидкости в конвергентном канале осуществлялась при следующих допущениях: гидродинамические процессы имеют изотермический, стационарный и сформировавшийся характер; жидкость прилипает на стенках каналов; течение жидкости ламинарное; жидкость несжимаема; массовые силы не учитываются, а вязкоупругие свойства описываются моделью Фан-Тьен—Таннера.
Основные уравнения, описывающие гидродинамику процесса, записываются сле-
дующим образом:
V-V = 0; (1)
p(VV • V) = -Vp + V • а; (2)
Ма* + £(D • Gu + аи • D)) + gаи = D; (3)
где а = аи + ап; (4)
а n = 2n nD; (5)
g = exp ^ tr К) ; (6)
v d а —T — а = da-aVVT -VV а; dt
da/dt = Va- V;
(7)
(8) 53
Б = + У Vт). (9)
Здесь V — вектор скорости; р — плотность; р — давление; о — тензор напряжений; Оу — вязкоупругая составляющая тензора напряжений; в„ — ньютоновская составляю-
V
щая тензора напряжений; А — время релаксации напряжений; о — верхняя конвективная производная; б, — реологические параметры модели Фан-Тьен—Таннера, 0 2; (пп, — ньютоновская и неньютоновская составляющие общей вязкости (условного растворителя и полимера); В — тензор скоростей деформации; "т" — символ транспонирования; ^ — операция взятия следа; ? — время.
Рассмотрим течение вязкоупругой жидкости в конвергентном канале высотой Н = 2к и длиной х1, достаточной для того, чтобы скорость успела сформироваться при задании на входе параболического профиля скорости (например, х1 = 50й). В силу симметрии рассматривается только половина канала. Тогда система уравнений (1)—(3) примет вид:
д °х + .,дих)- др + д(п дих У дГ дих) , доихх + до
р|их ^ + ^ | = + ^ 1+^1 п„ ^ \ + + ^; (10)
^ дх ду) дх дх \ дх ) ду ^ ду) дх ду
рГих дх+иу к д-х)+дг к ^ (11)
^ дх ду) ду дх \ дх) ду \ ду) дх ду
. (да,)хх да,)хх , дих , дих ^ дх ду дх ду
+ ^ ^ + 2 ^ )) + ^ = ^ ^ . дОиху дОиху диу дих ,
дх ду дх ду
ч^ Г дих дОу
+ Оихх)) + ЕОоху = Пи +
(12)
2 ^ ду дх )
(13)
(даиуу даиуу диу диу
XI —— их + —— иу - Ъзщу — - 2оиуу — + ^ дх ду дх ду
Гдиу 1 (дих дОу ^ У диу
(14)
где их, иу — компоненты вектора скорости; аихх, оиуу, аиху — компоненты тензора ои. Граничные условия имеют вид: на твердых границах
1) условия прилипания для скорости V = 0, (15)
2) граничные условия для тензора напряжений ст получаются из следующих усло-
п дих „ диу „
вий, имеющих место на твердой границе: их = 0, и у = 0, —- = 0, —- = 0 и из уравне-
дх дх
ния неразрывности ^^ = 0, где их, иу — составляющие вектора скорости. Тогда граду
ничные условия получаются из системы уравнений:
д и
'ЬЪиху-г- - 2) + ИОихх = 0
ду
((0,5^ - 1)<Гиуу + 0,5^«) + ЯОиХу = Пи ду ду
&иху + 8<иуу = 0,
ду
на оси симметрии канала
дих = 0, иу = 0, о ™ = 0
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.