№ 5
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2014
УДК 536.7:519.85
ТЕРМОДИНАМИКА, ТЕОРИЯ ЦЕПЕЙ И ИХ СОВМЕСТНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ В ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
© 2014 г. Б.М. КАГАНОВИЧ, Н.И. ВОРОПАЙ, В.А. СТЕННИКОВ, М.С. ЗАРОДНЮК
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева Сибирского отделения Российской академии наук (ИСЭМСО РАН), г. Иркутск
E-mail: voropai@sei.irk.ru
Обсуждаются физико-математические взаимосвязи между равновесной термодинамикой и теорией цепей: электрических и гидравлических. Выявляется плодотворность их совместного использования в установлении общих закономерностей макроскопических систем и в анализе конкретных теоретических и прикладных задач. Предлагается использование цепных моделей в решении проблемы незамкнутости равновесной термодинамической теории, ее неприменимости в моделировании траекторий необратимых процессов. Решение основывается на отказе от использования общего уравнения изучаемого процесса и переходе к многошаговому построению траекторий с выбором в качестве отдельных шагов достаточно малых, конечных отрезков времени (пространства), для которых оказывается допустимой предпосылка о стационарности движения. Для такого движения становятся возможными установление связей между законами консервативных и диссипативных систем и формализованное описание явлений необратимости. Намечаются направления кооперации термодинамики и теории цепей в энергетических исследованиях, моделировании трубопроводных и электрических сетей и механизмов физико-химических процессов.
Ключевые слова: равновесная термодинамика, теория цепей, электрическая цепь, гидравлическая цепь, математическое программирование, динамическое программирование, консервативная система, диссипативная система, токораспределе-ние, потокораспределение, оптимизация.
THERMODYNAMICS AND CIRCUIT THEORY, THEIR JOINT APPLICATION IN ENERGY RESEARCH
B.M. Kaganovich, N.I. Voropai, V.A. Stennikov, M.S. Zarodnyuk
Melentiev Energy Systems Institute of Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (ESI SB RAS),
Irkutsk E-mail: voropai@sei.irk.ru
The physicomathematical interrelations between equilibrium thermodynamics and electric and hydraulic circuit theory are described. The effectiveness of their joint application is determined both in establishing the general regularities of macroscopic systems and in solving of certain theoretical and applied problems. The circuit model using is proposed for solving troubles of unclosed and non-applicability of equilibrium thermodynamics in model-
ing trajectories of irreversible processes. Solving is based on refusal from using general equation of studying process and switching to multistep construction of trajectories with choice sufficiently small and finite intervals of time (space) as steps, for which assumption of motion stationarity become allowable. The relations establishment between laws of conservative and dissipative systems and the formalized description of irreversibility phenomena become possible for such motion. The directions of further cooperation between thermodynamics and circuit theory in energy research (pipeline and electric circuit and also mechanisms of physicochemical process modeling) are outlined.
Key words: equilibrium thermodynamics, circuit theory, electric circuit, pipeline circuit, mathematical programming, dynamical programming, conservative system, dissipative system, electric current distribution, flow distribution, optimization.
Введение
На первый взгляд утверждение об общности термодинамики и теории цепей может вызвать сомнения и возражения. Ведь о термодинамике широко распространенным стало представление как о науке, раскрывающей наиболее общие законы макромира, а о теории цепей известно ее назначение для расчетов электрических, трубопроводных и других гидравлических сетей. Однако статья Кирхгофа [1], в которой сформулированы два получивших его имя закона токораспределения, посвящена исследованию "прохождения электрического тока через плоскую пластину, например, круглой формы", т.е. решению фундаментальной задачи электродинамики сплошных сред. Для упрощения используемого вычислительного метода рассматриваемую пластину Кирхгоф заменил условной схемой в виде графа — цепи, перейдя тем самым к формулировке решаемой математической проблемы в одномерном пространстве переменных. Такое пространство оказалось удобным для раскрытия связей между законами природы и для поиска решений специфических фундаментальных и прикладных задач. Причины этого удобства ясно объясняются в "Гидродинамике" Ландау и Лифшица [2], согласно которой одномерные движения всегда потенциальны. Потенциальность, существование функций состояний облегчают распространение формулировок принципов равновесия и экстремальности, использованных при описании консервативных систем, на диссипативные системы. Такими распространениями стали доказанные Кирхгофом [3] и Максвеллом [4], исходя из экспериментально открытого закона Джоуля, тепловые теоремы. В соответствии с теоремой [3] в пассивной (без внутренних источников электродвижущих сил) цепи изотермическое токораспределение осуществляется с выделением минимального количества теплоты. Теоремой [4] объясняется то, что этот минимум достигается в случае, когда потери напряжения на ветвях подчиняются линейной зависимости от тока, т.е. закону Ома. Теоремы Кирхгофа и Максвелла можно рассматривать как частные случаи сформулированной примерно через сто лет после их открытия одной из основных в неравновесной термодинамике теоремы Онсагера—Пригожина о минимальном производстве энтропии.
Определенный положительный опыт использования переведенной на язык равновесной термодинамики теории цепей в теоретических и прикладных (в т.ч. энергетических) исследованиях накоплен в ИСЭМ СО РАН [5—10]. Именно с помощью термодинамических моделей цепей для стационарного движения впервые были раскрыты математические связи между закономерностями консервативных (вариационными принципами механики) и диссипативных (вторым законом термодинамики, теоремой Онсагера—Пригожина и др.) систем. Выполнен анализ гетерогенных гидравлических сетей, в которых имеют место химические превращения и фазовые переходы [11]. Даны термодинамические интерпретации задач технико-экономической оптимизации (выбора схем и параметров) цепей [6—10] и физически объяснены условия сходимости [8—10] предложенного для осуществления их оптимального синтеза метода многоконтурной оптимизации (МКО) [12]. Предложены модели механизмов физико-химических процессов, для построения которых используются условные графы (цепи) [6—10]. Каж-
Рис. 1. Замкнутая избыточная схема сети (а) и ее преобразование в дерево (б): 1—3 (3, 3'); 4 (4) — номера узлов; I — источник движущего давления; стрелки — заданные направления потоков на ветвях
дой ветви такого графа соответствует условный поток вещества (зарядов), участвующий в одной из стадий суммарного процесса.
В последние годы цепные модели используются в развитии идеи одновременного определения на основе положений равновесной термодинамики и возможных состояний моделируемых систем и траекторий достижения этих состояний. Реализация этой идеи связана с решением проблемы незамкнутости термодинамической теории. По мнению Гейзенберга [13] классическую термодинамику можно отнести к замкнутым физическим теориям, позволяющим решать любую принадлежащую области их приложений задачу, только в совокупности со статистической механикой. Необходимость такой совокупности выявилась из неудачных попыток классиков физики XIX в. (Кла-узиуса, Гельмгольца, Томсона, Больцмана, Планка) вывести общее уравнение экстремальной траектории макроскопических систем, близкое по виду к уравнению Эйле-ра—Лагранжа и согласующее второй закон термодинамики с вариационными принципами механики. Задачи поиска уравнений диссипативных процессов стали решаться на основе статистических закономерностей. В [14, 15] проблему замкнутости макроскопической термодинамики было предложено решать путем отказа от использования невыводимого уравнения и перехода к многошаговому построению траекторий с выбором в качестве отдельных шагов достаточно малых, но конечных отрезков времени (пространства), для которых допустима предпосылка о стационарности движения. Для такого движения устраняется основное свойство необратимых процессов — резкое качественное изменение проходимых состояний, не позволяющее их описывать единым уравнением. Оказалось, что возможно раскрытие математических связей между закономерностями консервативных и диссипативных систем. Реализация возможностей выбранного подхода осуществлялась в [15] на основе совместного применения разработанной в ИСЭМ модели экстремальных промежуточных состояний (МЭПС) [6—10] и метода динамического программирования (ДП) [16]. Предложенные в [15] методы исследований и расчетов используются в настоящей статье для обоснования эффективности моделирования в энергетике, связанного с термодинамической интерпретацией теории цепей.
Термодинамический анализ связей между закономерностями консервативных и диссипативных систем. Для проведения намеченного анализа теория цепей оказывается весьма подходящей, поскольку в ней изучаются принципиально необратимые процессы превращения организованных форм движения (механической — вязкой жидкости или электрической — зарядов) в неорганизованную — тепловую. В качестве примера описания конкретного вида зависимостей выберем закрытую (не обменивающуюся потоками жидкости или токами с окружением) активную (с источниками движущих давлений или электродвижущих сил) цепь. Ниже, если речь не будет специально идти о электрических цепях, указываться будут только характеристики, относящиеся к гидравлическим цепям. Простейшая схема рассматриваемого типа цепей приведена на рис. 1а. Общность выбранного примера объясняется тем, что от него легко перейти к
другим возможным схемам. Так, если в узлах сети имеются внешние притоки и стоки, т.е. сеть представляет открытую систему, то к закрытой схеме ее можно преобразовать, введя условные ветв
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.