ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 1, 2004
УДК 533.72
© 2004 г. В. С. Галкин, В. А. Жаров
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА-МАКСВЕЛЛА
Дан обзор точных решений по следующим направлениям: локально-макс-велловские решения, пространственно-однородная релаксация бинарной смеси газов (моментные решения и обобщение решения Бобылева-Крука-Ву), гомоэнергетические аффинные течения (класс точных решений Гал-кина-Трусделла), сферический разлет-слет (преобразование Никольского), доминантные решения, степенные решения. По второму и третьему направлениям получены новые результаты. Особое внимание уделено качественным свойствам решений, представляющим достаточно общий интерес. Под точным решением понимается решение в явном виде, т.е. через элементарные или трансцендентные функции, нелинейного кинетического уравнения Больцмана-Максвелла (функции распределения) или уравнений переноса Максвелла (моменты функций распределения). Последние называются также моментными решениями кинетического уравнения. В основном молекулы газа предполагаются максвелловскими, когда коэффициенты вязкости и теплопроводности линейно зависят от температуры.
В названии статьи сделана попытка восстановить историческую справедливость [1]. Как известно [1-3], Максвелл ввел фундаментальное статистическое понятие - функцию распределения, положив начало статистической физике и физической кинетике. При выводе уравнений кинетических моментов (уравнений переноса Максвелла) им было сформулировано все необходимое для того, чтобы записать кинетическое уравнение для функции распределения, что и было сделано Больцманом. Поэтому в работах начала 20 века кинетическое уравнение называлось именами Больцмана и Максвелла [2], а не только Больцмана [4-6].
В силу сложности кинетического уравнения точные решения описывают весьма вырожденные процессы. Компьютерная революция позволила получить численные решения большого числа задач. Тем не менее точным решениям уделяется значительное внимание в кинетической теории [1, 4-6].
С целью сокращения объема не рассматриваются статьи, в которых используются упрощения оператора столкновений (линеаризованные или модельные операторы) или предполагается, что внешние силы зависят от скоростей молекул. Предпочтение отдается завершающим статьям, опубликованным в легко доступных изданиях. Первостепенное внимание уделяется новым результатам и результатам, не получившим существенного отражения в известных руководствах [1, 4-6].
1. Исходные соотношения. Запишем систему кинетических уравнений Больцмана-Максвелла в переменных С;, г, t, где собственная скорость частицы ¿-го компонента смеси одноатомных газов С; = - и, - абсолютная скорость частицы, и -среднемассовая скорость
и = 11т;!X;/;(X;, г, t)йХ;
Здесь и ниже знак суммы означает суммирование по всем значениям I = 1, 2, ..., М, где N - число компонентов смеси.
Эта система имеет вид
Вй + г Эй + (р -Аг ди - т
т + г'вЭгр + - вг уЭг,.р-Э г,.ргу - т (1 ^
т+ищ, А - А(с г'г}, ^- ^г'г}
Здесь А - функция распределения одноатомных частиц г-го компонента по собственным скоростям СР г - внешняя сила, отнесенная к массе частицы т¡; Тг - оператор столкновений; га - компоненты радиус-вектора (г1 = х, г2 = у, г3 = г); используется суммирование по повторяющимся индексам а, в, у = 1, 2, 3; г - время. Центральные моменты функции распределения вводятся формулой
- т^сАс,. - т;| г .а1 г^ ... г^С;, {а} - а1а2^а„, я > 0 (1.2)
В частности, массовая плотность и диффузионная скорость г-го компонента р . = М(0),
V . = М( 1) /р ¡, температура, компоненты тензора давлений и вектора теплового потока соответственно равны
(qa) = £¿M™, M$j, 2Mäßj, n = £n;, n; = m
причем
Taß = Paß + 5«ß p, P = nkT, Paa = °
Здесь 5ap и напряжения paß - компоненты единичного и бездивергентного тензоров соответственно, p - гидростатическое давление (далее просто давление), k - постоянная Больцмана. В гидродинамике величины oaß = -paß называются вязкими напряжениями.
Из соотношений (1.1), (1.2) следуют уравнения переноса Максвелла (уравнения кинетических моментов)
DM* + jlMn+1) ^-rdc(n)
D,An) д ,.(n + i) Duß\ ;"Ci ,
DtMina} + 3rßMna>ß - (Fiß - DT)miIЩ; fdCi +
+ 3U~mjщ(CiyC(n))fidCi = R(na> - miJc(n)WC
(1.3)
Отсюда имеем уравнения сохранения
д р, ЭА„
+ vPi(u +Vi) = °, vA = äTf (L4)
dp + Vpu = ° (1.5)
„Dua , dp , d paß v« с n n
p d+dra+sr; -a = ° (1.6)
3 DT dqa dua 3 Э v v
2nkDt + ЭТ + (p ß + paß) aTß "2kTniVia - £PiFiaVia = ° (1.7)
(n)
Уравнения (1.3) представляют собой бесконечную систему: в уравнение для M)^
входят пространственные производные от M^/p; за исключением случаев (1.4)-
(n)
(1.7), правые части уравнений переноса R)^} ^ 0 и зависят от моментов различного порядка.
Особым является случай максвелловских молекул (для них межмолекулярная сила взаимодействия частиц i и j равна к^-г-5, где i, j = 1, 2, ..., N, r - расстояние между
ними; коэффициенты переноса пропорциональны T), когда R^} явно выражаются через моменты порядка m < n. Открытие этих молекул обусловило интерес Максвелла к уравнениям переноса. В этом случае при помощи системы уравнений (1.3) удается определить некоторые моменты функции распределения, не зная самой этой функции (разд. 3, 5, 7), т.е. получить моментные решения кинетического уравнения Больцмана-Максвелла.
Ниже в основном молекулы предполагаются максвелловскими, в противном случае делаются соответствующие оговорки.
Наиболее общие результаты вычисления R^} получаются для простого газа (т.е. для однокомпонентного одноатомного газа, когда индекс i опускается). В монографиях приведены выражения для R(2), R(3) [1, 6], R(4) [1]. Удалось получить формулы для R(5), R(6) [7]. Предложен эффективный метод вычисления R(n) [8].
В частности, для напряжений paр простого газа справедлива система уравнений [1, 6]
драв, d ( ) Э Gapy 2R Vq I p див\+? I ¿ua\_ p p (18)
IT + ЭТ/ UY Pae) + - 3 §aPV 4 + \ ^Щ] + 2 P\ дТ-/ _ PaP (1.8)
Здесь ц = ц0Т - коэффициент динамической вязкости (ц0 = const), операция () вводится формулой
<Aaf) _ 2(Aap + V) -15aPAYY (1.9)
Моменты третьего порядка
Gapy _ mJCaCpCYfdc, qa _ 1 Gapp (1.10)
Система уравнений для них также приведена в [1, 6].
Более общая система уравнений переноса получается, если ввести средние скорости u; и температуры Ti, напряжения piap, тепловые потоки q; компонентов смеси газов формулами
[ U
, Т- р „р, ъ ] = т^2- С*а С*в - 3 5арС*2)' Т С* С*2]/;(Х-г'1)а X(1Л1)
Эти уравнения переноса получаются из уравнений (1.1)—(1.3) заменой и, С ; на и;, С* = = X ' - и; при сохранении остальных обозначений. Проведенный авторами анализ по-
( п)
казал, что соответствующие (1.11) моменты Я^а} (п = 1, 2, 3, 4) с наименьшими погрешностями получены в работе [9]: нужно только добавить множитель у перед в формуле (6) [9]. В формулу (10) из [10] добавить слагаемые, пропорциональные ШТ , в Еп заменить 4т10т20 на 1 - 4т10т20.
В случае бинарной смеси имеем связь T = х! T1+ x2 Т2 + РР- А2
3nkp
А = — и2,
X; =
n-n
(1.12)
2. Локально-максвелловские решения. Локально-максвелловская функция распределения молекул газа
2
f
м
-3/2
n (2 nRT) exp
(X - u) 2
2 RT
(2.1)
тождественно обращает в нуль интеграл столкновений, зависимости п, Т, и от г, t определяются левой (конвективной) частью кинетического уравнения, эти газодинамические переменные удовлетворяют, естественно, уравнениям Эйлера. Сказанное
м
имеет место и для смеси газов, если все максвеллианы определяются по одинаковым Т, и. В изложенных далее результатах нужно только заменить п, Я = к/ш на п¡, Я¡.
Наиболее полный анализ для случая простого газа в отсутствие внешних сил дан в статье [11] (учет внешних сил осуществлен, например, в монографиях [4, 6]). Используем обозначения [11], заменив в на Р^; имеем
T=-
1
2 RY 4
Y4 = a4 + P„t + at , g = a - kt - (2at + p.)r + W x r
(2.2)
g
u = —-
3/2
ln [ n( 2п RT) ] = Ф,
2Y 4
2 Y
Ф = an + k • r + ar - —
4Y 4
Коэффициенты при степенях t и га - произвольные постоянные. Компонентами вектора Ф являются три компонента асимметричного тензора Оар.
Наиболее важные частные решения найдены, как известно, Максвеллом. Максвел-ловскую равновесную функцию распределения получаем тогда, когда отличны от нуля только постоянные а0, а, а4 < 0. Если же отличны от нуля только а0, О, а4 < 0, то
T = --
1
2Ra4
= const,
1
и = --— W x r
2a
3/2
n = (2nRT) exp
Зп-;4а.( W x r )2.
(2.3)
Решение (2.1), (2.3) описывает вращение газа как твердого тела. Температура однородна, плотность и давление растут экспоненциально с радиусом (отсчитываемым от оси вращения) и не зависят от
В общем случае температура Т = Т(1), движение газа является суперпозицией однородного потока, сферического разлета-слета и вращения газа как твердого тела, плотность и давление - функции t, г. Если а Ф 0, но равны нулю а, Р^, к, Ф, то
1 а ^
T=---
2R (a4 + at )
3/2
ao +'
a4 + at
2
aa4r
'2
2
п = (2пЯТ) ехр
а4 + аГ_
В дальнейшем будем ставить начальные условия при t -
(2.4)
0 (а не при t = t0). Из условия Т > 0 следует а4 < 0. Если а > 0, то решение существует на конечном отрезке значений ^ При аа4 > 0 полная масса конечна [11]:
M = Jpdr = п3m(aa4) 3/2expa
n
Рассмотрим важный для дальнейшего частный случай: а Ф 0, Ф = 0, плотность (и давление) зависят только от t. Подставляя в соотношение для Ф выражения (2.2) для у4 и у, приравнивая нулю коэффициенты при г и г2, а затем при t = 0 и t Ф 0, находим
а- = -1а=-2ак, = +2аt)2
2
и = £ + 201, ф = а* Т(0) = -Щ
р^ + 2 аГ 0 -а' ^ к р2
Конечность Т требует Р^ Ф 0. Обозначая
2 аг' = к + 2а г, t * = t/c, с = Р^/(2 а)
и опуская штрих, окончательно находим
р = -М>-_ и = Т .-Ш-Ц (2.5)
(1 + t * )3 !+ (1 + t * )2
/М = п(0)(2пЯТ(0))-3/2ехр(-2^^)' = (1 + t*)(X - и) (2.6)
Если Р^ < 0, то с > 0, имеет место сферический разлет газа, при Р^ > 0 - сферический слет (с < 0) для t е [0, 1/|с|). В первом случае (р, и, Т,/) ^ 0 при t* ^ <», во втором - (р, и, Т) ^ <», а / стремится к постоянной при t* ^ -1 (фиксированы начальные значения, г, X). Рассмотрение течения (2.5), (2.6) будет продолжено в разд. 6. Всюду ^ = t/t0
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.