№ 2
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2015
УДК 536.2.001
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННОМ ВО ВРЕМЕНИ ОТНОСИТЕЛЬНОМ КОЭФФИЦИЕНТЕ ТЕПЛООБМЕНА
© 2015 г. Э.М. КАРТАШОВ
Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова
E-mail: kartashov@mitht.ru
Рассмотрены практически важные задачи нестационарной теплопроводности с переменным во времени относительным коэффициентом теплообмена. Приведена систематизация различных подходов при нахождении аналитического решения задачи: метод расщепления обобщенного интегрального преобразования Фурье; разложение искомой температурной функции в степенной ряд; сведение задачи к интегральному уравнению Вольтера второго рода. Показано, что во всех случаях решение сводится к бесконечному ряду последовательных приближений различной функциональной формы и главной целью каждого из подходов является отыскание наиболее удачного первого приближения. Рассмотрены частные случаи временной зависимости относительного коэффициента теплообмена: линейная, экспоненциальная, степенная, корневая. Приведены аналитические решения и численные эксперименты, выявлены особенности температурных кривых для ряда указанных зависимостей. Установлено, что для линейного закона во времени коэффициента теплоотдачи картина изменения температурной кривой по сравнению с классическим случаем для постоянного коэффициента существенно изменяется, в то время как экспоненциальная зависимость не вносит существенных изменений.
Ключевые слова: нестационарная теплопроводность, переменный во времени относительный коэффициент теплообмена, аналитические методы решения краевых задач с переменным коэффициентом, последовательные приближения; иллюстративные примеры.
THERMAL CONDUCTIVITY AT VARIABLE IN TIME RELATIVE TO THE HEAT TRANSFER COEFFICIENT
E.M. KARTASHOV
Lomonosov Moscow State University of Fine Chemical Technologies E-mail:kartashov@mitht.ru
Considered practically important problem of unsteady heat conduction with time-varying relative coefficient of heat transfer. Refer systematization of different approaches for finding the analytical solution of the problem: the method of splittingthe generalized Fourier integral; decomposition temperature of the desired functionin a power series; reduction of the problem to an integral equation of the second kind of Voltaire. It is shown that in all cases the solution is reduced to an infinite series of successive approximations of various functional forms and the main goalof each approach is to find the most successful of the
first approximation. Particular cases of the time dependence of the relative heat transfer coefficient: linear, exponential, exponential, root. The analytical solutions and numerical experiments,^ peculiarities of the temperature curves for a number of specified dependen-cies.It was established that for the linear law in time of heat transfer coefficient changesthe picture of the temperature curve in comparison with the classical case ofconstant coefficient changes significantly, while exponential dependence makes nosubstantive changes.
Key words: transient heat transfer, time-varying relative heat transfer coefficient, analytical methods for solving boundary value problems with variable coefficients, successive approximations, illustrative examples.
ВВЕДЕНИЕ
В классических задачах теплопроводности твердых тел [1] относительный коэффициент теплообмена h = а/А (а — коэффициент теплоотдачи; А, — теплопроводность) принимается величиной постоянной; считается, что а определяется только температурным напором. Однако, как показывают экспериментальные исследования, в ряде нестационарных процессов теплообмена коэффициент теплоотдачи является неравновесным и зависит от времени, то есть h = h(t).
Соответствующие задачи теплопроводности с граничными условиями вида (дТ/дп)г = h(t)[T|г - TC], t > 0 представляют большой практический интерес, и этим случаям в аналитической теории теплопроводности традиционно уделяется повышенное внимание [2, 3]. Зависимость h(t) наблюдается при формировании теплового пограничного слоя в условиях нестационарного обтекания твердых поверхностей охлаждающей жидкостью, нагреве тел пульсирующим потоком жидкости или газа; при движении баллистического тела в среде с переменной плотностью и температурой, теплообмене прокатываемого металла с валками и окружающей средой, изучении явлений турбулентности при контактном измерении температуры выходных газов, нестационарном охлаждении термоэлектрических устройств, в процессах диффузии в условиях переменной температуры при изучении физической химии металлов, фазовых переходах и др. [2, 3]. Помимо технологических есть другие причины изменения коэффициента теплообмена во времени: изменение физических характеристик теплоносителя (скорости движения, степени черноты, плотности и т.п.) или изменение с течением времени состояния поверхности нагреваемого тела (окисление, засорение пылью, растрескивание и т.п.). До настоящего времени не найдено точное решение задачи теплопроводности в замкнутой форме при произвольном законе изменения коэффициента h(t): искомая температурная функция не выражается в квадратурах и точное решение задачи имеет вид бесконечного ряда последовательных приближений. Трудность заключается в том, что невозможно, оставаясь в рамках классических методов математической физики, согласовать решение уравнения теплопроводности с граничным условием теплопроводности при переменном h(t ). Объяснение этому факту достаточно простое. Для произвольной временной зависимости относительного коэффициента теплообмена собственные значения и собственные функции как решения соответствующей спектральной задачи формально зависят от времени, а это значит, что решение исходной задачи не может быть записано в виде интеграла Фурье—Ханкеля для частично ограниченной области или в виде ряда Фурье—Ханкеля для конечной области канонического типа. Последнее означает, что метод разделения переменных Фурье, лежащий в основе практически всех подходов классических дифференциальных уравнений математической физики, к цели не приводит. Характерной особенностью указанного класса задач при нахождении их решений является возможность варьирования различными подходами. Это объясняется тем, что решение одной и той же тепловой задачи можно искать в различных классах функций, когда выявляются особенности структуры получаемых решений. Эти функции должны удовлетворять ряду требований: во-первых, они должны достаточно легко находиться, во-вторых, обеспечивать сходи-
мость процесса настолько хорошо, чтобы можно было сделать требуемые в задаче заключения о свойствах полученного решения, в-третьих, обеспечивать существование всех операций, допускаемых в процессе преобразований, в-четвертых, быть удобными в практическом плане при рассмотрении конкретных (частных) законов коэффициента к(г) после нахождения решения задачи для произвольной зависимости коэффициента теплообмена. В связи с этим на практике используются различные подходы, дающие точные (в виде бесконечного ряда) или приближенные решения такого класса задач для пластины, цилиндра, шара, полуограниченного стержня при произвольном законе к(г) и его частных зависимостях: экспоненциальной, степенной, корневой, линейной, периодической, импульсной, пульсирующей и т.д. Это метод тепловых потенциалов, когда уравнение теплопроводности сводится к интегральному уравнению Вольтера второго рода и далее используется пикаровский процесс разложения по параметру; интегральный метод Кармана—Польгаузена из теории гидродинамического пограничного слоя; метод разложения по малому параметру (методы возмущений); операционный с использованием метода последовательных приближений; метод бичастот-ной передаточной функции; метод осреднения функциональных поправок; метод сведения уравнения теплопроводности к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием функции Грина; вариационный метод; метод расщепления обобщенного интегрального преобразования Фурье, дающего интегральную форму первого приближения при произвольной зависимости к(г); асимптотические методы; метод координатных функций с использованием фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий и др. ([2—4] и ссылки в [2—4]). Несмотря на многообразие подходов, каждый из них приводит решение задачи к бесконечному ряду последовательных приближений и главной целью каждого из подходов является отыскание наиболее удачного первого приближения.
Различные формы пикаровского процесса
Рассмотрим некоторые подходы при нахождении аналитического решения задачи с переменным относительным коэффициентом теплообмена с использованием пика-ровского процесса последовательных приближений. В безразмерных переменных
х = -; = а; Б1(Т0) = ^¿М; \ (х,г) = ^(^——, где I — выбранная единица масшта-1 I х Тс - То
ба, имеем задачу:
дТ = дТ; х > 0; F0 > 0; (1)
дх20
Т(х,/0)1 д=0 = 0; х > 0; (2)
= Б1(Т0)[Т(х, /0)|х=0 -1]; /0 > 0, (3)
дТ (х, /0) дх
\Т(х, /0)| ; х > 0, > 0. (4)
Здесь Ы (Г0) — непрерывно-дифференцируемая неотрицательная функция; искомое решение:
Т(х,г) е С2(£1)п С0(О); gradT(х,г) е С0(Й); й = (х > 0,г > 0).
Следуя [5], на начальном этапе применим метод расщепления обобщенного интегрального преобразования Фурье:
х=0
Ь[Т (х, /о)] = Т (С,/) = \т (х,/)
и В (/о) • в '
008 сх +--^^ 81П сх
йх
(5)
функции Т (х,/0) с формулой обращения
Т (х, / )=П | Т (!;, /о)
о
008 ^х +
«)81П ^х
+ В12(/о)'
Если ввести обозначения
Ю1
/) = 1 - З^Ш%х; ю(%,/) = 1 + 81П%х,
при которых
008
Ъх + ) 81п %х = 1[юехр(г'^х) + юехр(-г'Ъх)], % 2
а также
(6)
(7)
(8)
А /о) = |т (х, /о)ехр (Иух)йх;
(9)
А /о) = |Т (х,/о)ехр(-;'^х)йх,
(10)
то изображение
Т ( /о) = /) А ( /о) + /о) А ( /о)].
(11)
Для перевода уравнения (1) в пространство изображений понадобиться ещё два соотношения:
дТ & /о) = 1 д/ 2
д 2Т (¡/о) дх2
, чдА(^, /о) , ,дА (£, /о)
д/о д/ _
= В'(/) - /) А(¡,/о) + ©(¡1,/) А(¡¡,/о)],
Переведем задачу (1)—(4) в пространство изображений (5):
ю— + ю— + £2(юА + юА) = 2В'(/), / > о;
дГ0 Щ
А (£, /)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.