ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2015, том 78, № 3-4, с. 210-217
= ЯДРА
ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННЫХ ФОРМУЛ КРАМЕРСА ДЛЯ СКОРОСТИ ДЕЛЕНИЯ АТОМНЫХ ЯДЕР ПРИ НАЛИЧИИ
ОБОЛОЧЕЧНЫХ ПОПРАВОК
© 2015 г. Е. Г. Дёмина*, И. И. Гончар
Омский государственный университет путей сообщения, Россия Поступила в редакцию 02.05.2014 г.; после доработки 30.06.2014 г.
Исследована точность приближенных формул Крамерса для скорости деления ядер при наличии оболочечной поправки в квазистационарном состоянии. Аналитические скорости сравниваются с численными, полученными в результате динамического моделирования, основанного на уравнении Смолуховского. Показано, что интегральная формула Крамерса оказывается применимой даже при наличии оболочечных поправок. С уменьшением энергии возбуждения ядра ее погрешность монотонно убывает и достигает 2% (точности динамического моделирования), когда безразмерный управляющий параметр (энтропийный барьер) становится больше 4. При небольших и средних значениях этого параметра точность интегральной формулы Крамерса оказывается выше, чем у полученной из нее приближенной формулы Крамерса.
DOI: 10.7868/80044002715010055
1. ВВЕДЕНИЕ
Одной из наиболее известных работ, посвященных нахождению скорости теплового распада ме-тастабильного состояния, является статья Крамерса [1]. Крамерса интересовали скорости химических реакций, но он также отмечал, что результаты, полученные в работе, могут быть применены и для описания процесса деления ядер. Через много лет после выхода статьи Крамерса Струтинский [2] сделал попытку обобщить формулу Крамерса на случай сильно нагретых ядер, а в работах [3, 4] были предприняты шаги на пути исследования применимости приближенных формул Крамерса для такого случая.
Чаще всего в литературе можно встретить применение так называемой приближенной формулы Крамерса (ПФК, см. уравнение (17) работы [1]) [5—8]. Она используется в том случае, когда деление описывается без учета зависимости температуры от деформации ядра. В некоторых случаях точность ПФК оказывается недостаточной [9, 10], поэтому в [9] было предложено вместо ПФК использовать интегральную формулу Кра-мерса (ИФК). Она тоже выводилась в [1] для постоянной температуры, но не была там записана в явном виде.
Сейчас по-прежнему есть работы, в которых процесс деления ядер описывается в рамках кано-
E-mail: lenochka.physics@gmail.com
нического ансамбля (КА), т.е. без учета зависимости температуры от деформации [11 — 14]. Однако для такого процесса более подходит описание в рамках микроканонического ансамбля (МКА) [15]. В этом случае роль движущего потенциала вместо потенциальной энергии играет энтропия, а температура ядра является деформационно зависимой. При таком описании потребовались новые аналитические выражения для скоростей. Выражение, аналогичное ИФК, но для МКА, было получено в [ 16] (см. формулу (17)). Затем из ИФК была выведена ПФК (формула (18) той же работы). Сравнение точности этих двух формул для МКА показало, что ИФК позволяет лучше согласовать аналитическую и динамическую скорости, чем ПФК. В работе [17] в МКА была добавлена деформационная зависимость параметра плотности одночастичных уровней (ППОУ). Но даже в этом случае оболочеч-ная структура спектра одночастичных состояний нуклонов остается неучтенной. Устранению этого недостатка и посвящена настоящая работа.
2. МОДЕЛЬ
Известно, что оболочечные поправки (ОП) к потенциальной энергии и ППОУ проявляются тем сильнее, чем ниже энергия возбуждения [18, 19]. Ранее их энергетическая зависимость учитывалась в основном для вычисления статистических скоростей деления [20]. Мы же включили эти поправки также и в расчет динамических скоростей
деления. В основе динамического моделирования лежит одномерное уравнение Смолуховского, которое применимо для режима сверхзатухания. В недавней работе [21] подтверждено, что деление ядер происходит именно в этом режиме (см. также ссылки [13—15] в работе [17]).
Подробный вывод уравнения Смолуховского (УС) был дан в приложении работы [16], поэтому приведем только его вид:
(1)
Здесь д(я, ¿) — плотность вероятности, а 01 и Б2 — дрейфовый и диффузионный коэффициенты, которые в случае МКА определяются следующим образом:
T(q)dS(q) ldT(q)
=-----1-----:
П dq п dq
D2(q) =
T (q)
п
(2)
(3)
В выражениях (2) и (3) п — фрикционный параметр (в настоящей работе для режима сверхзатухания П = 1000 МэВ зс); Т — температура, а 5 — энтропия.
2.1. Оболочечная поправка к потенциальной энергии
Потенциальная энергия и(я) состоит из гладкой части иь (я) и оболочечной поправки 5Е^ (я):
и(д) = иь(я) + Е (я). (4)
иь(д) задается профилем, который хорошо аппроксимирует энергию, вычисленную в [22] в рамках модели конечного радиуса [23]. Выражение для иь имеет вид
[0.5и£з (дс)(д - яе)2 +
иь(я) = \+2У2 (я - Яс)4 , Я<Яс; (5) [ирз(я), я>яс,
где ирз(я) — полином третьей степени:
з
ир з(я) = Е Уяг- (6)
г=0
Коэффициенты Уг выражаются через координаты квазистационарной и седловой точки (яс и яьи) и высоту потенциального барьера AUf: иР3 (яс) =
= ирз (яс) = ирз (яьи) = 0 и и рз (яьи) = AUf.
Зависимость 5Е^(я) от деформации ядра мы аппроксимируем выражением
Е(я) = Е (яс) А-1 [а (я - яс)]. (7)
Здесь öEsh (qc) — ОП в квазистационарном состоянии, а коэффициент а определяется по формуле
а = [qbu - qc]-1 ln20. (8)
В настоящей работе на примере |08 Pb мы моделируем процесс деления ядер, имеющих в квазистационарном состоянии сферическую форму. Для указанного ядра высота жидкокапельного барьера деления AUf = 13.28 МэВ, 5Esh (qc) = = -12.74 МэВ, qc = 1.00, qbU = 1.86, qa = 2.14.
2.2. Оболочечная поправка к параметру плотности одночастичных уровней
ППОУ, как и потенциальная энергия, состоит из гладкой части и ОП [20, 24]. Гладкая часть ППОУ, aL, задана следующим образом:
aL(q) = aiA + a2A2'3Bs(q). (9)
В этом выражении A — массовое число ядра, а значения a1, a2 и Bs такие же, как в работе [17].
Параметр плотности уровней с учетом ОП имеет вид
a (q, Eint) = aL (q) x (10)
x {1 + f (En) öEsh(q)E— } .
Здесь Eint — внутренняя энергия возбуждения ядра, определяемая как Eint = E — U(q), где E — полная энергия возбуждения, которая задается ядерной реакцией. В расчетах значение E фиксировано, а значение Eint изменяется в зависимости от U(q). Функция f (Eint) стремится к единице при больших значениях Eint:
f (Eint) = 1 — exp(-kEint)
(11)
где к = 0.054 МэВ-1 [19]. Из формул (10), (11) видно, что с повышением полной энергии возбуждения ОП в а(я) исчезает, и ППОУ стремится к своей гладкой части аь(я).
2.3. Оболочечная поправка к энтропии Энтропия, играющая роль движущего потенциала в нашей модели, связана с потенциальной энергией и ППОУ через соотношение ферми-газа:
ЗД = 2^а(<?) (Е-и(я))- (12)
Учет оболочечных поправок в и(я) и а(я) приводит к тому, что через выражение (12) ОП оказываются включенными ив 5. Температура в МКА зависит от координаты и находится как
Т{я) = ^[Е-и{я)]/а{я).
(13)
В настоящей работе моделирование процесса деления проводилось в четырех вариантах:
1) канонический ансамбль, в котором в качестве движущего потенциала используется иь(я), а температура и ППОУ деформационно не зависимы (Тс = Т (яс) и аьс = аь (яс)). Этот вариант дальше будет обозначаться как КА;
2) микроканонический ансамбль, в котором вместо иь (я) используется Б(я), а также деформационно зависимая температура Т(я) и постоянный ППОУ аьс. Дальше такой ансамбль обозначается как МКА- аьс;
3) МКА, как в 2), но с аь(я) вместо аьс. Обозначение для него — МКА-аь;
4) как случай 3), но с учетом оболочечных поправок к потенциалу, ППОУ и энтропии. Обозначается далее как МКА-а.
На рис. 1 представлены деформационные зависимости и (я) и нормированной энтропии 2(я), которая находится следующим образом:
1(я) = №с - 5(я)] Тс.
(14)
совпадают на рис. 1г. Зато ОП становятся существенными и приводят к повышению барьера деления: из трех нормированных энтропий 2, представленных на рис. 1г, та, что вычислена для МКА-а (темные квадраты), в окрестности седловой точки располагается заметно выше двух других.
Поскольку учет деформационной зависимости ППОУ и наличие ОП влияют на высоту и положение барьера деления, будут меняться и скорости деления, о которых подробно рассказывается в следующем разделе.
3. ДИНАМИЧЕСКИЕ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ ДЕЛЕНИЯ
3.1. Динамические скорости деления
Численное решение УС (1) позволяет найти д(я, Ь), с помощью которой вычисляется динамическая скорость деления Щ в точке, с координатой яг:
Здесь Тс и Бс относятся к квазистационарному состоянию. Нормированная энтропия ведет себя подобно потенциалу, что позволяет сравнить их между собой.
На рис. 1а тонкой и жирной кривыми показаны иь и и. Сравнивая их значения в яс (левая вертикальная линия на этом рисунке), можно увидеть величину (яс). На рис. 1а расчет выполнен для большого значения полной энергии возбуждения Е = 215 МэВ. В этом случае иь(я) совпадает с 2(я), вычисленной для МКА-аьс. Это обусловлено эквивалентностью КА и МКА при больших энергиях. Подробное объяснение данного эффекта было дано в работе [17]. В этом случае положения седловых точек для иь и 2 (яьи и яья соответственно, правая вертикальная линия) совпадают.
На рис. 1б показано поведение 2(я) для четырех рассматриваемых вариантов расчета. Видно, что учет аь(я) приводит к понижению барьера деления, определенного через 2 (АН/ = 2с — 2(яьв)) и смещению седловой точки яья в сторону яс. Влияние аь(я) на 2(я) проявляется только при больших энергиях возбуждения и является довольно известным эффектом [25]. Добавление ОП не приводит к заметным изменениям в поведении 2(я) (линии с вертикально полуоткрытыми и закрытыми квадратами совпадают). Это связано с тем, что ОП существенны лишь при малых значениях Е.
Рисунки 1в и 1г соответствуют случаю низкой энергии (Е = 35 МэВ). На рис. 1в 2(я) начинает отличаться от иь(я) в окрестности седловой точки. Это обусловлено учетом Т(я) при расчете 2 (см., например, [16, 17]). Зависимость аь(я) при низкой Е почти не влияет на 2: линии с вертикально и горизонтально полуоткрытыми квадратами почти
Кг(1) = { Бг (яг) д Ш) —
(15)
д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.