ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 7, с. 1109-1117
УДК 519.651
ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ДВОЙНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО КЛАССИЧЕСКИМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ
© 2015 г. В. А. Абилов*, М. В. Абилов**, М. К. Керимов***
(*367025 Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43а, Дагестанский гос. ун-т;
**367015Махачкала, пр-т Шамиля 70, Дагестанский гос. техн. ун-т;
***119333 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) е-mail: comp_math@ccas.ru Поступила в редакцию 25.02.2015 г.
Работа посвящена получению точных оценок скорости сходимости "треугольных" и "гиперболических" частичных сумм двойных рядов Фурье по классическим ортогональным многочленам (типа многочленов Лагерра, Эрмита, Якоби) на классах дифференцируемых функций двух переменных, характеризующихся обобщенным модулем непрерывности. Доказательства основаны на операторе обобщенного сдвига и на обобщенном модуле непрерывности для функций из пространства L2, имеющих обобщенные частные производные в смысле Ле-ви. Библ. 11. Табл. 1.
Ключевые слова: двойной ряд Фурье по ортогональным многочленам, "треугольные" и "гиперболические" частичные суммы, точные оценки скорости сходимости ряда Фурье, функции с обобщенными частными производными, обобщенный модуль непрерывности, обобщенный оператор сдвига.
DOI: 10.7868/S0044466915070029
ВВЕДЕНИЕ
Ортогональные многочлены и разложения функций в ряд Фурье являются мощными средствами для решения многих теоретических и прикладных задач математической физики, вычислительной математики, анализа и др. Поэтому всякий новый научный результат в этой области имеет большое практическое значение. Этим вопросам посвящена огромная литература. Наиболее тематически близкими к рассматриваемым в данной статье вопросам являются книги [1]—[3] и статьи [4]—[9].
В предыдущих работах (см. [5]—[9]) были исследованы вопросы о приближении функций ортогональными многочленами, об оценках частичных сумм разложений функций в ряды Фурье по конкретным ортогональным многочленам. В настоящей статье исследуются вопросы разложения функций двух переменных в двойные ряды Фурье по произведениям ортогональных многочленов ( типа Лагерра, Эрмита, Якоби) в общей постановке и получаем точные оценки скорости сходимости таких рядов. Основными инструментами исследования являются оператор обобщенного сдвига и обобщенный модуль непрерывности для функций из пространства L2. Доказываются две общие теоремы об оценках скорости сходимости двойных рядов Фурье по ортогональным многочленам, которые могут быть использованы для решения некоторых практических задач.
1. НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Обозначим через h(t) весовую функцию, т.е. неотрицательную суммируемую по Лебету функцию h(t), заданную на интервале (a, b) с [. В основном, здесь рассматриваются весовые функции, которые обращаются в нуль лишь на множестве меры, равной нулю. Если же интервал (a, b) бесконечен, то, кроме этого, должны абсолютно сходиться интегралы вида
b
J?h(t)d(t), n = 0, 1, ...,
a
которые, как известно, называются весовыми моментами функции h(t) (см. [1, с. 11]).
В дальнейшем мы будем рассматривать весовые функции, являющиеся решениями дифференциального уравнения
- (Л(к, t) u) = B(к, t) u, dt
гдеЛ(к, 1) и В(к, 1) - многочлены степени не выше второй и первой соответственно, а также удовлетворяющие на концах интервала (а, Ь) условиям
л(к, *)к(*)tk\t=й>ь = о, к = о, 1,....
Известно (см. [2, с. 33]), что решение и = к(1) этого уравнения в зависимости от поведения функций А(к, 1), В(к, 1) с точностью до линейных преобразований независимой переменной, только в трех случаях является весовой функцией на соответствующем интервале (а, Ь) для определения с точностью до постоянного множителя классических ортогональных многочленов Лагерра, Эр-мита, Якоби. При этом сами многочлены удовлетворяют дифференциальному уравнению второго порядка вида
Б{к, *)и = (л{к, *)4 + В(к, *)£) = -К(к)и,
( dt2 ^
(1.1)
1
где Кп(к) = -пВ(^ - -п(п - 1 )Л"(^.
Отсюда видно, что числа -Кп(к), п = 0, 1, ..., являются собственными значениями оператора D(k, 1), а отвечающие им функции (собственные функции) ип(к, 1), п = 0, 1, ..., оператора D(k, 1) являются соответствующими данной весовой функции к(1) ортогональными многочленами.
В приводимой ниже таблице даны основные характеристики стандартизованных ортогональных многочленов Лагерра (1), Эрмита Нп(1) и Якоби (1).
Обозначим через И_2 = И_2(р(х^(у); (а, Ь) х (с, й) пространство суммируемых с квадратом функций / (а, Ь) х (с, й) —» К с весомр(х^(у) и нормой
/ Ь й \ 1/2
11/11 = ¡¡Р(х)д(у)/ (X, у)dxdy .
а с
Пусть Рп(х), п = 0, 1, 2, ..., и 0т(у), т = 0, 1, 2, ..., — ортонормированные системы многочленов, соответственно, с весамир(х) и q(y) (типа Лагерра, Эрмита, Якоби).
Рассмотрим двойной ряд Фурье функции / е И_2:
да да
/(X, у) = ££ Спт(/)Рп(X)ат(у ) ,
(1.2)
г = 0 т = 0
где
Ьй
Спт(/) = ¡¡Р (X) д (У )/ (X, У ) Рп (X ) От (У ) dxdy,
ас
по системе произведений многочленов Рп(х)От(у), п, т = 0, 1, ... .
Таблица
(а, Ь) к(1) А(к, 1) В(к, 1) Хп(к)
¿а (*) (0, +<») 1ае-( ? 1 + а - t п
#п(0 (—+<») -*2 е 1 -2 2п
Рп''" ( *) (-1, 1) (1 - 1)а(1 + 1)в 1 - 12 в - а - (а + в + 2)? п (п + а + в + 1)
Пусть, далее,
ЗД X, у) = £ епт(/) Рп (х) ат (у),
0 < п + т < у (И)
где у(№) = тах(кх(р), 'к^(д), к = тах(1, к), к = 0, 1, ...; N = 4, 5, ..., соответственно, "треугольные" и "гиперболические" частичные суммы ряда (1.1).
Из общих теорем анализа (см., например, [10, с. 155]) следует, что
/да да Л 1 /2
2
11/11 = I X Е Cnmf
1 = 0 m = 0
Л
II/ - Sn(/)|| = Е СПт(/)
V. ,
1/2
n + т > Х(N)
J
1 /2
II/ - SN(/)|| = I Е С'пт(/) .
n ■ m > y(N)
Рассмотрим теперь функцию T(x, u; y, v; h) такую, что
да да
T(x, u: J, v; h ) = ЕЕ P>( U) Qm (y) Qm( v) hn + m,
n = 0 m = 0
где h e (0, 1), (x, u) e (a, b) x (a, b), (y, v) e (c, d) x (c, d); равенство здесь понимается в смысле сходимости в пространстве L2[((a, b)2 x (c, d)2);p(x)p(u)q(y)q(v)] (смысл последнего обозначения очевиден).
В ряде частных случаев для функции T(x, u; y, v; h) можно указать и явные выражения (см. например, [3, с. 190, 194]).
В пространстве L2 рассмотрим следующий оператор :
b d
Fh/(x, y) = Цp(x) q(y)/(x, y) T(x, u: y, v: 1 - h) dudv,
a c
который будем называть оператором обобщенного сдвига. Отметим несколько простых свойств этого оператора :
1) Fh(/i + /2) = Fh(/i) + Fh(f2),
2) Fh(Xf) = XFh(f), X e [,
3) \m\<\/\,
4) FhPn(x)Qm(y) = (1 - h)n + mPn(x)Qm(y),
5) \\Fh(f) -f\\ — 0 (h — 0+).
Для функцииf e L2 определим разности первого и высших порядков следующим образом:
А/(x, y) = F/(x, y) -/(x, y) = (Fh - E)/(x, y),
/ y) = Ah(Akh l/(x, y)) = (Fh - E)k/(x, y) = Е(-1 )k'' k F/x, y),
i = 0
( \
k
\ i J
где
fhi(x, y) = E/( x, y) = /(x, y), EhT(x, y) = Fh (Fh /, i = 1, 2, ..., k, k = 1, 2,., E - единичный оператор в пространстве L2.
k
Величину
Пк (/; 8) = шр|| А/(X, у )||, к = 1, 2, ...,
0 < к <5
будем называть обобщенным модулем непрерывности функции/ е L2.
Напомним ( см. [11, с. 172]), что функция/е L2 имеет обобщенную частную производную в
д/ ,
смысле Леви по переменной X е (а, Ь), обозначенную через — (/X (X, у) , если существует функция
дx
/*(х, у), (х, у) е (а, Ь) х (с, й), эквивалентная функции/(х, у) в области (а, Ь) х (с, й) и локально
д/
абсолютно непрерывная по переменной X е (а, Ь), для почти всех у е (с, й), при этом — (/х(X, у) -
дx
д/ * д/ * любая функция, эквивалентная —— (/х (X, у) в области (а, Ь) х (с, й). Функция —— (/х (X, у) су-
дx дx
ществует почти всюду в области (а, Ь) х (с, й). Аналогично определяется производная по переменной у е (с, й). Обобщенные производные высших порядков определяются соотношениями
д2у = д(/ ду = д( /
ду2 дx (дx), дx ду дx(ду'
/XX(X, у) = (/(X, у))1, К'у(X, у) = (/X(X, у.
Пусть, далее,
Б(р, X) = Л(р, X) д 2 + В(р, X)д, Б(д, у) = Л(д, у) ^ + В(д, у)д, Б = Б(р, X) + Б(д, у),
д 2 д ду2 ду
суть дифференциальные операторы второго порядка.
Обозначим через L2 (D) класс функций/ е L2, имеющих обобщенные частные производные
к
д XX,у), I + ] = к, к = о, 1, ...,
дx 'ду
принадлежащие пространству L2, для которых Drf е L2, г = 0, 1, ..., где
Б0/ = /, Б/ = Б(БГ-/, г = 1, 2, ..., L2(Б) = L2.
2. ФОРМУЛИРОВКИ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
Докажем две теоремы.
Теорема 1. Для любой функции f е L2 (D) справедлива оценка
\\/- ЗД-)|| ^ [ 1 - (1 - кУт(у(N) гП(Б/; к), (2.1)
где г = 0, 1, ..., 0 < к < 1, причем, если у(№) = 4, 5, ..., то константу в правой части неравенств (2.1) уменьшить нельзя.
Теорема 2. Для любой функции f е L2 (D) справедлива оценка
||/- ЗД-)11 ^ [ 1 - (1 - к)2Ш)]-к(2ЛШ)) 'Б/; к), (2.2)
где г = 0, 1, ..., 0 < к < 1, причем, если = 4, 9, 16, ..., то константу в правой части неравенства (2.2) уменьшить нельзя.
3. НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
Приведем доказательства некоторых вспомогательных предложений, необходимых для доказательства сформулированных выше теорем.
Выше мы отметили, что многочлены Pn(x) и Qm(x) удовлетворяют дифференциальным уравнениям второго порядка (1.1):
A(p, xPn(x) + B(p, x)dPn(x) + Xn(p)Pn(x) = 0, (2.3)
dx2 dx
A(q, yQm(y) + B(q, y)dQm(y) + Xm(q)Qm(y) = 0 (2.4)
dy dy
соответственно.
Умножив уравнение (2.3) на Qm(y), а уравнение (2.4) на Pn(x) и сложив полученные уравнения почленно, получим уравнение
A (p, x ) 4 + A( q, y ) Pn(x ) Qm {y ) + (b (p, x )d + B( q, y ) f\ Pn (x ) Qm(y ) + dx dy ( dx dy;
+ (Xn (p) + Xm(p) )Pn (x) Qm(y ) = 0
или
-DPn (x) Qm( y ) = (Xn(p ) + Xm ( q )) Pn (x) Qm(y ) . (2.5)
Умножая обе части уравнения (2.3) на P(x) и учитывая, что
d (A(p, x)p(x) ) = B(p, x)p(x), dx
получаем
dd-(p (x )A (p, x ) dd-P„( x )) + Xn (p )p (x ) Pn (x ) = 0. (2.6)
ИЛ ^ ИЛ '
йх^ dx
Аналогично, имеем
(У)А(д, У) йуОт(У)) + хт(д)д(у)От(У) = 0. (2.7)
Вновь умножив уравнение (2.6) на д(у)От(у), а уравнение (2.7) нар(х)Рп(х) и сложив почленно полученные уравнения, придем к уравнению
р (х) Рп (х) йу(д (У )А (д, у) йй-у0т(У)) + д(У) От (у) £(р (х )А (д, х) й-/п(х)) + + (Хп(р ) + Хт( д ))р (х) д (у ) Рп (х ) От (У ) = 0 .
Справедлива следующая
Лемма
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.