ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 6, с. 917-927
УДК 519.651
ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ
© 2015 г. В. А. Абилов*, Ф. В. Абилова**, М. К. Керимов***
(*367025Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43а, Дагестанский гос. ун-т;
** 367015Махачкала, пр-т Шамиля, 70, Дагестанский гос. Техн. Ун-т;
*** 119333 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) е-mail: comp_math@ccas.ru Поступила в редакцию 21.01.2015 г.
Работа посвящена получению точных оценок скорости сходимости рядов Фурье по функциям Бесселя I рода для некоторых классов функций, характеризующихся обобщенным модулем непрерывности. Получены также оценки для Ж-поперечников Колмогорова этих классов функций. Библ. 7.
Ключевые слова: функции Бесселя, ряд Фурье—Бесселя, обобщенный модуль непрерывности, Ж-поперечник Колмогорова, точная оценка скорости сходимости ряда.
DOI: 10.7868/S0044466915060022
1. ВВЕДЕНИЕ
Известно, что во многих задачах математической физики, сводящихся к дифференциальным уравнениям с частными производными, записанным в цилиндрических или сферических координатах, метод разделения переменных приводит к дифференциальному уравнению Бесселя и к функциям Бесселя.
С уравнением Бесселя связана краевая задача на собственные значения вида
—d_ | xdu\ + р_ и = ^хи, 0 < x < 1,
dxV dx x (1)
\и( 0 )|< +да, и( 1) = 0.
Известно, что система функций Jp(knx), n = 1, 2, ..., где Jp(x) — функция Бесселя I рода индексаp, а Х2, "•, "•, — занумерованные в порядке возрастания положительные корни уравнения Jp(x) = 0, является системой собственных функций задачи (1), отвечающих собственным значениям Х2„, n = 1, 2, ...; эта система является полной и ортогональной в пространстве суммируемых с квадратом функцийf (0, 1) —- [ с весом x (см. [1, с. 355]).
Данная статья посвящена получению точных оценок скорости сходимости рядов Фурье по системе функций Jp(knx), n = 1, 2, ..., т.е. рядов Фурье—Бесселя для некоторых классов функций. Используя эти результаты, получаем также точные оценки Ж-поперечников Колмогорова таких классов функций.
По характеру полученных результатов и по технике доказательств, работа продолжает ранее опубликованные исследования (см., например, [2]—[4] и цитированную там литературу).
2. НЕКОТОРЫЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Обозначим через L2 = L2[(0, 1); x] пространство суммируемых с квадратом функцийf (0, 1) —»- [ с весом x и нормой
(1 ^ 1/2 11/11 = I JV2 (x) dx .
Напомним (см. [1, с. 358]), что справедливы соотношения
|xJp(X„x)Jp(Xmx)dx = 0, n Ф m,
0
1
|xJ2n(XnX) dx = 1 flckn).
Тогда система функций
( _2_\1/2 jp2(K )
Jp(XnX), n = 1, 2, ...,
образует ортонормированную систему в пространстве И2; кроме того, как указано выше, она полна в пространстве И2.
Не умаляя общности и не вводя новые обозначения, через
Jp(К х), Jp(^2*), ---^(К*), •■■
обозначаем полную ортонормированную систему функций в пространстве И2 и , таким образом,
имеем
|xJp(XnX) Jp (XmX) dx = J1
0, n Ф m, n = m.
Пусть, далее, / е 12 и рассмотрим ряд Фурье—Бесселя функции /:
f(x) = £ Cn (f) Jp (Kx) ,
n = 1
где
Cn (f) = \xf(x) Jp(Knx) dx,
SNf, x) = £ cn(f)Jp(Knx)
1 < n < N
суть частичные суммы этого ряда.
Через Ед(/) обозначим наилучшее приближение функции/ е L2 полиномами вида
pn(x) = £ anJp(Knx),
1 < n < N
т.е.
EN(f) = infl f- PNI.
PN
Известно (см. [1 , с. 366]), что справедливы соотношения
f = £ c2 (f),
(2.1)
In = 1
0
0
30
0
со
En(i) _ \\f - Ml _ JX c2»(f) • (2'2)
Напомним, что N-поперечником Колмогорова множества М в пространстве L2 называется величина
dN( М) = dN( М; L2) = inf{ sup {infll f - g|}},
Gn с L2, f 6 М, g 6 Gn,
где последний раз точная нижняя грань берется по всем подпространствам GN с L2 фиксированной размерности N6 N (см. [5, с. 182]), N = 1, 2, ... . Величина
d*(М; Gn) _ sup {infllf -g||}
f e М, g e Gn
есть отклонение множества М от подпространства GN в пространстве L2.
Если aN(M) = d*(М; G*), то подпространство G* с L2 называется экстремальным для множества М в пространстве L2.
Напомним (см. [6, с. 172]), что функцияf 6 L2 имеет обобщенную производную в смысле Ле-
ви, обозначаемую черезf '(x) ( df(x)) , если существует функцияf* 6 L2, эквивалентная функ-
vdx J
ции f(x) на интервале (0, 1) и локально абсолютно непрерывна на (0.1), при этом f '(x)( df(x)
(dx
есть любая функция из L2, эквивалентная функции ( df*(x)) на интервале (0, 1). Функция
(dx J
fl(x)( df*(x)) существует почти всюду на интервале (0.1).
(dx J
Обобщенные производные высших порядков определяются соотношениями
f "(x) _ (f' (x))', f '"(x) _ (f" (x))', ...
'I-f(x) _ d ( df(x)j], Af(x) _ d ГI-f(x)J , ... ydx dx( dx dx dx( dxr J
Рассмотрим теперь дифференциальный оператор второго порядка (оператор Бесселя)
D _ jdL + Id PL
dx2 x dx x2 Рассмотрим функцию T(x, y; t) такую, что
да
T(x, y; t) _ X Jp(Kx) Jp(КУ) t», 0 < t < 1,
n _ 1
где равенство понимается в смысле сходимости в пространстве L2((0.1) х (0.1); xy).
Следует отметить, что аналогичные функции нами рассматривались в работах [2], [4], связанных с точными оценками скорости сходимости рядов Фурье по ортогональным многочленам. Функция T(x, y; t) оказалась удобной и при решении задач, рассмотренных в данной статье. В пространстве L2 рассмотрим следующий оператор Fh:
1
Ff(x) _ f t) T(x, t; 1 - h) dt,
0
который будем называть оператором обобщенного сдвига.
Отметим несколько простых свойств этого оператора:
1) Ff + /2) = Ff) + Ff),
2) FhQf) = XFh(f), X e U,
3) IFf < |/ ||,
4) F^X^x) = (1 - h)nJp(X„x),
5) |Ff - /1| — 0, h — 0+.
Для функции / e L2 определим конечные разности первого и высших порядков:
Afx) = Ff( x) - f(x) = (Fh - Ef x),
Ahf(x) = Ah(Ak„-f(x)) = (Fh - E)kf(x) = £(-1 )k^JFf(x),
i = 0
где
Ff(x) = Ef(x) = f(x), Ffx) = Fh(Fh fx)),
i = 1, 2, ..., k, E — единичный оператор в пространстве L2. Величину
ВД; S) = sup||Afx)||, k = 1, 2, ... ,
0 < h < S
будем называть обобщенным модулем непрерывности k-го порядка функции / e L2. Определим теперь в пространстве L2 следующие классы функций.
1) L2( D) — класс функций / e L2, имеющих обобщенные производные Леви
df( x), f), ... dx dx
DS/e L2, Df(x)Ix = 1 = 0, где D0/=/, Df = D(Ds — 1f), s = 1, 2, ..., r, r = 1, 2, ...,
2) W2 (D) — класс функций/e L2(D), для которых ||D/|| < 1, r = 1, 2, ...;
3) W2; Ф (D) — класс функций/e L2(D), для которых Qk(Df; S) < Ф(S), где Ф^) — неотрицательная монотонно возрастающая функция на [0, +да).
3. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
Сформулируем основные теоремы, которые собираемся доказать в дальнейшем.
Теорема 1. Для любой функции/ e L2(D) при любом h e (0.1) справедливы оценки
E„(f) < [ 1 - (1 - h)N]-kXN(Df; h), (31)
r = 0, 1, ..., k = 1, 2, ..., N = 1, 2, ...,
причем при каждом фиксировании N константы в правой части неравенства (3.1) уменьшены быть не могут.
Теорема 2. Для любой функции/ e L2 при любом h e (0.1) справедливы оценки
1
f Л 2
2k 2k -1 ,-,2.
ЗД; h)< 2k(2h)2k Y n -1 En(f) [
Теорема 3. Справедливы равенства
k = 1, 2,
-1 J
1<n<[h ]
sup Ef = 1, r = 1, 2, ..., N = 1, 2,
f e W2r(D) XN
Верхняя грань здесь достигается для функции
/*(х) = \/р(КШ*).
Теорема 4. Для любой функции/ е L2 (Б) справедливо предельное соотношение
2г ,
Иш КхЕх(/) = 0.
N ^ ю
Теорема 5. Справедливы равенства
й^( К(Б)) = \, г = 1, 2,-, N = 1, 2,-...
л 2г
Теорема 6. Для поперечника Колмогорова справедливы равенства
й^(. ^(Б)) = [ 1 - (1 - Н^Х^ФН, Н е (0, 1), г = 0, 1, •, к = 1, 2, •.., N = 1, 2,-.
4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕКОТОРЫХ ЛЕММ
Докажем две леммы, которые понадобятся нам при доказательстве сформулированных выше теорем.
Лемма 1. Если/ е L-(Б), то справедливы соотношения
Сп(Г) = (-1 )г\мБУ), п = 1, 2,-, г = 1, 2, •...
К!Г
Доказательство леммы 1. Известно (см. [1, с. 358]), что функции Jp(ХNx), п = 1, 2, ..., удовлетворяют дифференциальному уравнению второго порядка (уравнению Бесселя)
2 й й 2 2 2 * ^]р(Кп*) + *й* 1р(Кпх) + (Кп* -р )]р(Кп*) =
Отсюда следует, что
или
—2Ер(Кп*) + (Кп*) - р-Ер(Кп*) = -КДр(\п*)
й* *а* *
БЕ (Кп*) = -Кп1р(Хях).
р\ п > п р\
Умножая обе части последнего равенства на *, нетрудно заметить, что справедливо уравнение
й ( й Т Л р2 г ч Л 2
(Хп*)) - Р~2 Ер (К*) = -К2п*1р (К*). (4.1)
Пусть/ е L-(Б). Тогда имеем
1
сп(Л = ^А* Ер (Хп*) й*.
0
Отсюда в силу равенства (4.1) следует справедливость равенства
1 1 1 2
1р(Хп*)й* = -Х- А*) й*(*й*Ер(Хп*)) й* + К- ^рА*)Ер(Хп*)й*.
0 Хп 0 Хп 0
Далее, дважды интегрируя по частям, получаем
1 1 1
(Лх) £ (х4/(Хпх))4х = |Ах)4(х£ /(Хпх)) = /(х)х4 1Р(Хпх)1 - [х4/(Хпх)Щ--£х =
0 0 о
1 1 1 = - Х£/р(ХХЛХ-4Х = -Х/Х-/(ХХ = //ДХ^Л + /(ХХ/х/х-)) =
» 4Х 4Х 4Х 4Х ^ 4Х ^
0 0 0
11 = / (ХпХ) 4(х /Х) = /р(ХпХ) £ (х Л)) 4х.
Таким образом, имеем
|х/(х)/р(ХпХ)4х = -Х- ^(х£/(х)) /р(ХпХ)4х + Х- ^-/(х)/р(ХпХ)4х
1
= - Х- л
4 Гх£/(х)) - РР-/(х)' 4хГ £х ^ х
/р
(ХпХ)4х = -1 Г(х-¿-/(х) + £/(х) -Рр-/(х))/р(ХпХ)4х = 'У. * ^ И у 4Х Х ^
= -Х |х ( ¿-/х) + 1£/(х) - /)) /р (ХпХ) 4х = - -Х- Х /)) /р (ХпХ) 4х.
п о 4х Х п о
Следовательно, имеем
1
Сп(/) = -Х- |х(В/(х))/р(ХпХ)4х,
т.е.
Сп (/) = - \ Сп (/.
Х-
Повторяя эти рассуждения г раз, получаем требуемые равенства. Лемма 1 доказана. Лемма 2. Пусть/ е И_2, разложим/(х) в ряд Фурье—Бесселя:
да
/(Х) = £ ^ (/)/р (ХпХ) ,
I = 1
где
Сп (/) = /(х)/р(ХпХ) 4х.
Тогда справедливо соотношение
Р/(х) = X (1 - Ь)пСп(/)/р(Х„х),
п = 1
причем сходимость ряда понимается в смысле сходимости в пространстве И_2.
Доказательство леммы 2. Выше мы заметили, что из определения оператора Fn следует, что
Г/(ХпХ) = (1 - к)п/р(ХпХ).
о
о
п
п
о
о
о
п
о
о
о
да
Поэтому для любого полинома
PN(X) = X апЕр(Хп*) ,
1 < п < N
в силу линейности оператора Fh, имеем
) = X (1 - Н)папЕр(Хп*).
1 < п < N
Так как F — линейный ограниченный оператор в пространстве L2, а множество полиномов Р^х) всюду плотно в пространстве L2, то, переходя к пределу, получаем требуемое равенство. Лемма 2 доказана.
Замечание. В силу лемм 1 и 2 , а также формулы бинома Ньютона
п
/ 1 \ п к п - к * к
(а + Ь) = X спа Ь ,
к = 0
где скп — биноминальные коэффициенты, и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.