ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2010, том 433, № 1, с. 48-54
= МЕХАНИКА
УДК 539.3
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ НЕОСЕСИММЕТРИЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
© 2010 г. Г. Я. Попов, К. Белкасем
Представлено академиком В.А. Бабешко 02.11.2009 г. Поступило 08.12.2009 г.
(2)
(3)
1. Постановка задачи. Рассматривается упругий (коэффициент Пуассона ц, модуль сдвига G) круговой цилиндр, определяемый в цилиндрической системе координат соотношениями
0 < r < a, -п<ф<п, 0 < z < h. (1)
Нижний торец цилиндра (z = h) считаем опирающимся на абсолютно жесткое гладкое основание, что эквивалентно условиям
Ur(r, ф, h) = 0, Tzr(r, ф, h) = 0,
Tzq (r,Ф, h) = 0. Цилиндрическую поверхность считаем свободной от напряжений:
CTr(a, ф, z) = 0, Xr^(a, ф, z) = 0,
Tzr(a, ф, z) = 0.
На верхнем торце цилиндра (z = 0) считаем выполненными условия
Ur(r, ф, 0) = 5(r, ф), Tzr(r, ф, 0) = 0,
Tzq(^ Ф, 0) = Такое условие будет реализовано, напри случае, когда на верхнем торце находится накладка (шайба) абсолютно твердая и гладкая, загруженная произвольной нормальной нагрузкой. В этом случае
5( r, ф) = 5 + Ar cos ф + Br sin ф, 5, A, B = const.
Поставленную задачу с учетом обозначений ur = u, иф = v, uz = w, ц0 = (1 — 2ц)-1 можно свести к решению известной системы уравнений Ламе [1], записав ее в наших обозначениях. Эту систему следует решать в области (1) и удовлетворить граничные условия (2)-(4).
2. Займемся построением точного решения этой краевой задачи. Сведем ее предварительно к одномерной. Для этого сперва применим конеч-
Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова, Украина
ное интегральное преобразование Фурье по переменной ф [2]:
Un (r, z) П = -1 r U(r, ф, z)
_5n (r)_ 2п J -П _ 5(r, ф) _
-inq
dф,
u ( r, ф, z) . 5(r, ф) _
n = 0, ±1, ±2
да
У
(5)
Un ( r, z )
5n (r)
inq
В результате краевая задача станет двумерной относительно трансформант un(r, z), vn(r, z), wn(r, z), причем для vn, wn справедливы те же формулы, что и для un. После чего, учитывая граничные условия по переменной z, исключим эту переменную с помощью конечных sin- и cos-преобразова-ний Фурье, т.е.
k п
. (6) Unk( r) cos akz
vnk( r) cos akZ w„k( r) sin akZ_
Тогда рассматриваемая краевая задача станет одномерной относительно трансформант unk(r), vnk(r), wnk(r). При этом дифференциальные уравнения Ламе [1] примут вид ^dr = d , d"r'+ = dr + nr-1,
Unk(r) h Un (r, z) cos akz
(4) vnk(r) = J Vn (r, z) cos akz dz, ak
Wnk( r ) 0 Wn (r, z) sin akz
Un ( r, z) = 1 h Un 0(r) да о
Vn(П z) vn0( r) +2 У
_Wn(П z) _ 0 _ k=1
D= r 1drrdr — n 2r
2 „—2
[D(rn) - (ak - r -)]Unk - 2inr- Vnk + + Ц)[D[n)Unk - inr'1 vnk + akdrWnk] = (ц - 1 )5n(r),
[^ - (a2 - ^)] vnk + 2inr~2Unk +
+ in Ц0 r_1[ d1 + Unk + inr- v„k + akWnk] = (7)
n = -да
(8)
= 'ЧИо- 1) r~4( г),
[D(rn> - а2] wnk - d1; + ипк + inr- vnk + akwnk\ =
= - ц*ак5n(r), ц* = Ц0 + 1 •
Все уравнения (7) заданы на интервале 0 < r < a и во всех n = 0, ±1, ±2, ..., параметр к = 0, 1, 2, ... в первых двух уравнениях и в третьем уравнении к = 1, 2, 3, ...
Граничные условия (2)—(4) переходят, соответственно, в следующие:
(1 - Ц)au'nk(a) + ц[Unk(a) + invnk(a) + aka^(a)] = = aSn(a), k = 0, 1, 2, ...,
a v'nk( a) + inunk( a) - vnk( a) = 0, k = 0 1 2 ..
4k(a)-akunk(a) = 0, k = 12з,...
Полученная одномерная краевая задача (7), (8) имеет различные формы решения в зависимости от значений параметров n и к.
Наиболее простое решение получается, когда n = 0 и к = 0. В этом случае, так как а0 = 0, то w00(r) = 0, а для u00(r) и v00(r) получаются раздельно решаемые краевые задачи, причем для v00(r) она оказывается однородной и потому v00(r) = 0, а для u00(r) имеем весьма простую краевую задачу, и для нее получена простая формула (ее не приводим).
3. Для рассмотрения других значений параметров n и к следует преобразовать краевую задачу (7), (8), введя новые искомые функции по формулам
W^k ( r) = Unk( r) + i Vnk( r) ,
Wnk (r) = Unk( r) - i Vnk( r) , Wk( r) = Wnk( r);
2[Unk(r), iVnk(r)] =
= [ wnk(r) + wm}(r), Wik(r) - wm}(r)]. В результате система (7) приобретает вид
[XD; + ^ - (X - 1 )ak] W1(r) + Dn; Wk(r) +
+ 2ad'W (r) = 4 ц5-(r),
D • + Wnk (r) + [X -u - (X - 1 )ak ] wnk (r) +
+ 2a kd"' + Wnk (r) = 4 ц5+ (r), (10)
- ad +1 + Wk (r) - ad 1 '- Wk (r) + + [(X - 1) D^ + (X + 1 )ak ]Wk (r) = = - Ц*(X - 1 )akSn(r).
Здесь введены обозначения:
x = 3-4ц, s++(r) = sn(r) + nflSn(r),
Dn; + = D{:) + 2nrl dr - r~2.
(9)
Граничные условия (8) после перехода к новым функциям примут вид
о [ »пк' (о) + »/Л а)] + 2 («) + + 2 ц а а^к(а) = 2 (1 - И)а 8п(а),
а[»к(а) - а)] - [К1(а) - »Ц}(а)] -- п [ К1 (а) + (а)] = 0,
2 Кк - ак[Кк(а) + (а)] = 0,
ц = ц( 1 - ц)-1.
4. Полученную одномерную краевую задачу (10), (11) решим для случая: к = 0, п = ±1, ±2, ...
Ввиду того, что а0 = 0, то = 0 и система (10) вырождается в систему из двух уравнений, которые после умножения их на г2 примут вид
хЖ+1} <(г) - Ъ"; кПО(г) = 4цЛ;(г), В"; + < (г) + х Ъп 1 ^ = 4 ц г28+(г), (12)
(11)
(11')
(n)
Ъг = гйггйг - п , Ъг = Ъг - 2пгйг - 1.
Граничные условия для этой системы, согласно (11'), запишем в виде
а [ КО '(а) + »«¿'(а) ] + 2 ^(а) = 2(1 - ц)а8« (а),
а[»«О'(а) - »«?'(а)] - (13)
- (п + 1) »«о)(а) - (п - 1) »П2о>(а) = 0.
Если ввести матричный дифференциальный оператор и векторы
(
0 =
—An + 1) — n
X Dr , Dr
[Уп0(r), fn0(r)] =
Dr , XD
/
W(n0) ( r)
, wn20 (r)
"R(n -1)
У
Л / 4 ц r
(14)
У
v
S-(r) S+ (r)
то краевую задачу (12), (13) можно представить в виде одного векторного уравнения
LnоУnо(г) = Ко(г), 0 < г < а. (15)
Построим регулярное в нуле общее решение однородного уравнения (15). Для этого следует [3] построить регулярное в нуле решение ^п0(г) матричного уравнения
Ln0 Уп0(г) = 0, 0 < r < a,
(16)
Если ввести вспомогательную матрицу В0(г, «) = = г5ё1а§{1, 1}, можно показать, что Ьп0Я0(г, «) = = г5^п0(«), причем обратной к ^п0(«) будет матрица
n0( s) = -Л- х
2 1
X - 1
1
(s + n + 1 )(s -n - 1)'
1
(s + n + 1)(s + n - 1) _X_
V [s - (n - 1)](s - n - 1У (s + n + 1)[s - (n - 1 )])
(17)
Решение уравнения (16) найдем по формуле [3]:
3(r) = ¿f^Ow
где С — замкнутый контур охватывающего полюса N0 (я).
Регулярное в нуле решение получим, взяв вычеты в полюсах я = п — 1 и я = п + 1. В результате получим
1
о ( r) =
Xr
> +1
2(X2 - 1) (n + 1 )-1, (
-1 n + 1
- r ,
Xr
Л n - 1 )-1
(18)
,„o(r)col{Сь C2},
(19)
Общее регулярное в нуле решение однородного уравнения (15) будет определяться формулой
col{ W^(r), W2(r)} = Yni C1, C2 = const.
Формула (18) не пригодна в случае n = 1. Чтобы сделать ее пригодной, следует учесть, что в
этом случае N-o (s) имеет двукратный полюс при s = 0 и вычет в нем следует учесть только при построении нерегулярного в нуле решения, и поэтому регулярное решение в этом случае будет определяться вычетом только в полюсе при s = 2. Эту формулу здесь не приводим.
В полученных формулах считалось, что параметр n (n = 1, 2, ...) представляет собой положительные целые числа. Следует рассмотреть теперь случай отрицательных значений n. Проведя соответствующие выкладки, получим W-Ц (r) = Wn0 (r),
Wio (r) = W^n0> (r). Следовательно, общее решение однородного векторного уравнения (15) построено для всех требуемых значений n.
Теперь займемся решением неоднородного уравнения (15). Введем в качестве правой части
вектор f+ (r) = fn0(r), 0 < r < a, f+ (r) = 0, r > a, и запишем уравнение (16) в виде
LnoУ«о (r) = f+ (r), 0 < r < да.
(20)
Для решения этого уравнения применим векторное интегральное преобразование Меллина, что приводит к следующему результату:
S-(p) ч+(ру
yn о ( r) = 4 ц |ф„о[ р р
о
\о(x) = т--. f^OCs)ds, x =
2 я i J
dp,
(21)
Здесь под 1у понимаем линию, параллельную мнимой оси и удаленную от нее на расстояние у. Последний матричный интеграл с учетом (17) и у > 0 вычисляется методом контурного интегрирования. В результате приходим к формуле
2(х2 - 1 )Ф„0 (х) = Ф+0(х) + Ф-(х),
Ф+о (x) =
-X(n + 1) 1x (n +^,
о
V x Г
\n + 1)
x
(n + 1)
X( n- 1 )-x
1-(n -1)
(22)
Ф-о (x) =
1 n+1
-X(n + 1) x ,
о,
x=
n+1 n 1
x -x -X( n-1)-1x"-1)
Полученной формулой при п = 1 пользоваться нельзя. Ее следует подправить, учтя, что в этом случае в выражении (18) появляется двукратный полюс при я = 0.
С учетом (22) формулу (21) можем записать так:
Г (r )
W(B2o)( r У
11К V p
]рФ„о (
is;(p)
W(p))
s-(p) (s+(p))
dp
dp +
(23)
При отрицательных значениях параметра п получаем формулы аналогичной структуры. Их здесь не приводим.
Таким образом, общее регулярное в нуле решение системы (12) будет складываться из двух слагаемых: первое слагаемое дается формулой (19) и содержит две произвольные константы С1 и С2, и второе слагаемое, даваемое формулой (23). Указанные произвольные константы найдем, удовлетворив граничные условия (13).
х
C
х
r
a
+
r
5. Перейдем к другому частному случаю системы (7), когда п = 0, к = 1, 2, 3, ... В этом случае она распадается на систему из двух уравнений
(Ъ(гГ) - а2ц*1)щк(г) + ц**а^ок(г) = ц**80(г), - (ц* - 1 )ак4' + иок(г) + (^ - а2ц*)^ок(г) =
= - акц*8о(г), ц** = ц*1(ц* - 2), (24) с краевыми условиями
аи0к( а) + ц[ и0к (а) + а^0к (а)] = а (1 - ц) 8о(г),
акиок(а) - Чк(а) = 0 (25)
и отдельную краевую задачу для ^0к(г). Поскольку она оказалась однородной, то v0k(r) = 0, к = 0, 1, 2, ...
Если ввести матричный дифференциальный оператор и векторы
2 -1Ч
¿0к =
тл( 1) 2 -1
Ъг - акц* ,
V -(ц* - 1 )ак4
[Уок(г), ^к(г)] = [ ^(г)
^0к( г
ц**
аkdг
П(0) а2 и
Ъг - акц* /
^ ц**80(г) -ц* а к 8о (г)
(26)
то систему (24) можно записать так:
¿окУок (г) = и г), 0 < г < а. (27)
Для получения общего решения однородного уравнения (27) следует решить матричное уравнение [3]
¿оЛ(г) = 0, 0 < г< а. (28)
Для его решения вводится вспомогательная матрица из функций Бесселя Н0(г, s) = ё1а§{/1(г«), и показано, что Ь0кИ0(г, s) = —Н0(г, з)Ы0к(з). Матрицу М0к^) выписывать не будем, а ее обратная имеет вид
/ л
2ч -2
= (^ + а2)
22 $ + ц*ак, -ц**ак$
-(ц* - 1 )ак$, / + акц*1
.(29)
После этого строится решение уравнени
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.