ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2014, том 48, № 2, с. 182-189
УДК 536+532+517.9
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА С КОНЕЧНЫМ ВРЕМЕНЕМ РЕЛАКСАЦИИ
© 2014 г. А. Д. Полянин
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН polyanin@ipmnet.ru Поступила в редакцию 28.02.2013 г.
Приведены некоторые точные решения линейных дифференциально-разностных уравнений тепло- и массопереноса с конечным временем релаксации. Дано точное решение одномерной задачи Стокса с периодическим граничным условием при протекании объемной химической реакции первого порядка. Описан широкий класс точных решений нелинейного дифференциально-разностного уравнения теплопроводности с источником
= ау/(Г)у Т] + g(&), & = т(г, t + т), где Т = Т(г, ^ — температура, т — время релаксации.
Рассмотрены также некоторые более сложные модели теплопроводности с переменным временем релаксации, которое может зависеть от времени и градиента температуры.
БОТ: 10.7868/80040357114020110
ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИЧЕСКОЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА
1°. Классическая модель теплопроводности основана на законе Фурье
Ч = -№Т, (1)
где q — поток тепла, Т — температура, X — коэффициент теплопроводности, V — оператор градиента.
При отсутствии источников тепла закон сохранения энергии имеет вид
рерТ = -Шуч, (2)
где t — время, р — плотность, ср — удельная теплоемкость тела (среды).
Подставив (1) в (2), получим классическое уравнение теплопроводности параболического типа (см., например, [1—6]):
Т = аАТ, (3)
где а = X/ (рср) — коэффициент температуропроводности, А — оператор Лапласа.
Уравнение (3) обладает физически парадоксальным свойством — бесконечной скоростью распространения возмущений. Это обстоятельство свидетельствует об ограниченной области применимости уравнения (3) и привело к разработке других моделей теплопроводности, которые дают конечную скорость распространения возмущений.
2°. Закон Фурье (1) можно "подправить" с помощью дифференциальной модели Каттанео— Вернотте [7, 8]:
Ч = -XVТ -ТЧt, (4)
где т — время релаксации (запаздывания). Использование модели (4) с учетом (2) приводит к уравнению теплопроводности гиперболического типа
хТ„ + Т = аАТ, (5)
которое дает конечную скорость распространения возмущений и широко используется для решения тепловых задач (см., например, [9—19]). При т = 0 уравнение (5) переходит в (3).
Тепловое время релаксации т может меняться в чрезвычайно широких пределах: от т ~ 10-6—10-12 с (для металлов, сверхпроводников и полупроводников [13, 20—22]) до десятков и более секунд (для биологических субстанций, пищевых продуктов и др. [3, 18, 23—27]). В [28] дан краткий обзор и приведены оценки теплового (и диффузионного) времени релаксации и тепловой (и диффузионной) скорости распространения возмущений для различных сред и материалов.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА С КОНЕЧНЫМ ВРЕМЕНЕМ РЕЛАКСАЦИИ
Для обоснования модели Каттанео—Вернотте (4) наиболее часто используют дифференциально-разностное соотношение [16, 29—31]:
q,= (6)
Здесь левая часть уравнения (6) вычисляется при t + т, где т — время релаксации, а правая часть вычисляется, как обычно, при t (без сдвига по времени). При т = 0 дифференциально-разностное соотношение (6) переходит в закон Фурье (1). Если разложить левую часть (6) в ряд по т и удержать два главных члена разложения, то получим дифференциальную модель (4).
Физический смысл (6) заключается в том, что процесс теплопереноса в локально-неравновесных средах обладает инерционными свойствами: система реагирует на тепловое воздействие не в тот же момент времени t, как в классическом локально-равновесном случае, а на время релаксации т позже.
Модель (6) приводит к дифференциально-разностному уравнению теплопроводности с конечным временем релаксации [30—33]:
©t = a AT, © = T (г, t + т). (7)
Замечание 1. Аналогичное дифференциально-разностное уравнение диффузии с релаксацией получается из (7) заменой температуры T на концентрацию C и коэффициента температуропроводности a на коэффициент диффузии D.
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Укажем простые точные решения одномерного дифференциально-разностного уравнения теплопроводности
©t = aTxx, © = T(x, t + т), (8)
которые могут быть использованы для решения некоторых задач.
1°. Решения с разделяющимися переменными:
T = [A cos(kx) + Bsin(kx)]e Xt,
ak2 = Xe Хт (X > 0);
T = [A exp(kx) + B exp(-kx)]e Xt,
ak2 = -Xe ~Xx (X < 0),
(9)
(10)
где А, В, X — произвольные постоянные.
Решение (9) является периодическим по пространственной переменной х и затухающим при I ^ да. При 0 < X < да и т > 0 диапазон изменения параметра к является ограниченным: 0 < к < ктах =
= (еат)Для данного к, удовлетворяющего условию 0 < к < ктах, уравнение (8) допускает два действительных решения вида (9), соответствующих двум положительным корням Х1 и Х2 транс-
л —^Т 1 2
цендентного уравнения к е = ак .
2°. Решение, периодическое по времени I:
T - e [Acos(©t - вx) + Bsin(œt - |3x)] + C,
/ \ 1/2
в- (() [1 + sin(x®)]1/2, Y - j12 cos(xa>)
(11)
\2а] [1 + 8т(тю)]1/2'
где А, В, С, ю — произвольные постоянные. Данное решение (11) является затухающим при х ^ да
при выполнении условий С = 0 и тю < 1 п. 3°. Решения полиномиального типа:
2« + v(2n)(2n - 1)---(2n - 2k + 1), k! '
kr \k 2n-2k
T = x2« + X k=1
k /v 1 \K 2n-2k
x a (t - k t) x ,
n
2«+1 y- (2n + 1)(2n) — (2n - 2k + 2),
rji 2П + 1 , X 1
T = x + X
k=1
k!
k/, » \k 2n-2k+1
x a (t - k t) x ,
где A, B — произвольные постоянные, n — целое положительное число.
ПОСТАНОВКИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Граничные условия для уравнений (7) и (8) ставятся точно также как и для параболического уравнения теплопроводности (3) (см., например, [1-6]).
Поскольку в правую часть уравнения (8) входит запаздывание, то начальное условие задается так:
Т = ф(х) при 0 < г <т, (12)
где ф(х) — некоторая заданная непрерывная функция. При т = 0 условие (12) переходит в обычное начальное условие для параболического уравнения теплопроводности. Начальное условие (12) означает, что в рассматриваемой модели теплопроводности температура начинает изменяться только на временах больших времени релаксации.
Уравнение с запаздывающим аргументом (8) можно рассматривать также с начальным условием общего вида [28, 34]:
Т = ф(х, г) при 0 < г <т, (13)
где ф(х, г) — некоторая заданная непрерывная функция, определенная на промежутке 0 < I < т.
ЗАДАЧА ОБ УСТАНОВЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ (КОНЦЕНТРАЦИИ) В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ
Рассмотрим теперь сумму постоянного решения и решений вида (9):
l
T = To + £[Cnl exp(-Xnlt) + Cn2 exp(-X„2i)]sin (p),
(14)
^ < ^ N = int ' '
j. т — j. т -i » mciv xxxi.
П ватл
где Сп1 и Сп2 — произвольные постоянные (которые могут зависеть от времени релаксации т > 0), константы Хп1 и Xп2 являются положительными решениями трансцендентного уравнения
Xп ехр(-Хпх) = ап, ап = а(пп/1)\ (15)
тЦА] — целая часть числа А.
Для определенности будем считать, что X п1 <Х п2. Корни Хп1 и Xп2 зависят от т и обладают предельными свойствами
lim X n1 = a(nn/l) , lim X n2 = да. (16)
Формула (14) с учетом (15) дает точное решение модельной одномерной задачи для дифференциально-разностного уравнения (8) об установлении температуры (концентрации) в плоском канале 0 < х < l, на стенках которого поддерживается постоянная температура (концентрация)
T = T0 при x = 0, T = T0 при x = l, (17) при выборе специального начального условия вида (13) [это условие дается формулой (14) при 0 < t < т].
Положив в (14),
AnX n2
C„1 — '
Cn2 —
X n2 X n1
A„ X „i
X n2 X n1
exp(X niT),
exp(X n2T),
(18)
где Ап — произвольные постоянные, можно получить решение, удовлетворяющее дополнительному условию Т\ = 0.
Если ^тах достаточно велико, то приближенное решение задачи об установлении температуры в плоском канале с нулевыми граничными условиями (17) (при Т0 = 0) и начальным условием (12) дается формулами
N
T = £ AnUn(t-T,T)sin (tf
n=1
при t > T,
An = 2 |ф(х) sin (W N = N max, (19)
Un(t,T) =
\ l )
Xn2 exp(-Xn1t) - Xn1 exp(-X J)
X n2 - X n1
нению (8) и граничным условиям (17) при Т0 = 0, и при достаточно большом N хорошо согласуется с начальным условием (12) (причем это согласование гладкое поскольку Т\ = 0).
В пределе при т ^ 0 формула (19) переходит в решение аналогичной задачи для классического уравнения теплопроводности (3) [для доказательства этого факта надо учесть соотношения (16) и
Замечание 2. Трансцендентное уравнение (15) при т > 0 для любого натурального п имеет не более двух действительных корней (действительные корни существуют только для п < ^^ и бесконечное число комплексных корней Xпт [35, 36],
которые входят парами Xпт = а пт ± Ф пт. При построении приближенного решения (19) комплексные корни не учитывались.
Замечание 3. В [33] было показано, что уравнение (8) с начальным условием (12) приДх) = = 8ш(ях//) и однородными граничными условиями первого рода допускают ограниченное решение только для достаточно малых т. В [37] было обнаружено, что для граничных условий первого рода запаздывание в уравнении может приводить к неустойчивости решений относительно начальных данных вида (12) и решения, имеющие физический смысл, возможны только для достаточно специфических начальных условий. О возможных путях усовершенствования дифференциально-разностной модели теплопроводности (6)—(7) см. предпоследний раздел.
МАССОПЕРЕНОС, ОСЛОЖНЕННЫЙ ОБЪЕМНОЙ РЕАКЦИЕЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Одномерное дифференциально-разностное уравнение тепло- и массопереноса с линейным источником имеет вид
®t = аТхх - к®, ® = Т(х, t + т). (20)
В задачах массопереноса последний член уравнения при к > 0 соответствует объемной химической реакции первого порядка [2, 5].
Рассмотрим задачу Стокса без начальных условий, которая описывается уравнением (20) с периодическим граничным условием
Т = Т0 со8(ю0 при х = 0, Т ^ 0 при х ^ да. (21)
Точное решение задачи (20), (21) дается формулами
Т = Т0в~ух С08(<^ - Рх),
где Ап — коэффициенты разложения функции ф(х) [входяще
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.