ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 3, 2004
УДК (532.5; 539.3):534.1
© 2004 г. О. Ю. Ефимова, Н. А. Кудряшов ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА - ХАКСЛИ
С использованием подстановки Коула - Хопфа, которая, как известно, приводит уравнение Бюргерса к уравнению теплопроводности, получены точные решения уравнения Бюргерса - Хаксли, которое встречается при описании многих нелинейных волновых явлений. Проанализированы типы точных решений в зависимости от значений параметров уравнения.
1. Введение. Уравнение Бюргерса - Хаксли
V, + аиих = Бихх + в и + у и2-5 и3, Б ф 0 (1.1)
встречается при описании многих нелинейных волновых явлений. Предполагается, что Б - коэффициент диффузии, а характеризует нелинейный перенос, а параметры в, у и 5 описывают нелинейный источник.
Например, уравнение
тР, = !2Рхх + гР - сРъ- Е (1.2)
описывающее движение доменной стенки сегнетоэлектрика в электрическом поле, сводится к уравнению (1.1) с а = 0 линейной заменой. В уравнении (1.2) Р - диполь-ный момент, Е - внешнее электрическое поле. Левая часть характеризует диссипа-тивный процесс перехода электростатической энергии в тепловую, т - характерное время такого процесса (т.е. время релаксации дипольного момента). Первое слагаемое в правой части уравнения описывает взаимодействие между дипольными моментами соседних областей сегнетоэлектрика, остальные слагаемые определяют величину дипольного момента в однородном сегнетоэлектрике [1].
Уравнения вида (1.1) также используются при описании некоторых экологических моделей. Если в среде происходит размножение какой-либо популяции, то динамика системы при учете смертности и диффузионного перемещения популяции по среде описывается уравнением 2
п( = -кп + к т (п )п + БАп (1.3)
Здесь п - численность популяции в расчете на единицу объема, т(п) - масса пищи [2]. Если считать, что масса пищи меняется по закону т(п) = т0(1 - п/п0), то уравнение (1.3) будет уравнением Бюргерса - Хаксли с а = 0.
При а = 5 = 0 уравнение (1.1) является уравнением Колмогорова-Петровского-Пискунова и, = Бихх + /(х, Г) с/(х, Г) = ви + уи2; оно исследовано ранее [3].
С помощью линейной замены переменных и = аи, х = Ьх' и Г = с, можно, выбирая а, Ь и с, зафиксировать любые три коэффициента (однако при таких заменах сохраняется значение выражений Б5/а2 и в5/у2).
Установлено, что уравнение (1.1) не проходит теста Пенлеве [4, 5] и, следовательно, не является точно решаемым уравнением. Однако можно пытаться найти некоторый набор частных решений, что и является целью этой работы.
Обычно точные решения нелинейных уравнений в частных производных находятся в переменных бегущей волны [6], т.е. фактически осуществляется переход к обыкновенному дифференциальному уравнению, решение которого часто находится проще. Подробное обсуждение этих методов было дано в работе [7]. Ниже будет показано, что применение других методов приводит к более общим классам точных решений, чем при переходе к переменным бегущей волны.
2. Нахождение точных решений. Для нахождения точных решений уравнения (1.1) используем преобразование Коула - Хопфа [8, 9]
и = АЪХ/X, X = X(х, г) (2.1)
Тогда получим уравнение
((аА + 3Б)2ХХ - X, - уА2х)гхг + (гхг - БХххх - вхх)X2 + (5А2 - аА - 2Б)2ЪХ = 0 (2.2)
Пусть 2х ф 0 (в противном случае получается тривиальное решение и = 0, которое не рассматриваем). Приравнивая к нулю коэффициенты при различных степенях X, получаем переопределенную систему уравнений относительно 2(х, г)
*хг - Б2ххх - в= 0
(аА + 3Б)гхх - X, - чА2х = 0 (2.3)
5 А2- аА -2 Б = 0
Отметим, что при в = У = 5 = 0 уравнение (1.1) становится уравнением Бюргерса
и, + аиих = Бихх (2.4)
Тогда система (2.3) примет вид
= Бгхх, аА + 2 Б = 0 (2.5)
Получаем известный результат Коула - Хопфа: из любого решения уравнения диффузии - Б2хх = 0 можно получить решение уравнения Бюргерса (2.4) [10, 11] при помощи преобразования (2.1), где А определяется из второго уравнения системы (2.5).
В дальнейшем рассматриваем случай 5 ф 0.
Из последнего уравнения системы (2.3) находим
. а ± а2 2 Б
А>,2 = 2-5 ±1452+ т (2.6)
Далее считаем , что условие действительности корней А: 2 выполнено, т.е. подкоренное выражение в правой части равенства (2.6) неотрицательно.
Выражая из первого уравнения системы (2.3) и подставляя во второе, получим систему
^ = Б2хх + вZ + Сх( г) (2.7)
(2Б + аА)гхх - ЧА2Х - вг - ^ (г) = 0 (2.8)
где С:(,) - произвольная функция г.
Функция 2(х, г), определяемая системой (2.7), (2.8), по формуле Коула - Хопфа (2.1) приводит к решению исходного уравнения (1.1). Исследуем его поведение в зависимости от параметров исходного уравнения.
3. Исследование зависимости точных решений от параметров уравнения. Вид решения системы (2.7), (2.8) зависит от значений параметров в и у Решение уравнения (2.8) зависит также от двух произвольных функций t, определяемых подстановкой в уравнение (2.7).
Случай в = 0, у = 0. Решая уравнение (2.8), имеем
2
2(t) = С1(t)2( 2В+ аА ) + С2(t) + Сз(t)X (3.1)
Подставляя полученное выражение в уравнение (2.7), находим, что
С:(t) = С1, С2(t) = ( 1 + ]^t + С2, Cз(t) = Сз
где С1, С2, с3 - произвольные постоянные. Подставляя эти соотношения в равенство
(3.1) и переопределяя с1, получаем
2
2(х, t) = с1 х /2 + с2 + с3х + (аА + 3Б)с11 Используя замену Коула - Хопфа (2.1), находим
с, X + с3
и = А —2-1-3--(3.2)
с1 х /2 + с2 + с3х + (аА + 3Б)c1t
Если с1 = 0, то имеем
и = А С3 (3.3)
с3 х + с2
Функция (3.3) обращается в бесконечность в точке х = - с2/с3 и от времени не зависит.
Если с1 Ф 0, то, разделив числитель и знаменатель выражения (3.2) на с1 и переобозначив постоянные с2 и с3, имеем
х + с3
и = А --3--(3.4)
х /2 + с3х + с2 + (аА + 3Б)t
Поведение функции (3.4) определяется начальными условиями и суммой аА + 3В. Вид
2
функции в начальный момент времени может быть различным: а) если с3 - 2с2 > 0, то
функция (3.4) при t = 0 обращается в бесконечность в двух точках: х1, 2 = с1 ± ^с^ - 2с2;
22 б) если с3 - 2с2 = 0, то функция имеет одну особую точку х = с1; в) если с3 - 2с2 < 0,
то особых точек нет. Зависимость функции (3.4) от времени определяется значением выражения аА + 3В. В случае аА + 3В > 0 амплитуда решения с течением времени уменьшается. При аА + 3В < 0 возникает режим эволюции процесса с обострением, амплитуда функции (3.4) с течением времени увеличивается. Если аА + 3В = 0, то решение (3.4) со временем не меняется.
2
Поведение решения (3.4) в зависимости от х и t при аА + 3В > 0 и с3 - 2с2 > 0 иллюстрируется на фиг. 1.
Найденные решения принадлежат классу ограниченных на действительной оси
2
функций при с3 - 2(с2 + (аА + 3Б)^ < 0.
1-и 0-1-
10
Фиг. 1
Случай в = 0, у Ф 0. Из уравнения (2.8) имеем Сх( г)
2( х, г) = - -
уА
- х + С2( г) + С3 (г) ехр (Хх)
где введено обозначение
Х
уА
X 5 А
(3.5)
(3.6)
2 В + аА
Используя уравнение (2.7), находим зависимости С1(г), С2(г) и С3(г) в виде
С^ г) = с1( С2 (г) = с1г + с2, С3( г) = с3ехр (ВХ2г)
где с1, с2 и с3 - произвольные постоянные. Подставим полученные соотношения в выражение (3.5). Используя явный вид Х (3.6) и переобозначая постоянные с1 и с2, согласно замене Коула - Хопфа (2.1) получаем
и
У
с1 - с3ехр(Хх + ВХ г)
с Хх + с2 - с3ехр (Хх + В Х2 г) - с1у 2г / 5
(3.7)
Изменение Х будет соответствовать растяжению, сжатию или инверсии графиков, поэтому рассмотрим случай Х = 1.
Если с3 = 0, то с1 Ф 0 (иначе и = 0). Тогда, переопределив постоянную с2, из выражения (3.7) имеем
и=
х + с2 - у г/5
(3.8)
Функция (3.8) имеет одну особую точку х = у2г/5 - с2.
Если постоянная с3 Ф 0, то деля на нее числитель и знаменатель выражения (3.7) и переобозначая постоянные сх и с2, получим
и = 1-
с1 - ехр(х + Эг)
с (х + Эг) + с2 - ехр(х + Эг) - с1г(В + у /5)
(3.9)
Знаменатель этой функции при г = 0 в зависимости от сх и с2 имеет различное число нулей. Обозначим с^ = с1 - с1 1п с1. Тогда функция (3.9) в начальный момент времени дважды обращается в бесконечность при (с: > 0, с2 > с*} и имеет одну особую точ-
4 Прикладная математика и механика, № 3
2и и
10-
1.0 и 0.5
04 1.0
20
-10 Фиг. 2
Фиг. 3
ку, если |с1 > 0, с2 = с*}, {с1 = 0, с2 > 0} или с1 < 0. Функция (3.9) при г = 0 ограничена, если выполнено любое из следующих условий: {с1 = 0, с2 < 0} или {с1 > 0, с2 < с*}.
Эволюцию во времени решения (3.9) можно рассматривать как одновременные сдвиг по оси х и изменение параметра с2, причем за величину сдвига отвечает параметр Э, а за изменение с2 - величина (у2/5 + 0)с1. При (у2/5 + Б)с1 = 0 решение (3.9) выражается через переменные бегущей волны. В случае с1 > 0, с2 < с* и у2/5 + Э > 0 функция (3.9) со временем затухает, ее поведение схоже с демонстрируемым на фиг. 2. Если же у2/5 + Э < 0, то ограниченное решение существует лишь конечное время.
Найденные решения принадлежат классу ограниченных на действительной оси функций, если {с1 > 0, с2 - с1(у2/5 + Э)г < с1(1 - 1пс1)} или {с1 = 0, с2 < 0}. Случай в Ф 0, у2 + 45р = 0. Из уравнения (2.8) находим
х, г) = - С1(г)/в + (С2(г) + С3(г)х)ехр(Кх); К = у/(25А) (3.10)
Подставляя выражение (3.10) в уравнение (2.7), имеем
С:( г) = с1( С2 (г) = (с2 + 2КЭс3г) ехр ((Э К2 + в)г), С3( г) = с3ехр ((ЭК2 + в)г) где с1, с2, с3 - произвольные постоянные. Отсюда получаем, что
2(х, г) = - с1/в + (с2 + 2КЭс3г + с3х) ехр (Кх + (ЭК2 + в)г) Тогда по формуле Коула - Хопфа (2.1) находим К( с2 + 2К Эс3г) + К с3 х + с3
и = А -
с2 + 2КЭс3г + с3х - (с1/в)ехр(-Кх - ( ЭК2 + в)г)
(3.11)
Если с3 = 0, то, переобозначая постоянную с!, получаем решение в переменных бегущей волны
и=
К А
с1ехр(- Кх - (ЭК2 + в)г) + 1
(3.12)
Функция (3.12) имеет одну особую точку х = (1п (-с1) - (ЭК2 + в)г)/К при с1 < 0. Если сх > 0, то решение ограничено на всей числовой оси (этот случай иллюстрируется на фиг. 3).
Если c3 Ф 0, то, поделив числитель и знаменатель выражения (3.11) на c3 и переопределив постоянные c1 и c2, имеем
X( x + c2 + 2 D Xt ) + 1
U = A---2---.--(3.13)
x + c2 + 2DXt + c1exp(- X(x + c2 + 2DXt) + (DX2 - P)t)
После введения обозначений 51 = c1 exp((DX2 - P)t) и S2 = c2 + 2DXt формула (3.13) принимает вид
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.