ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2014, том 50, № 1, с. 117-125
УДК 551.466.81:532.529.2
ТОНКАЯ СТРУКТУРА КОНИЧЕСКОГО ПУЧКА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВНУТРЕННИХ ВОЛН В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
© 2014 г. А. В. Кистович, Ю. Д. Чашечкин
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН 119526Москва, проспект Вернадского, 101, к. 1 E-mail: chakin@ipmnet.ru;yulidch@gmail.com Поступила в редакцию 17.02.2011 г., после доработки 14.02.2013 г.
Течения стратифицированной жидкости, возбуждаемые крутильными или линейными гармоническими колебаниями кольца вдоль поверхности бесконечного вертикального цилиндра, рассчитаны методами теории возмущений. Полные решения линеаризованной системы уравнений с граничными условиями прилипания для скорости и непротекания для вещества построены с учетом вязкости и диффузии. Выделены возмущения, составляющие конический пучок трехмерных внутренних волн, и семейства мелкомасштабных компонент. Приведены формулы для расчета волн в средах с различными значениями числа Шмидта.
Ключевые слова: стратификация среды, внутренние волны, линейная теория.
Б01: 10.7868/80002351514010088
ВВЕДЕНИЕ
Внутренние волны образуются в атмосфере и океане при перестройке крупномасштабных процессов, обтекании препятствий, под действием периодических и случайных силовых факторов. Они слабо затухают и переносят данные о параметрах источников на большие расстояния. В атмосфере волны ускоряют струйные течения, интенсифицируют перемешивание и вызывают нагрев верхних слоев. В толще океана волны определяют изменчивость физических полей, представляют опасность для технических сооружений и подводной навигации. Проявления внутренних волн на морской поверхности позволяют дистанционно определять положение и свойства источников.
В природных условиях определены структура, спектры и амплитуды волновых полей [1]. Поскольку изменчивость среды затрудняет изучение процессов генерации и распространения внутренних волн, наблюдения природных систем дополняются лабораторным и математическим моделированием [2]. Расчеты пучков периодических волн в вязкой стратифицированной среде [3] согласуются с данными опытов [4] при различных видах стратификации.
Задачи генерации внутренних волн обычно решаются в приближении идеальной жидкости [5] или введением массовых и силовых источников [2]. Полученные картины волн в целом удовле-
творительно согласуются с лабораторными данными [2, 6], однако параметры модельных источников зависят от условий экспериментов.
Расчет течений вязкой стратифицированной жидкости, возникающих при вертикальных колебаниях поршня на плоскости [7] (аналог классической задачи Стокса о продольных колебаниях плоскости [8]), показал, что пучки внутренних волн оконтурены тонкими вихревыми оболочками, в которых затухает механическая энергия. В экспериментах прослойки наблюдались на краях конических пучков, а в областях их конвергенции — системы вихрей [9]. Влияние диффузии и свойства полного решения [10], зависящие от всех диссипа-тивных факторов в [2, 6, 7] не анализировались.
В данной работе впервые рассчитано излучение трехмерных периодических волн кольцом, осциллирующим с постоянной частотой ю вдоль поверхности вертикального цилиндра, с учетом эффектов и вязкости, и диффузии. Согласованность симметрий источника и поля волн позволяет рассчитать пучки трехмерных волн и сопутствующих компоненты. Полученные формулы могут использоваться для оценки внутренних волн, возбуждаемых течениями вокруг изолированных гор и холмов, и обоснования критериев лабораторного и численного моделирования.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Динамика несжимаемой жидкости, начальное распределение плотности которой р0 (г) = р0 (. (г)) определяется концентрацией S (или температурой), описывается линеаризованной системой уравнений Навье—Стокса, несжимаемости и переноса соли [8] в приближении Буссинеска
дv
Ро — = -V? + vpoAv - строgeг,
дг
V- V = 0, ^СТ- V = к.Аст, ро(г) = Роое, дг Л
(1)
=к = 0, Уф\г = иф (ф, г) , Vz\r= и г (ф, ,
К.
ф дг
= 0
г=К
Р, Vг, v.., V., а , ^ 0.
1г г
При этом и<р (ф, г) = иг (ф, г) = 0 для всех г > \а/2|.
С учетом условия несжимаемости V • V = 0 скорость задается двумя скалярными функциями Ф и Т (тороидально-полоидальная декомпозиция)
V = V х (е + V х V х (е гФ),
V г =-
5Ф
дг'
^ Ф = -
дг '
дФ Ф дг г
(3)
В покомпонентной записи система (1) принимает вид:
Ро(г)
ду г
= -др + vpо(г)\АУг - у
ду ф дг
дг
= V
\ Уф Ауф
г
Ро(г)дУг = -др + чро(г)АУг - стро(г)&
дг дг
(4)
дуг уг дуг да уг —г- + + —г = 0, — —г = к. Аа.
дг г дг дг Л
Исключение давления из системы (4) приводит к уравнениям для функций Ф и Т
[(ю - /к5Д)(ю - ЫД)Д - N2Д±] Ф = 0,
(ю-/уД)¥ = 0, Д± = 1 д().
г дг\ дг!
(5)
где Р, а, V = (ух,уу,уг) — возмущения давления, концентрации (включен коэффициент солевого сжатия) и вектора скорости жидкости, g — ускорение свободного падения, V и к. — постоянные коэффициенты кинематической вязкости и диффузии единичный орт е г направлен вверх. Источник течений — кольцо высотой а на поверхности бесконечного цилиндра радиуса Я с осью на оси г, совершающее линейные (вдоль оси г) или крутильные монохроматические колебания с постоянной
/ -¡аг ч
частотой ю (множитель е далее опускается).
Граничные условия — прилипания для скорости, непротекания вещества на всей боковой поверхности цилиндра, а также затухания всех возмущений на бесконечности, в цилиндрической системе координат г, ф, г связанной с центром кольца, имеют вид
Уравнения для возмущений солености а и функции Ф совпадают.
Подстановка в систему (5) интегрального представления решения
Р =
| / (к)Но^кгУ^
задает уравнения связи между вертикальной кг и радиальной кг компонентами волнового вектора при заданной частоте ю
(ш + / к. (к2 + к2)) (ш + /V (кг + К)) х
( + к2)
- N2 К = 0,
(6)
(2) а в уравнение для функции Т порождает уравнение
ю + /V (кг + к2) = 0.
(7)
С учетом (6) и (7) решение системы (5) принимает вид:
Ф = К Л(к, )Н01) (Кг) + Б(к, )Н01) (Кг) +
—Ю
+ С(к)я01) (квг)) е'кгйк,
+са
4= | ЩК )Н01) (к ^ )е/к^к, (8)
г1! I (
2
Л(кг )к„, , (1)
к. л 1 (к1 - к щ
2 2 Н0 ) (Кг) + , 2 ^) 2
2 "V
2
kv - К
X Н01) (Кг) + СЩ Н01) (Кг)
кЩ К Щ
Щ
е/к^к.
Волновые числа к„, ку, кБ, ку, кБ, приближенные решения уравнений (6) и (7), полученные методами теории сингулярных возмущений, равны
V + к
5
^180 + - ОМ ^ 0
2Nео8 0
|к-|
+-)!
ео8 (
1 + - ЖП
к 2 - -ю- к2,
к2 - -ю- к2
кБ - к,
к е
2 5 V
П - (V + к5)б1П0 + ,
• ю
- агс81и—.
N
(9)
Корни ку, кБ выбираются из условия затухания возмущений на бесконечности, которое сводится к неравенствам 1т ку, 1ткБ > 0. В выраже-
нии для ку берется верхний знак при ю < N и нижний — при ю > N.
Члены с коэффициентом А(к,) описывают уходящие внутренние волны, а с Б(к,), С(к,) и Б(к£) — мелкомасштабные компоненты течений, которые располагаются как вблизи излучающей поверхности, так и в толще жидкости. Член со спектральной плотностью ) определяет вязкий компонент с масштабом 8У =42у/ю, впервые полученным Стоксом в задаче о колебаниях плоскости в однородной жидкости [8].
Выражения с коэффициентами Б(к,), С(к,) задают внутренние мелкомасштабные компоненты смешанного типа с поперечными размерами
25№)
X „ =
X *
ео8 (
^ Х Б
X *
(10)
X 8 =
йМ2 + о(ке )2 О N + О N
определяемыми микромасштабами 5N = 44N и
= д/кS/N, зависящими только от свойств невозмущенной среды.
При этом, независимо от соотношений между кинетическими коэффициентами V и к5, выполняется неравенство Xу > XБ. Равенство достигается при V = к5. Поскольку в водных растворах обычно V > к^ главные члены разложений Ху, XБ по малому параметру к5/ V совпадают с масштабами течений, соответствующим волновым числам ку и к Б
(11)
ю V ю
что указывает на частичное расщепление поперечных масштабов тонких компонент.
Отсутствие в разложениях (8) членов вида
Е(к, )Н 0:) (кБг), входящих в полное решение [10], — следствие геометрии источника: неподвижный вертикальный цилиндр не возмущает исходную стратификацию. На неподвижном наклонном цилиндре формируется течение, индуцированное диффузией, которое на движущемся теле преобразуется в плотностной компонент с поперечным
масштабом 8 Щ5 5 = 1/1т к Б = //2к ю.
Следует отметить важное свойство решений — все компоненты течений присутствуют и в окрестности источника, и на значительном удалении.
Далее рассматриваются колебания кольца, создающие бегущие внутренние волны ю < N. В случае ю > N и волновое число кп имеет вид
кы —
4с -
N2
\
т-
(у + 4 )N4 2
■,2К г
2N (со2 - N2)
(12)
У
крупномасштабные возмущения затухают вблизи цилиндра. Масштаб области псевдоволнового распространения (запредельного затухания) для пространственной спектральной составляющей
с волновым вектором кг составляет 5„ = |к,|х ^(ш2 - N2 )/ ш2.
Выражения для спектральных амплитуд А, В, С и Б, которые задаются решениями системы алгебраических уравнений, образующейся после подстановки (8) в граничные условия (3), имеющие громоздкий вид при произвольном соотношении между кинетическими коэффициентами V и к5, упрощаются в случае V > к5
А(к,) * -
Б(кг )
Н11) (куЯ )Ц, (кг )
кА^ (КЩН? (к„Я)' Ц, (кг)
к2н0:) (м)
к2куН!(1) (куЯ)й, (к,)
Як^Х н01) (куЯ) Н® (квЯ), Ц<?(к,)
С(к,)
Б(к,)
КуН{ (куЯ)
где иг (кг), и^(кг) — спектральные амплитуды распределения скорости кольца
иг (кг ) = -1- | иг (г)е ^йк,,
-ОТ
(14)
и.(кг) = 2П I и,(г)е^К.
Подстановка полученных спектральных коэффициентов в разложения (8) полностью решает поставленную задачу.
2. ТЕЧЕНИЯ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ КРУТИЛЬНЫХ (ТОРСИОННЫХ) КОЛЕБАНИЯХ КОЛЬЦА
В случае азимутального движения кольца в жидкости формируется только один вязкий тонкоструктурный компонент течения — кольцевой аналог течения Стокса [8] — с азимутальной скоростью
V» ~ —
ак (1) ит Г 2 Н1 (кг) кг
Цф Г.
п *
йкГ
(15)
к Н(1) (кЩ
Для большого источника, радиус которого существенно превышает характерный масштаб и |куЩ|, |к^ 1> выражение (15) принимает вид
ак
и,
V™ «---
81П-
Щ Г 2
/кгг ( / (
е ехрК
к_
/к+)р\dkv (г16)
к ± = V \1к! V2
ю2 ± к^, р = г - Щ.
и,
^ехР((( -
-ц,-^ • ак
81П--С
Г 2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.